機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)題庫

1、、緒論1. 思考題1. 何為約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題 ?什么是無約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題 ?試各舉一例說明。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題多屬哪 一類？2. 一般優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型包括哪些部分?寫出一般形式的數(shù)學(xué)模型。3. 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程是怎樣的 ?它與常規(guī)的機(jī)械設(shè)計(jì)有什么不同?4. 怎樣判斷所求得的最優(yōu)解是不是全局最優(yōu)解？5. 試簡述優(yōu)化算法的迭代過程。6. 何為可行域？為什么說當(dāng)存在等式約束則可行域?qū)⒋鬄榭s小?當(dāng)優(yōu)化問題中有個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么？當(dāng)優(yōu)化問題中有兩個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么？當(dāng)門維優(yōu)化問題中有n個(gè)等式約束時(shí)可行域是什么？7. 什么是內(nèi)點(diǎn)、什么是外點(diǎn) ?在優(yōu)化設(shè)計(jì)中內(nèi)點(diǎn)和外點(diǎn)都可以作為設(shè)計(jì)方案嗎?為什

2、么 ?8. 試寫出第一節(jié)中第三個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型。9. 目標(biāo)函數(shù)及其等值線（等值面）的意義和特性是什么？2. 習(xí)題1. 設(shè)計(jì)一容積為 V 的平底、無蓋圓柱形容器， 要求消耗原材料最少， 試建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型， 并指出屬于哪一類優(yōu)化問題。2. 當(dāng)一個(gè)矩形無蓋油箱的外部總面積限定為S 時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)可使油箱的容量最大？試列出這個(gè)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，并回答： 屬于幾維的優(yōu)化問題？ 是線性規(guī)劃還是非線性規(guī)劃？3. 欲造容積為 V 的長方形無蓋水箱，問應(yīng)如何選定其長、寬、高尺寸，才能使用料消耗最少？試寫 出其數(shù)學(xué)模型。4. 試求直徑為 D 的圓內(nèi)所有內(nèi)接三角形面積中的最大值。5. 在曲面fl（Xl,X

3、2,X3）=0上找一點(diǎn)Pl，在曲面f2（Xl,X2,X3）=0上找一點(diǎn)P2，使得Pl與卩2的距離為最短， 試建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。6. 有一薄鐵皮，寬b=14cm，長L=24cm，制成如圖2-9所示的梯形槽，求邊長 X和傾斜角a為多大 時(shí)，槽的容積最大？試寫出此問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型并指出該問題屬于哪一類的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。7. 欲制批如圖 2-12所示的包裝紙箱， 其頂和底由四邊延伸的折紙板組成。 要求紙箱的容積為 2m3， 問如何確定a、b和c的尺寸，使所用的紙板最省。試寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。8. 一根長 l 的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形。問應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才 能使

4、圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。9. 某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品：A每桶需用煤90kN、電4度、勞動(dòng)日3個(gè)，獲利潤700元；B每桶需 用煤40kN、電5度、勞動(dòng)日10個(gè)，獲利潤1200元。但計(jì)劃規(guī)定可用煤 3600kN、電200度、勞動(dòng)日 300 個(gè)，試問 A、 B 各生產(chǎn)多少桶時(shí)利潤最大？列出其教學(xué)模型，并說明屬于何種數(shù)學(xué)規(guī)劃問題?10. 某廠生產(chǎn)兩種機(jī)器，兩種產(chǎn)品生產(chǎn)每臺(tái)所需鋼材分別為2 噸和 3 噸，所需工時(shí)數(shù)分別為 4 千小時(shí)和 8千小時(shí)，而產(chǎn)值分別為 4萬元和 6萬元。如果每月工廠能獲得的原材料為 100噸，總工時(shí)數(shù)為 120千小時(shí)。 現(xiàn)應(yīng)如何安排兩種機(jī)器的月產(chǎn)臺(tái)

