高中數(shù)學(xué) 第二節(jié) 證明不等式的基本方法、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 新人教A版選修4-5

1、第二節(jié) 證明不等式的基本方法、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,1.比較法證明不等式可分為作差比較法和作商比較法兩種,a-b0,a-b0,a-b=0,具有多項(xiàng)式,2.綜合法和分析法 (1)綜合法 一般地，從_出發(fā)，利用_、公理、_、性質(zhì) 等，經(jīng)過(guò)一系列的_、_而得出命題成立，這種證明 方法叫做綜合法.綜合法又叫_或由因?qū)Ч?已知條件,定義,定理,推理,論證,順推證法,2)分析法 證明命題時(shí)，從_出發(fā)，逐步尋求使它成立的_ _，直至所需條件為_(kāi)或_(定 義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題 成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考 和證明方法,要證的結(jié)論,已知條件,一個(gè)明顯成立

2、的事實(shí),充分,條件,3.反證法 (1)假設(shè)要證的命題_，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件， 應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和 _(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾 的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明_，我們把它 稱為反證法. (2)證明步驟：反設(shè)歸謬肯定原結(jié)論,不成立,命題的條件,原命題成立,4.放縮法 (1)證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值_或 _，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法 稱為放縮法. (2)理論依據(jù)ab,bca_c,放大,縮小,5.數(shù)學(xué)歸納法 (1)數(shù)學(xué)歸納法的概念 一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整 數(shù)n都

3、成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟： 證明當(dāng)_時(shí)命題成立； 假設(shè)當(dāng)_時(shí)命題成立，證明_時(shí)命題 也成立. 在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有 正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法,n=n0,n=k(kN+,且kn0,n=k+1,2)數(shù)學(xué)歸納法的基本過(guò)程,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”). (1)若 則x+2yx-y.( ) (2)已知ab-1,則 ( ) (3)設(shè) (ba0)，則st.( ) (4)證明 可用比較法證明.( ) (5)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值一定為1.(,解析】(1)錯(cuò)誤.若x-yb-1,a+1b+10, (3)錯(cuò)誤. ba0,a-b0, (4

4、)錯(cuò)誤.該不等式無(wú)論用作差法還是作商法都不好證明，最好 用分析法. (5)錯(cuò)誤.數(shù)學(xué)歸納法中的第一步n的初始值不一定為1，如證明 n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180,第1個(gè)值n0=3. 答案：(1) (2) (3) (4) (5,考向 1 比較法證明不等式 【典例1】(1)設(shè)cba,證明：a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2. (2)當(dāng)a,b(0,+)時(shí)，aabb 【思路點(diǎn)撥】(1)不等式兩端均為多項(xiàng)式且次數(shù)相同時(shí)可考慮 用作差法證明. (2)不等式兩端為冪指數(shù)型的不等式可考慮用作商比較法證明,規(guī)范解答】(1)ab2+bc2+ca2-(a2b+b2c+c2a) =a(b2-c2)+b(c

5、2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2+b2-a2)+c(a2-b2) =a(b2-c2)+b(c2-b2)+b(b2-a2)+c(a2-b2) =(c2-b2)(b-a)+(b2-a2)(b-c) =(b-a)(c-b)c+b-(b+a) =(b-a)(c-b)(c-a). cba,b-a0,c-b0,c-a0, ab2+bc2+ca2a2b+b2c+c2a, 即a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2,2) 當(dāng)a=b時(shí)， 當(dāng)ab0時(shí)， 當(dāng)ba0時(shí)， 綜上可知，當(dāng)a,b(0，+)時(shí)，aabb 成立,互動(dòng)探究】在本例(2)的條件下，證明 【證明】 當(dāng)a=b時(shí)， 當(dāng)

6、ab0時(shí)， 當(dāng)ba0時(shí),拓展提升】比較法證明不等式的方法與步驟 1.作差比較法 (1)作差比較法的一般步驟是：作差、變形、判斷符號(hào)、得出結(jié)論.其中,變形整理是關(guān)鍵,變形的目的是為了判斷差的符號(hào),常用的變形方法有:因式分解、配方、通分、拆項(xiàng)、添項(xiàng)等. (2)若所證不等式的兩邊是整式或分式多項(xiàng)式時(shí)，常用作差比較法,2.作商比較法 (1)作商比較法的一般步驟是：作商、變形、判斷與1的大小關(guān)系,得出結(jié)論. (2)利用作商比較法時(shí)，要注意分母的符號(hào). 【提醒】當(dāng)不等式的兩邊為對(duì)數(shù)式時(shí)，可用作商比較法證明，另外，要比較的兩個(gè)解析式均為正值，且不宜用作差比較法時(shí)，也常用作商比較法,變式備選】已知p，q均為正

