一元二次方程及其解法應(yīng)用

1、一元二次方程及其解法,知識(shí)點(diǎn)回顧,1、整式方程,等號(hào)兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程,2、一元二次方程,一個(gè)整式方程整理后如果只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)為2次的方程，叫做一元二次方程,3、一元二次方程的一般形式,方程ax2bxc=0(a、b、c為常數(shù)，a0)稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別叫做二次項(xiàng)，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù),4、一元二次方程的解,能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解,5、一元二次方程分類,探究交流,1）判斷方程X（X10）=X23是否是一元二次方程？ （2）方程3 X22X=1的常數(shù)項(xiàng)是1，方

2、程 3 X22X6=0的一次項(xiàng)系數(shù)是2，這種說(shuō)法對(duì)嗎,答案：（1）化簡(jiǎn)后為10X3=0,所以它是一元一次方程,2）要將一元二次方程化為一般形式，且系數(shù)包括它前面的性質(zhì)符號(hào),練習(xí),1）方程（m2）X|m|3mx1=0是關(guān)于X的一元二次方程，求m的值,答案：m=2,2）當(dāng)m= 時(shí)，方程（m21）x2（m1）x1=0是關(guān)于x的一元一次方程,答案：m=1,3）已知關(guān)于x的一元二次方程（m1） x23x1=0有一個(gè)解是0，求m的值,答案：m=1,4）m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程 mx2m2x1= x2x 沒(méi)有一次項(xiàng),答案：m=1,活動(dòng)1,如圖，有一塊矩形鐵皮，長(zhǎng)100 cm，寬50 cm 在它的四個(gè)

3、角分別切去一個(gè)正方形，然后將四周突出 的部分折起，就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒如果要制作的 無(wú)蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去 多大的正方形？(課件：制作盒子,問(wèn)題1,例 已知：關(guān)于x的方程 (2m-1)x2-(m-1)x=5m 是一元二次方程, 求：m的取值范圍,解：原方程是一元二次方程，2m-10， m,方程的解的定義,使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。如：X=3,X=2都是一元二次方程 X25X6=0 的根。 注意：一元二次方程可以無(wú)解，若有解，就一定有兩個(gè)解,活動(dòng)2,猜測(cè)下列方程的根是什么,方程的根：使一元二次方程等號(hào)兩邊

4、相等 的未知數(shù)的取值叫作一元二次方程的解（又叫 做根,4.（1）下列哪些數(shù)是方程,的根？從中你能體會(huì)根的作用嗎？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4,活動(dòng)2,2）若x2是方程 的一個(gè),根，你能求出a的值嗎,根的作用： 可以使等號(hào)成立,活動(dòng)3,鞏固練習(xí),1你能根據(jù)所學(xué)過(guò)的知識(shí)解出下列方程的解嗎？ （1） ； （2）,一元二次方程的解法(1) -開平方法,當(dāng)ac0時(shí),形如 （a0，c 0）的一元二次方程的解法,當(dāng)ac0時(shí) ，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解,3x2+7=0,解,例題講解,解：系數(shù)化1，得,開平方，得,解這兩個(gè)一元一次方程，得,或,小結(jié),如何解形如 的一元二次方程,小結(jié)與思考,方程可化為一邊是 _,另

5、一邊是_,那么就可以用直接開平方法來(lái)求解,1、怎樣的一元二次方程可以用直接開平方法 來(lái)求解,含未知數(shù)的完全平方式,一個(gè)常數(shù),2、直接開平方法的理論依據(jù)是什么,平方根的定義及性質(zhì),例題講解,拓展與提高,一元二次方程的解法(2) -配方法,用配方法解一元二次方程的步驟,移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊; 配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù) 一半的平方; 開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方; 求解:解一元一次方程; 定解:寫出原方程的解,1)x28x =(x4)2 (2)x23x =(x )2 (3)x212x =(x )2,填空,配方時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為1，則配上的 常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,請(qǐng)同學(xué)解下

6、列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9,上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式,那么可得,如：4x2+16x+16=（2x+4）2,x,p0,或mx+n,做一做,用配方法解下列方程: (1)x26x=1 (2)x2=65x (3) x24x3=0,鞏固練習(xí),1.在用配方法解 時(shí),方程的兩邊應(yīng)同時(shí)加上(,2.解方程,3、說(shuō)明多項(xiàng)式 的值恒大于0,4、先用配方法說(shuō)明：不論x取何值，代數(shù)式 值總大于0，再求出當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式 的值最??？最小值是多少,你能行嗎,解下列方程. 1.x2 2 = 0; 2.x2 -3x- =0

7、; 3.x24x2； 4.x26x10,5.3x2 +8x 3=0,這個(gè)方程與前4個(gè)方程不一樣的是二次項(xiàng)系數(shù)不是1,而是3,基本思想是: 如果能轉(zhuǎn)化為前4個(gè)方程的形式,則問(wèn)題即可解決,你想到了什么辦法,配方法,例2 解方程 3x2+8x-3=0,1.化1:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,3.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方,4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類,5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方,6.求解:解一元一次方程,7.定解:寫出原方程的解,2.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,成功者是你嗎,用配方法解下列方程. 6. 4x2 - 12x - 1 = 0 ; 7. 3x2 + 2x