5、數(shù)， 才能使月產(chǎn)值最高。 試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型。11要將10米長的鋼管截成3米和4米長的各100根，要求設(shè)計(jì)出用料最省的下料方法。試寫出其 數(shù)學(xué)模型。12. 設(shè)計(jì)一個(gè)二級(jí)展開式漸開線標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪減速器，已知總傳動(dòng)比i = 20,高速級(jí)齒輪模數(shù)m1,2=2.5mm ,低速級(jí)齒輪模數(shù) m3,4=3mm ,要求減速器高速軸與低速軸間中心距a最小，試建立其優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并指出屬于哪一類優(yōu)化問題。13. 設(shè)計(jì)一個(gè)展開式二級(jí)圓柱齒輪減速器，要求其高、低速軸間的中心距最小。已知總傳動(dòng)比i = h x i2=4,齒輪齒數(shù)Z1=Z3，模數(shù)均為2.5mm，試建立其數(shù)學(xué)模型，并說明屬于何種數(shù)學(xué)規(guī)劃

6、問題。14. 自行提出一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，并建立其數(shù)學(xué)模型。15. 如圖2-13所示，已知跨距為I、截面為矩形的簡支架，其材料密度為p許用彎曲應(yīng)力為w,允許撓度為f，在梁的中點(diǎn)作用一集中載荷P,梁的截面寬度b不得小于bmin，現(xiàn)要求設(shè)計(jì)此梁，使其質(zhì)量最輕試寫出其優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。16. 矩形截面簡支梁，在跨距I的全部長度內(nèi)受到均布載荷q，其材料密度為 p許用彎曲應(yīng)力為cm。要求梁的寬度不小于bmin，最大撓度不大于。試寫出此梁重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。17. 有一圓形等截面的銷軸，一端固定在機(jī)架上，另一端作用著集中載荷P和扭矩M,其簡化模型 如圖2-14所示。由于結(jié)構(gòu)的需要，軸的長度 I不得小

7、于Imin。已知銷軸材料的許用彎曲應(yīng)力 cw和許用 扭剪應(yīng)力T，允許撓度為f；設(shè)計(jì)材料的密度為 p和彈性模量為E?，F(xiàn)要求設(shè)計(jì)這根銷軸，在滿足使用要求下使其質(zhì)量為最輕，試寫出其優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。18. 試按質(zhì)量最輕的原則選擇平均半徑R和壁厚t，設(shè)計(jì)圖2-25所示的薄壁圓柱形容器，要求容積 不小于25.0m3,容器內(nèi)壓力 p為3.5MPa，切向應(yīng)力 c不超過210Mpa，應(yīng)變量不超過 0.001。要求：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型；(2 )用圖解法求出最優(yōu)解。19. 三桿懸掛結(jié)構(gòu)(圖1-5)的材料已經(jīng)選定，其比重為p彈性模量為 E,許用拉應(yīng)力為C。此結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)載荷為2p。試寫出其重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的

8、數(shù)學(xué)模型。20. 平面桁架(圖l-6)由鋼管組成，承受載荷2p。鋼管的壁厚為t,桁架的跨度為 2B。鋼管的直徑d 和桁架高度H可以選擇。桁架應(yīng)滿足強(qiáng)度和剛度的要求。試寫出其重量最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。21. 當(dāng)某試驗(yàn)參數(shù) a為1 , 2, 3, 4, 5時(shí)，其對應(yīng)結(jié)果 f(a)為3, 5, 4, 2, 1。試用一個(gè)二項(xiàng)式 p(a)=a2X1+ax2+X3,去逼近f(a),求X1, x?, X3為多大時(shí)，使得當(dāng)a=2, 3, 4, 5時(shí)各點(diǎn)誤差平方和為最小， 且要求a=1時(shí)，p(a)=f(a)。試寫出該問題的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。22. 己知兩個(gè)物理量 x和y之間的依賴關(guān)系為其中a1a5為待定參數(shù)。

