立體幾何解答規(guī)范解答

1、13.如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱 PD丄底面ABCD PD=DCE是PC的中點，作 EF丄PB交PB于點PA/ 平面 EDB PB丄平面EFD證明證明求二面角C PB- D的大小.(1)(2)(3)方法一：(1) 證明：連結 AC AC交BD于0,連結EO底面ABCD是正方形點0是AC的中點在 PAC中，E0是中位線，而E0 平面EDB且 PA所以，PA / 平面EDB(2) 證明：/ PD丄底面 ABCD且 DC PA / E0 平面EDB底面ABCDDiFPD n Jtt SPDB 營 DF =陪嘰二面用CPDDflWtJ諭爭 PD DC PD=DC可知 P

2、DC是等腰直角三角形，而 DE是斜邊PC的中線, DE PC.同樣由PDL底面ABCD 得 PD丄BC底面 ABCD是正方形，有 DCL BC BC丄平面PDC而 DE 平面 PDC BC DE*由和推得DE 平面PBC而 PB 平面 PBC DE PB又EF PB且DE EF E，所以PB丄平面EFD. Eii 山、一丿仃出iTju l_ f TiTiji.Fti i： 2? 50- DE 丄只丄口3.ABC 葩應畏尢a.刊=-JPD1=品=-/C=-a.DE 5在 JfrAfyTZS -Em jRE = 二=DF -JGa方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC(1)證明：

3、連結 AC AC交BD于G,連結EGa a依題意得 A(a, 0, 0), P(0, 0, a), E(0, 八2 2底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心，故點G的坐標為(？，a, 0)且2 2PA (a, 0,a), EG (|, 0,|).PA 2EG，這表明 PA/EG+而EG平面EDB且 PA 平面EDB PA/平面EDB(2)證明；依題意得 B(a, a, 0)， PB (a, a, a).又 DE (0, a, |)，故PB DE 0 PB DE+ 由已知EF PB ,且EFDEE，所以PB 平面EFD(3)解：設點F的坐標為(x0, y0,z。)，PFPB，則(x, y,Zo

4、a)(a,a, a)+從而 xa, y a, z(1)a .所以FE ( X0,a ay,Z0)a,(11)a, ( ga)*由條件EFPB知,FEPB0,即2 /1a (1)a2a3,1 22)a2a)，且 fe (0，解得a3,a3,2|)2 2 aa2a2介PB FD0333a點F的坐標為(一,3即PBFD，故EFD 是二:面角C PB- D的平面角+22 22aa aa FEFD，且91896- cos EFDFE FD|FE |FD |663,2 2 a a2 a、62 2 2a a 4a、6| FE | .a , |FD |一 一a ,V 936366 1 1,9993a2EFD所

5、以，二面角 C-PB D的大小為3(2010年全國高考課標全國卷文科18)(本小題滿分12 分) 如圖，已知四棱錐 P ABCD的底面為等腰梯形， AB / CD, AC BD ,垂足為H , PH是四棱錐的高。(I)證明：平面 PAC 平面PBD ;(n)若 AB 6APB ADB60 ,求四棱錐P ABCD的體積?！窘馕觥?1)因為PH是四棱錐P-ABCD 的高。所以ACPH,又 ACBD,PH,BD都在平PHD內,且 PHI BD=H.所以AC平面PBD.故平面PAC平面PBD.6分因為ABCE為等腰梯形，ABPCD,ACBD,AB= . 6 .所以HA=HB= 3 .因為APB= AD

6、R=60所以PA=PB= 6 ,HD=HC=1.可得PH=.3.A等腰梯形ABCD勺面積為S=-AC x BD = 2+3.9分2所以四棱錐的體積為叫x (2+.3 ) -3=十，2分【考題再現(xiàn)】(本題滿分12分)如圖，已知四棱錐 P ABCD勺底面 為等腰梯形，AB/ CD ACL BD垂足為H, PH是四棱錐的高，E為AD 中占I 八、(1)證明：PEL BC; 若/ APB=Z ADB= 60,求直線 PA與平面PEH所成角的正弦值.規(guī)范解答解：以H為原點，HA、HB、HP所在直 線分別為x軸，y軸，z軸，線段HA的 長為單位長，建立空間直角坐標系如圖，則 A(1,0,0), B(0,1

7、,0).丄(2 分)(1)證明：設 C(m,0,0), P(0,0, n)(mv 0, n 0),1 m則 D(0 , m,0) , E(2, 2, 0).f 1 mf可得 PE= , m， n), BC= (m , 1,0).f f m m因為 pebc= mm+0=0, 所以PE丄BC.解題程序/ 11第一步：識圖分析幾何體，找出確定幾/A何體底面和高的條件，根據所學知識，理清圖形中必渾一 H J的數量關系第二步：建系設點(E)匚2(4分)3 I (6 分)由已知條件及(1)可得m=33, n= 1,則 P(0,0,1).f3fBC=(,1,0), AP= ( 1,0,1)a m岳=建4 IBC W因此直線PA與平面PEH所成角的正弦值為Q (12 分)因為本題中有三條直線 兩兩垂直，可建立空間直 角坐標系，從而確定點的 坐標.第三步：求向量坐標(| 24 )用終點坐標減去起點坐 標寫出所需要的向量坐標.第四步：計算或證明(3 -5)利用證明兩個非零向量 垂直的充要條件和向量 夾角的余弦公式進行計 算和證明利用向量解決空間幾何中的問題應注意以下幾點(1) 建系時，要根據圖形特點，充分利用圖形中的垂直關系確定原點和各坐標軸，同時,方 法 指 導使盡可能多的點在坐標軸上或坐標平面內，這樣可以比較方便的寫出