8、 3 = 0 ; 8. 2x2 + x 6 = 0 ; 9.4x2+4x+10 =1-8x,10. 3x2 - 9x +2 = 0 ; 11. 2x2 +6=7x ; 12. x2 _x +56 = 0 ; 13. -3x2+22x-24=0,回味無(wú)窮,本節(jié)課復(fù)習(xí)了哪些舊知識(shí)呢？ 繼續(xù)請(qǐng)兩個(gè)“老朋友”助陣和加深對(duì)“配方法”的理解運(yùn)用: 平方根的意義: 完全平方式:式子a22ab+b2叫完全平方式,且a22ab+b2 =(ab)2. 本節(jié)課你又學(xué)會(huì)了哪些新知識(shí)呢？ 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程的步驟: 1.化1:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)); 2.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到

9、方程的右邊; 3.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方; 4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類; 5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:寫出原方程的解. 用一元二次方程這個(gè)模型來(lái)解答或解決生活中的一些問(wèn)題(即列一元二次方程解應(yīng)用題,如果x2=a,那么x,一元二次方程的解法(3) -求根公式法,設(shè)a0，a,b,c 都是已知數(shù)，并且 b2-4ac0，試用配方法解方程： ax2 +bx+c = 0,b2-4ac0,因?yàn)?解,一元二次方程ax2+bx+c=0( a0)的 求根公式 x= （b2-4ac0,例： 解方程步驟 ( 1 ) 3y2-2y

10、=1,一般步驟： （1）先把方程化為一般形式 （2）確定a,b,c （3）判定=b2-4ac的值 （4）代入求根公式,2,利用公式法解下列方程，從中你能發(fā)現(xiàn)么,解,用公式法解下列方程，根據(jù)方程根的 情況你有什么結(jié)論,結(jié)論1,1）當(dāng) 時(shí)，一元二次方程 有實(shí)數(shù)根,結(jié)論2,2）當(dāng) 時(shí)，一元二次方程 有實(shí)數(shù)根,結(jié)論3,3）當(dāng) 時(shí)，一元二次方程 無(wú)實(shí)數(shù)根,一元二次方程的解法(4) -因式分解法,自學(xué)檢測(cè)題,1、 什么樣的一元二次方程可以用因式分解法來(lái)解,2、用因式分解法解一元二次方程，其關(guān)鍵是什么,3、用因式分解法解一元二次方程的理論依據(jù)是什么,4、用因式分解法解一元二方程，必須要先化成一般形式嗎,用因

11、式分解法解一元二次方程的步驟,1o方程右邊化為 。 2o將方程左邊分解成兩個(gè) 的乘積。 3o至少 因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程。 4o兩個(gè) 就是原方程的解,零,一次因式,有一個(gè),一元一次方程的解,例：解方程：x2=3x,解：移項(xiàng)，得x2-3x=0,將方程左邊分解因式，得x(x-3)=0,x=0 或x-3=0,原方程的解為：x1=0 x2=-3,這種解一元二次方程的方法叫因式分解法,特點(diǎn)：在一元二次方程的一邊是0， 而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，就可以用因式 分解法來(lái)解,例1、解下列方程 1、x23x10=0 2、(x+3)(x-1)=5,解：原方程可變形為 解：原方程可變形為 (x5)(

12、x+2)=0 x2+2x8=0 (x2)(x+4)=0 x5=0或x+2=0 x2=0或x+4=0 x1=5 ,x2=-2 x1=2 ,x2=-4,快速回答：下列各方程的根分別是多少,例2 解下列方程,1） x2-3x-10=0,2） （x+3）（x-1）=5,填空題練習(xí),1）方程x（x+1）=0的根是_,2）已知x=0是關(guān)于x的一元二次方程 （m+1）x2+3x+m2-3m-4=0的一個(gè)根， 則m=_,3）若方程ax2+bx+c=0的各項(xiàng)系數(shù)之和 滿足a-b+c=0，則此方程必有一根是_,選擇題訓(xùn)練 1.對(duì)于方程(x-a)(x-b)=0,下列結(jié)論正確的是( ) （A） x-a=0 （B）x-

13、a=0或x-b=0 （C） x-b=0 （D）x-a=0且x-b=0 2、方程x(x-2)=2(2-x)的根為( ) （A）-2 （B）2 （C） 2 （D）2、2 3、方程(x-1)=(1-x)的根是( ) （A）0 （B）1 （C）-1和0 （D）1和0,B,C,D,用因式分解法解下列方程,y2=3y,2a3)2=(a2)(3a4,x2+7x+12=0,x5)(x+2)=18,t(t+3)=28,4x3)2=(x+3)2,我最棒 ,用分解因式法解下列方程,參考答案,1.,2.,4.,2.解一元二次方程的方法： 直接開平方法 配方法 公式法 因式分解法,小 結(jié),1o方程右邊化為 。 2o將方