9、為了確定這些參數(shù)的值，對x和y測得m個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)：(, y“, (x2,y2)，(Xm,ym)。試將確定參數(shù)的問題表示成最優(yōu)化問題。23. 有一個(gè)初始的設(shè)計(jì)電路，內(nèi)有m個(gè)可調(diào)整的電阻。如圖1-4所示。要求的響應(yīng)是電路內(nèi)m個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓為給定的一組數(shù)，即W=VD1,V2=VD2, ., Vn=VDn，而實(shí)際的響應(yīng)里每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓都依賴于這m個(gè)可調(diào)的電阻，示為Vi=Ui(R1,R2,.,Rm), i=1n試建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型。24. 某現(xiàn)象的理論公式為：F (t)=洛 x2e3t。透過實(shí)驗(yàn)已測得 m個(gè)F(t)對應(yīng)于t的值。要求確定X1、X2和x3三個(gè)參數(shù)，其中X30，使理論公式與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差平方和為最

10、小。試寫出這個(gè)問題的數(shù) 學(xué)模型。25. 熱敏電阻R= X exp ，今測得溫度t與R的15組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。要求確定參數(shù)冷、X2和X3t X3使電阻R的計(jì)算值與實(shí)測值的均方差最小。試建立其數(shù)學(xué)模型。26. 已知一圓形截面懸臂梁，在其懸臂端作用一集中載荷P和一扭矩M，要求懸伸長度 L=ab,截 面直徑d=d0d1。問在滿足強(qiáng)度和剛度要求的條件下使所需材料最少，應(yīng)如何建立該優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù) 學(xué)模型？并示出。27試畫出下列約束條件下，x=xi X2T的可行域：2 2 2 2（1）gi（x）=xi +（X2-1） -1 w 0g2（x）=（xi-1） +X2 -1 w 0g3（x）=x什X2-1 w 02

11、2（2）g1（x）=2xi+x2-6w 0g2（x）=-xW 0 g3（x）=-X2W 0g4（x）=X1 + X2-16 w 028. 試畫出下列約束條件下X= X1 ,X2T的可行域，并說明哪個(gè)是不起作用的約束。2（1）g1（x）=-X1+X20g2（x）=xi-X2+3 0g3（x）=-X1-X2+8 022（2）g1（x）=X1+X2/2-3 0g2（x）=xi0 g3（x）=X20 h（x）=-X1 -X2 +16 029. 已知約束條件為2 2g1（x）=- X| +X2-30g2（X）=-X1 -X2 +90試問X 1=2,-2 T, X2=3,3T, X3=-3,0T, X4=

12、-1,1T等四點(diǎn)中有幾個(gè)可行點(diǎn)？并寫出可行點(diǎn)。30. 畫出滿足下列約束的可行域。g1（X）=48-3 X1-2X20g2（X）=18-X1-X20 93（X）=X10 g4（X）=X2031. 試將優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)等值線和約束邊界曲線勾畫出來，并回答下列問題：(a) X=1,1 T是不是可行點(diǎn)?(b) X=5/2,1/2 T是不是可行點(diǎn)？(c) 可行域D是否為凸集，用陰影線描繪出可行域的范圍。32. 已知某約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為(1) 該問題是線性規(guī)劃問題還是非線性規(guī)劃問題？(2) 按一定比例畫出目標(biāo)函數(shù)F(X)的值分別等于1 , 2, 3時(shí)的三條等值錢，并在圖上劃出可行域。(3) 在圖上

13、確定無約束最優(yōu)解和約束最優(yōu)解。若在該問題中又加入等式約束h(X)=X1-X2=0，其約束最優(yōu)解 X*、F(X*)又為多少？33. 畫出下列目標(biāo)函數(shù)的等值線，并指出函數(shù)值為正和負(fù)的區(qū)域；它有沒有極小值點(diǎn)？2 2 2 2 2 21)F(X1 ,X2)=X1X ； 2)F(X1 ,X2)=X1 -X2 ； 3)F(X1,X2)=X1 +3X1X +4X2 +634. 用圖解法求解下列優(yōu)化問題的最優(yōu)點(diǎn)。min F （x）=（為 -3）2 （X2 -3）2 1）s.t 2x1-X2 二 0; X1,X2 0min F (x) =-2)2 (x22)22)s.t 為 2x2 = 4;為，x2 0minF(

