人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3《1.1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理》教案

1、11分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理引入課題 先看下面的問(wèn)題： 從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長(zhǎng)，有多少種不同的選法？把我們的同學(xué)排成一排，共有多少種不同的排法？ 要解決這些問(wèn)題，就要運(yùn)用有關(guān)排列、組合知識(shí). 排列組合是一種重要的數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)方法. 總的來(lái)說(shuō)，就是研究按某一規(guī)則做某事時(shí)，一共有多少種不同的做法. 在運(yùn)用排列、組合方法時(shí)，經(jīng)常要用到分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理. 這節(jié)課，我們從具體例子出發(fā)來(lái)學(xué)習(xí)這兩個(gè)原理. 知識(shí)點(diǎn)1 分類加法計(jì)數(shù)原理（1）提出問(wèn)題問(wèn)題1.1：用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào)，總共能夠編出多少種不同的號(hào)碼？問(wèn)題1.2：從甲地到乙地，可以乘

2、火車(chē)，也可以乘汽車(chē).如果一天中火車(chē)有3班，汽車(chē)有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？探究：你能說(shuō)說(shuō)以上兩個(gè)問(wèn)題的特征嗎？（2）發(fā)現(xiàn)新知分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法. 那么完成這件事共有 種不同的方法.（3）知識(shí)應(yīng)用例1.在填寫(xiě)高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下： A大學(xué) B大學(xué) 生物學(xué) 數(shù)學(xué) 化學(xué) 會(huì)計(jì)學(xué) 醫(yī)學(xué) 信息技術(shù)學(xué) 物理學(xué) 法學(xué) 工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分析：由于這名同學(xué)在 A , B 兩所

3、大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又由于兩所大學(xué)沒(méi)有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，因此符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件解：這名同學(xué)可以選擇 A , B 兩所大學(xué)中的一所在 A 大學(xué)中有 5 種專業(yè)選擇方法，在 B 大學(xué)中有 4 種專業(yè)選擇方法又由于沒(méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有 5+4=9（種）.變式：若還有C大學(xué)，其中強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)為：新聞學(xué)、金融學(xué)、人力資源學(xué).那么，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有多少種？探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，在第3類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同

4、的方法？如果完成一件事情有類不同方案，在每一類中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？小結(jié)：完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法在第n類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.理解分類加法計(jì)數(shù)原理：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事.知識(shí)點(diǎn)2 分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）提出問(wèn)題問(wèn)題2.1：用前6個(gè)大寫(xiě)英文字母和19九個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以,，,的方式給教室里的座位編號(hào)，總共能編出多少個(gè)不同的號(hào)碼？用列舉法可以列出所有可能

5、的號(hào)碼： 我們還可以這樣來(lái)思考：由于前 6 個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與 9 個(gè)數(shù)字中的任何一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們各不相同，因此共有 69 = 54 個(gè)不同的號(hào)碼探究：你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？（2）發(fā)現(xiàn)新知分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法. 那么完成這件事共有 種不同的方法.（3）知識(shí)應(yīng)用例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名. 現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：選出一組參賽代表，可以分兩個(gè)步驟第 l 步選男生第2步選女生解：第 1 步，從 30 名男生中選出1人，有30種不同選擇；

6、第 2 步，從24 名女生中選出1人，有 24 種不同選擇根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有3024 =720種不同的選法探究：如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第3步有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果完成一件事情需要個(gè)步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？一般歸納： 完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法做第n步有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.理解分步乘法計(jì)數(shù)原理：分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不

7、能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事.3理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.3 綜合應(yīng)用例3. 書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放2本不同的體育書(shū).

8、從書(shū)架上任取1本書(shū)，有多少種不同的取法？從書(shū)架的第1、2、3層各取1本書(shū)，有多少種不同的取法？從書(shū)架上任取兩本不同學(xué)科的書(shū)，有多少種不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本書(shū)”，由于不論取書(shū)架的哪一層的書(shū)都可以完成了這件事，因此是分類問(wèn)題，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理.要完成的事是“從書(shū)架的第1、2、3層中各取一本書(shū)”，由于取一層中的一本書(shū)都只完成了這件事的一部分，只有第1、2、3層都取后，才能完成這件事，因此是分步問(wèn)題，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理.要完成的事是“取2本不同學(xué)科的書(shū)”，先要考慮的是取哪兩個(gè)學(xué)科的書(shū)，如取計(jì)算機(jī)和文藝書(shū)各1本，再要考慮取1本計(jì)算機(jī)書(shū)或取1本文藝書(shū)都只完成了這件事的一部分，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原