7、數(shù)，且p+q=1,試證明(px+qy)2px2+qy2. 【證明】(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy p+q=1,p-1=-q,q-1=-p. 故(px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x2+y2-2xy) =-pq(x-y)2. 由于p,q為正數(shù)，故-pq(x-y)20, 故(px+qy)2px2+qy2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，不等式中等號(hào)成立,考向 2 綜合法或分析法證明不等式 【典例2】(1)已知a,bR+,且a+b=1,求證： (2)已知x0,y0,求證 【思路點(diǎn)撥】(1)分析不等式左邊的特點(diǎn)結(jié)合已知條件，利用基本不等式及重要不等

8、式的變形證明該不等式. (2)待證不等式中含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，不易直接證明,可考慮用分析法證明.兩邊六次方，消去分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化為整式不等式后，再進(jìn)行變形，整理證明即可,規(guī)范解答】(1)方法一：左邊 =a2+b2+4+ =4+a2+b2+ =4+a2+b2+1+ =4+(a2+b2)+2+ 4+ 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.即原不等式成立,方法二：a，bR+，且a+b=1,ab 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立. (a+ )2+(b+ )2 =4+(a2+b2)+ =4+(a+b)2-2ab,2)要證明 只需證(x2+y2)3(x3+y3)2， 即證x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6

9、， 即證3x4y2+3x2y42x3y3, x0,y0,x2y20. 即證3x2+3y22xy,3x2+3y2x2+y22xy, 3x2+3y22xy成立,拓展提升】1.綜合法證明不等式的方法 (1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵. (2)在用綜合法證明不等式時(shí)，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的.在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件,2.綜合法與分析法的邏輯關(guān)系 用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，表

10、述簡(jiǎn)單、條理、清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫(xiě)步驟，由此可見(jiàn),分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開(kāi)闊視野,3.分析法的應(yīng)用 當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆,變式訓(xùn)練】1.已知a,bR+,且a+b=1,求證： 【證明】方法一：a，b(0，+)，且a+b=1, ab 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立,方法二：1-ab 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立. (1-ab)2 (1-ab)2+1 又,方法三

11、,2.已知a0,b0,2ca+b,求證： 【證明】要證： 只需證： 只需證：|a-c|a2+ab. a0,只需證2ca+b,由題設(shè)，上式顯然成立. 故,考向 3 用反證法或放縮法證明不等式 【典例3】若a3+b3=2，求證:a+b2. 【思路點(diǎn)撥】直接證明a+b2比較困難，可考慮從反面入手， 運(yùn)用反證法，導(dǎo)出矛盾，從而證得結(jié)論. 【規(guī)范解答】方法一:假設(shè)a+b2, 而a2-ab+b2 但取等號(hào)的條件為a=b=0,顯然不可能, a2-ab+b20,則a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)2(a2-ab+b2), 而a3+b3=2,故a2-ab+b21. 1+aba2+b22ab.從而ab1.

12、 a2+b21+ab2. (a+b)2=a2+b2+2ab2+2ab4. a+b2.這與假設(shè)矛盾，故a+b2,方法二:假設(shè)a+b2，則a2-b, 故2=a3+b3(2-b)3+b3，即28-12b+6b2, 即(b-1)20，這不可能，從而a+b2. 方法三:假設(shè)a+b2,則(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)6.故ab(a+b)2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2), a2-ab+b2ab,即(a-b)20, 這不可能，故a+b2,拓展提升】 1.適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題 (1)

13、結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題. (2)關(guān)于唯一性、存在性的命題. (3)結(jié)論以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題. (4)結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題,2.使用反證法證明問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)，是正確運(yùn)用反證法的前提，常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下,3.放縮法證明不等式的技巧 放縮法證明不等式，就是利用不等式的傳遞性證明不等關(guān)系，即要證ab，只需先證明ap，且pb.其中p的確定是最重要，也是最困難的，要憑借對(duì)題意的深刻分析，對(duì)式子巧妙變形的能力以及一定的解題經(jīng)驗(yàn),變式訓(xùn)練】若n是大于1的自然數(shù),求證: 【證明,考向 4 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 【典例4】已知f(

14、n)= 當(dāng)n1,nN時(shí)，求證：f(2n) 【思路點(diǎn)撥】解答本題可先驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立，再假設(shè) n=k時(shí)不等式成立，推出n=k+1時(shí)不等式成立,規(guī)范解答】(1)當(dāng)n=2時(shí)，f(22)= 成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN且k2)時(shí)不等式成立， 即f(2k)= 成立. 則當(dāng)n=k+1時(shí)，f(2k+1)= 即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立. 由(1)(2)知，對(duì)于任意的n1,nN,不等式成立,拓展提升】數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種常用方法，應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意以下三點(diǎn)： (1)驗(yàn)證是基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個(gè)步驟是要找一個(gè)數(shù)n0，這個(gè)n0就是要證明的命題對(duì)象的最小正整數(shù)，這個(gè)正整數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)”是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法第一個(gè)要注意的問(wèn)題,2)遞推乃關(guān)鍵 數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k+1”的過(guò)程，必須把歸納假設(shè)“n=k”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n=k+1”時(shí)的命題，在推導(dǎo)過(guò)程中，要把歸納假設(shè)用上一次或幾次,3)尋找遞推關(guān)系 在第一步驗(yàn)證時(shí)，不妨