14、x) =(x -3)2 (x2 -3)23)s.t% /2x2_4;3x1x2-15x1x2-1%, x2035. 如圖所示，設(shè)有一箱形蓋板，已知長度l=600cm，寬度b=60cm，側(cè)板厚度ts=0.5cm ,翼板厚度為tf(cm)，高度為h(cm)，承受最大的單位載荷 q=10000N/cm，蓋板的許用彎曲應(yīng)力d = 70MPa，許用 剪切應(yīng)力T=45MPa，單位長度允許撓度 們=0.0025口口，彈性模量 E=7 X 104MPa，泊松比u=0.3 .要求 在滿足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)質(zhì)量最小的結(jié)構(gòu)方案。5-17搪瓷廠要生產(chǎn)一種容積為785cm3的圓柱形茶杯，試用拉格朗日乘

15、子法設(shè)計(jì)茶杯的尺寸使所用的原材料最省。1. 設(shè)計(jì)一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)(見圖7-16)，已知：桿1的長度11=1，桿4的長度14=5(均為相對長度)。要 求曲柄由4。轉(zhuǎn)到4。十90。時(shí)，搖桿的輸出角實(shí)現(xiàn)如下給定的函數(shù)關(guān)免V y,十方(4 40),式中4。和貝。分別為對應(yīng)于搖桿在右極限位置時(shí)曲柄和搖桿的位置角.運(yùn)動(dòng)過程中的最小傳動(dòng)角不小于45。，即7m, 7 = 45。試建立上述問題的數(shù)學(xué)模利，并選擇優(yōu)化方法，有條件的同學(xué)可2:= 4. 1286,z：= 2. 3325）。2. 如圖為一批量生產(chǎn)的壓力容器，其結(jié)構(gòu)方案和有關(guān)尺寸已定。內(nèi)部氣壓為p=12.75MPa ，容器內(nèi)徑A=120mm，安裝螺栓的中心

16、圓直徑D=200mm，壁厚E=H=20mm，用襯墊密圭寸，為保證拆裝時(shí)具有足夠的扳手空間，螺栓間的周向間隔不應(yīng)小于 5d（d 為螺栓直徑 ），同時(shí)為保證螺栓間的密封壓力均勻， 不致有局部漏氣，螺栓間的周向間距不應(yīng)大于10d。螺栓樹料選用 35號(hào)鋼，長度為50mm，型式為六角頭半精制螺栓,其單價(jià)見下表：要求合理地選擇緊固螺栓的直徑d和螺栓的數(shù)量n，使壓力容器的螺栓總成本最低。試建立上述優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型,并選擇優(yōu)化方法,有條件的同學(xué)可上機(jī)計(jì)算。（答案為 d=25, n=3）。3. 設(shè)有一重量 P=10000N 的物體懸掛在兩根鋼絲繩上，如圖 7-18 所示。已知鋼絲繩長l1=14.1m，l2=11.5m，許用應(yīng)力plOOMpa，彈性模量E=2x 105MPa。為保證此裝置正常工作，除鋼絲繩的工作應(yīng) 力不應(yīng)大于許用應(yīng)力外，還規(guī)定懸掛點(diǎn)的鉛垂位移不應(yīng)越過f4=5m m,現(xiàn)在要求得出鋼絲繩的橫截而積Ai和A2,使承受該載荷的結(jié)構(gòu)重量為最輕。試建立上述優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，并選擇優(yōu)化方法，有條 件的同學(xué)可上機(jī)計(jì)算。（答案為 Al=O.81687， A2=1.15834）。15.如圖所示的二級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器，高速軸輸入功率N1=6.2kW，高速軸轉(zhuǎn)速n 1=1450r/min ,總傳動(dòng)比i=31.5，齒輪的齒寬系數(shù) 滬0.4 ;大齒輪