9、理，上述每一種選法都完成后，這件事才能完成，因此這些選法的種數(shù)之間還應(yīng)運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理.解： (1) 從書(shū)架上任取1本書(shū)，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書(shū)，有4 種方法；第2 類方法是從第2 層取1本文藝書(shū)，有3 種方法；第3類方法是從第 3 層取 1 本體育書(shū)，有 2 種方法根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是 =4+3+2=9; ( 2 ）從書(shū)架的第 1 , 2 , 3 層各取 1 本書(shū)，可以分成3個(gè)步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計(jì)算機(jī)書(shū)，有 4 種方法；第 2 步從第 2 層取1本文藝書(shū)，有 3 種方法；第 3 步從第3層取1 本體育書(shū)，有 2 種方法根據(jù)分步

10、乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是=432=24 .（3）。例4. 要從甲、乙、丙3幅不同的畫(huà)中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問(wèn)共有多少種不同的掛法？解：從 3 幅畫(huà)中選出 2 幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第 1 步，從 3 幅畫(huà)中選 1 幅掛在左邊墻上，有 3 種選法；第 2 步，從剩下的 2 幅畫(huà)中選 1 幅掛在右邊墻上，有 2 種選法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是 N=32=6 . 6 種掛法可以表示如下：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問(wèn)題區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，

11、用其中任何一種方法都可以做完這件事，分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事練習(xí)1填空： ( 1 ）一件工作可以用 2 種方法完成，有 5 人只會(huì)用第 1 種方法完成，另有 4 人只會(huì)用第 2 種方法完成，從中選出 l 人來(lái)完成這件工作，不同選法的種數(shù)是 ; ( 2 ）從 A 村去 B 村的道路有 3 條，從 B 村去 C 村的道路有 2 條，從 A 村經(jīng) B 的路線有條2現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生 3 名，高二年級(jí)的學(xué)生 5 名，高三年級(jí)的學(xué)生 4 名 ( 1 ）從中任選1 人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法？村去 C 村，不同 ( 2

12、）從 3 個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選 1 人參加接待外賓的活動(dòng)，有多少種不同的選法？ 3在例1中，如果數(shù)學(xué)也是 A 大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，則 A 大學(xué)共有 6 個(gè)專業(yè)可以選擇， B 大學(xué)共有4個(gè)專業(yè)可以選擇，那么用分類加法計(jì)數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有 6 + 4 = 10 （種） . 這種算法有什么問(wèn)題？ 例5.給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母 AG 或 UZ , 后兩個(gè)要求用數(shù)字19問(wèn)最多可以給多少個(gè)程序命名？分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第 1 步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個(gè)字符而首字符又可以分為兩類解：先計(jì)算首字符的選法由分類加法計(jì)數(shù)

13、原理，首字符共有7 + 6 = 13種選法再計(jì)算可能的不同程序名稱由分步乘法計(jì)數(shù)原理，最多可以有1399 = = 1053 個(gè)不同的名稱，即最多可以給1053個(gè)程序命名例6. 核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分一個(gè) RNA 分子是一個(gè)有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)總共有 4 種不同的堿基，分別用A,C,G,U表示在一個(gè) RNA 分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無(wú)關(guān)假設(shè)有一類 RNA 分子由 100 個(gè)堿基組成，那么能有多少種不同的 RNA 分子？分析：用圖1. 1一2 來(lái)表示由1

14、00個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈，這時(shí)我們共有100個(gè)位置，每個(gè)位置都可以從A , C , G , U 中任選一個(gè)來(lái)占據(jù)解：100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈共有 100個(gè)位置，如圖1 . 1一2所示從左到右依次在每一個(gè)位置中，從 A , C , G , U 中任選一個(gè)填人，每個(gè)位置有 4 種填充方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，長(zhǎng)度為 100 的所有可能的不同 RNA 分子數(shù)目有（個(gè)）例7.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有 O 或 1 兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示

15、，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由 8 個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成問(wèn)：(1）一個(gè)字節(jié)（ 8 位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？ (2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（GB 碼）包含了6 763 個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？分析：由于每個(gè)字節(jié)有 8 個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有 0,1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解本題解：(1）用圖1.1一3 來(lái)表示一個(gè)字節(jié)圖 1 . 1 一 3 一個(gè)字節(jié)共有 8 位，每位上有 2 種選擇根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一個(gè)字節(jié)最多可以表示 22222222= 28 =256 個(gè)不同的

