不可壓縮N-S方程的FVC緊致格式

1、 不可壓縮N-S方程的FVC緊致格式于欣（ 高溫氣體動力學(xué)國家重點實驗室,中國科學(xué)院力學(xué)研究所，北京海淀區(qū) 100190）摘要 本文給出一種求解不可壓縮Navier-Stokes方程的四階精度交錯網(wǎng)格緊致格式：FVC格式。動量方程用緊致差分格式，連續(xù)方程用有限體積法。在時間方向，我們用Runge-Kutta方法。Runge-Kutta法中間層邊界處理我們采用一種比傳統(tǒng)方式高一階精度的方法。關(guān)鍵詞 緊致差分，差分格式 ，有限體積法，不可壓縮Navier-Stokes方程，Runge-Kutta法1 引 言緊致差分格式在差分點不僅用到速度、壓力的函數(shù)值，而且用到導(dǎo)數(shù)值16,17,14,6，精度高，

2、差分點少，穩(wěn)定性好，對高頻波的分辨率高，邊界差分點少。對復(fù)雜網(wǎng)格，即使精度不能達到四階，也可能有必要采用這樣的緊致差分格式。緊致格式的一個應(yīng)用是湍流直接數(shù)值模擬13,14。非定常粘性不可壓縮Navier-Stokes方程為其中不可壓縮連續(xù)方程：(1.1)(1.2)的顯示離散格式：其中這里時間方向的精度是一階的。我們在第四部分給出對時間方向的Runger-Kutta方法。2 連續(xù)方程的離散格式這部分考慮二維不可壓縮問題。在e=(i-1)x,ix) (j-1)y,jy) 上積分(1.2)得到其中V=(u,v)，設(shè)則(2.1)可以寫為以下近似是四階的 其中對離散格式用同樣的符號則(2.3)(2.4)

3、為連續(xù)方程(1.2)的四階離散格式。邊界上三階離散格式為是積分平均值，例如3 交錯網(wǎng)格緊致差分格式考慮二維非定常粘性不可壓縮Navier-Stokes方程(1.1)(1.2)中的我們考慮(1.1)(1.2)(3.1)(3.2)的差分格式其中，（1）中的一階導(dǎo)數(shù)的差分離散為（2）中的二階導(dǎo)數(shù)的差分離散為（3）壓力的一階導(dǎo)數(shù)的差分離散（4）連續(xù)方程中速度一階導(dǎo)數(shù)的差分離散（本文主要采用另外的離散格式，見第二部分）（5）非線性項中的里的用以下插值公式其中二階導(dǎo)數(shù)的近似可用(3.6)(3.12)(3.13)的結(jié)果。下面給出邊界上的差分逼近。我們主要給出x=0上的差分方程：其中其中其中其中可以由(3.5

4、)1,(3.10)和得到。以上差分格式中的u,v,p的右上角的撇表示導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的差分方程中的未知量。4 非定常問題時間方向離散的Runger-Kutta方法這樣f是V的函數(shù)。求解的四階Ruger-Kutta方法為：其中邊界上常用 （4.2）在中間層（n+0.5時間層）精度只有一階。我們給出如下改進，精度比(4.2)提高一階5 方腔問題數(shù)值計算考慮在頂部受剪切力驅(qū)動的二維方腔流動。控制方程為(1.1)(1.2)(3.1)(3.1),計算區(qū)域為0x1, 0y1,邊界上的速度：上邊界上(u,v)=(1,0),其他邊界上速度均為零。以下格式CD-V與格式CD差別是前者連續(xù)方程用第二部分的離散公式，后者用

5、（3.8）.格式CD-V即FVC格式：（3.3）-（3.7）（2.3）-（2.6）（3.9）-（3.14）(3.16).下表給出用Re=1000計算到定常時中線上u（在x=0.5），v（在y=0.5）的極值與位置 本文方法與前人方法對比，上表和下表中文獻2,7,1的極值是在格點上。下表是用Re=1000計算到定常時流函數(shù)在極值點的數(shù)值和位置本文方法與前人方法對比，數(shù)值結(jié)果證實了FVC格式的高精度。(3.13)和(3.14)左端第二項有和沒有差一階精度，但數(shù)值結(jié)果差別較小。整體精度不受影響的一個原因是由于特定的邊界條件。部分詳細內(nèi)容見： /3rd/yuxin.