14、程左邊分解成兩個(gè) 的乘積。 3o至少 因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程。 4o兩個(gè) 就是原方程的解,零,一次因式,有一個(gè),一元一次方程的解,1.用因式分解法解一元二次方程的步驟,右化零左分解 兩因式各求解,簡(jiǎn)記歌訣,一元二次方程應(yīng)用,列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟,1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系. 2.解決應(yīng)用題的一般步驟： 審(審題目，分清_、_、等量關(guān)系等)； 設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)； 列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需_，將所求量表示清晰)； 驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）答(寫出答案，切忌答非所問(wèn),一元二次方程

15、應(yīng)用題的主要類型,1.數(shù)字問(wèn)題 如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：_. 幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1. 如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為_，_. 幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2. 如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為_，_,2.平均變化率問(wèn)題,1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式為_ (a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)， b為增長(zhǎng)后的量.)(2)降低率問(wèn)題：平均降低率公式為_ (a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)， b為降低后的量.,3.利息問(wèn)題,1)概念： 本金：顧

16、客存入銀行的錢叫本金. 利息：銀行付給顧客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù). 利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率. (2)公式: 利息=_ 利息稅=利息稅率 本金(1+利率期數(shù))=本息和 本金1+利率期數(shù)(1-稅率)=本息和(收利息稅時(shí),4.利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題,利潤(rùn)(銷售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系： 利潤(rùn)=_-_ (成本) 總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)總件數(shù),數(shù)字問(wèn)題,例1已知兩個(gè)數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個(gè)數(shù)是多少 【變式】有一個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字少2，求這個(gè)兩位數(shù),例2.某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月上升

17、到7200噸,這兩個(gè)月平均每個(gè)月增長(zhǎng)的百分率是多少,分析:2月份比一月份增產(chǎn) 噸. 2月份的產(chǎn)量是 噸 3月份比2月份增產(chǎn) 噸 3月份的產(chǎn)量是 噸,5000(1+x,5000 x,5000(1+x)x,5000(1+x)2,解:平均每個(gè)月增長(zhǎng)的百分率為x 列方程 5000(1+x)2 =7200 化簡(jiǎn) (1+ x)2 =1.44 x1=0.2 x2=-2.2 檢驗(yàn): x2= -2.2(不合題意), x1=0.2 =20% 答:平均每個(gè)月增長(zhǎng)的百分率是20,例2:某月餅原來(lái)每盒售價(jià)96元,由于賣不出去，結(jié)果兩次降價(jià),現(xiàn)在每盒售價(jià)54元,平均每次降價(jià)百分之幾,總結(jié):1.兩次增長(zhǎng)后的量=原來(lái)的量(1

18、+增長(zhǎng)率)2 若原來(lái)量為a,平均增長(zhǎng)率是x,增長(zhǎng)后的量為A 則 第1次增長(zhǎng)后的量是A=a(1+x) 第2次增長(zhǎng)后的量是A=a(1+x)2 第n次增長(zhǎng)后的量是A=a(1+x)n 這就是重要的增長(zhǎng)率公式,2.兩次降價(jià)后價(jià)格=原價(jià)格(1-降價(jià)率)2 公式表示：A=a(1-x)2,例3某商店從廠家以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)為a元，則可賣出(350-10a)件，但物價(jià)局限定每件商品加價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的20%，商店計(jì)劃要賺400元，需要賣出多少件商品?每件商品售價(jià)多少元,變式】某產(chǎn)品原來(lái)每件是600元，由于連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為384元，如果兩次降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同，求平均

19、每次降價(jià)率,例4 如圖所示，某幼兒園有一道長(zhǎng)為16米的墻，計(jì)劃用32米長(zhǎng)的圍欄靠墻圍成一個(gè)面積為120平方米的矩形草坪ABCD，求該矩形草坪BC邊的長(zhǎng),一.復(fù)習(xí)填空: 1、某工廠一月份生產(chǎn)零件1000個(gè)，二月份生產(chǎn)零件1200個(gè)，那么二月份比一月份增產(chǎn) 個(gè)？ 增長(zhǎng)率是多少 。 2、銀行的某種儲(chǔ)蓄的年利率為6%，小民存 1000元，存滿一年，利息= 。 存滿一年連本帶利的錢數(shù)是,200,20,1060元,利息= 本金利率,增長(zhǎng)量=原產(chǎn)量 增長(zhǎng)率,60元,4.康佳生產(chǎn)一種新彩霸,第一個(gè)月生產(chǎn)了5000臺(tái),第二個(gè)月增產(chǎn)了50%,則:第二個(gè)月比第一個(gè)月增加了 _ 臺(tái),第二個(gè)月生產(chǎn)了 _ 臺(tái),500050,5000(1+50,3.某產(chǎn)品，原來(lái)每件的成本價(jià)是500元，若每件售價(jià)625元，則每件利潤(rùn)