16、字符； ( 2）由（ 1 ）知，用一個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠 6 763 個(gè)，我們就考慮用2 個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符前一個(gè)字節(jié)有 256 種不同的表示方法，后一個(gè)字節(jié)也有 256 種表示方法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)字節(jié)可以表示 256256 = 65536 個(gè)不同的字符，這已經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù) 6 763所以要表示這些漢字，每個(gè)漢字至少要用 2 個(gè)字節(jié)表示例8.隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車(chē)擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車(chē)牌照號(hào)碼需交通管理部門(mén)出臺(tái)了一種汽車(chē)牌照組成辦法，每一個(gè)汽車(chē)牌照都必須有3個(gè)不重復(fù)的英文字母和 3 個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)字，并且 3 個(gè)字母必須合成一組出現(xiàn)，3

17、個(gè)數(shù)字也必須合成一組出現(xiàn)那么這種辦法共能給多少輛汽車(chē)上牌照？分析：按照新規(guī)定，牌照可以分為 2類，即字母組合在左和字母組合在右確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字可以分6個(gè)步驟解：將汽車(chē)牌照分為 2 類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右字母組合在左時(shí)，分6個(gè)步驟確定一個(gè)牌照的字母和數(shù)字：第1步，從26個(gè)字母中選1個(gè)，放在首位，有26種選法；第2步，從剩下的25個(gè)字母中選 1個(gè)，放在第2位，有25種選法；第3步，從剩下的24個(gè)字母中選 1個(gè)，放在第3位，有24種選法；第4步，從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，放在第 4 位，有10種選法；第5步，從剩下的 9個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，放在第5位，有9種選法；第6步，從剩下

18、的 8個(gè)字母中選1個(gè)，放在第6位，有8種選法根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，字母組合在左的牌照共有26 25241098=11 232 000（個(gè)） .同理，字母組合在右的牌照也有11232 000 個(gè)所以，共能給11232 000 + 11232 000 = 22464 000（個(gè)） .輛汽車(chē)上牌照用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要進(jìn)行仔細(xì)分析 需要分類還是需要分步分類要做到“不重不漏”分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)分步要做到“步驟完整” 完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)，當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理

19、，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)練習(xí)1乘積展開(kāi)后共有多少項(xiàng)？2某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號(hào)碼由八位數(shù)字組成，其中前四位的數(shù)字是不變的，后四位數(shù)字都是。到 9 之間的一個(gè)數(shù)字，那么這個(gè)電話局不同的電話號(hào)碼最多有多少個(gè)？3從 5 名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各 1 名，有多少種不同的選法？4某商場(chǎng)有 6 個(gè)門(mén)，如果某人從其中的任意一個(gè)門(mén)進(jìn)人商場(chǎng)，并且要求從其他的門(mén)出去，共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式？課堂練習(xí)：1.一螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱,從的一個(gè)頂點(diǎn)爬到相對(duì)的另一個(gè)頂點(diǎn)的最近路線共有多少條？ 解:從總體上看,如,螞蟻從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以, 第一類, m1 =

20、12 = 2 條 第二類, m2 = 12 = 2 條 第三類, m3 = 12 = 2 條 所以, 根據(jù)加法原理, 從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C1最近路線共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 條2 .如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ 解: 按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 種, 第二步, m2 = 2 種, 第三步, m3 = 1 種, 第四步, m4 = 1 種,所以根據(jù)乘法原理, 得到不同的涂色方案種數(shù)共有N = 3 2 11 = 6 變式1，如圖,

21、要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？ 2若顏色是2種，4種，5種又會(huì)什么樣的結(jié)果呢？75600有多少個(gè)正約數(shù)?有多少個(gè)奇約數(shù)?解:由于 75600=2433527(1) 75600的每個(gè)約數(shù)都可以寫(xiě)成的形式,其中,于是,要確定75600的一個(gè)約數(shù),可分四步完成,即分別在各自的范圍內(nèi)任取一個(gè)值,這樣有5種取法,有4種取法,有3種取法,有2種取法,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得約數(shù)的個(gè)數(shù)為5432=120個(gè).鞏固練習(xí)：1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從

22、丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？2.書(shū)架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，5本不同的語(yǔ)文書(shū)，6本不同的英語(yǔ)書(shū)（1）若從這些書(shū)中任取一本，有多少種不同的取法？（2）若從這些書(shū)中，取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)、英語(yǔ)書(shū)各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書(shū)中取不同的科目的書(shū)兩本，有多少種不同的取法？3.如圖一,要給,四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60圖一圖二圖三若變?yōu)閳D二,圖三呢?5.五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？6（2007年重慶卷）若三個(gè)平面兩兩相交，且三條交線互相平行，則這三個(gè)平面把空間分成（ C ）A5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 課外作業(yè)：第10頁(yè) 習(xí)題 1.