數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)綜合實(shí)驗(yàn)報(bào)告[驕陽(yáng)教學(xué)]

1、一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?、初步認(rèn)識(shí)迭代，體會(huì)迭代思想的重要性。2、通過在mathematica環(huán)境下編寫程序，利用迭代的方法求解方程的根、線性方程組的解、非線性方程組的解。3、了解分形的的基本特性及利用mathematica編程生成分形圖形的基本方法，在欣賞由mathematica生成的美麗的分形圖案的同時(shí)對(duì)分形幾何這門學(xué)科有一個(gè)直觀的了解。從哲理的高度理解這門學(xué)科誕生的必然性，激發(fā)讀者探尋科學(xué)真理的興趣。4、 從一個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數(shù)的迭代出發(fā)，利用mathematica認(rèn)識(shí)混沌現(xiàn)象及其所蘊(yùn)涵的規(guī)律。5、.進(jìn)一步熟悉Mathematic軟件的使用，復(fù)習(xí)總結(jié)Mathematic在數(shù)學(xué)作圖中的應(yīng)用，為便于研

2、究數(shù)學(xué)圖像問題提供方便，使我們從一個(gè)新的視角去理解數(shù)學(xué)問題以及問題的實(shí)際意義。6、在學(xué)習(xí)和運(yùn)用迭代法求解過程中，體會(huì)各種迭代方法在解決問題的收斂速度上的異同點(diǎn)。二、實(shí)驗(yàn)的環(huán)境：學(xué)校機(jī)房，mathematica4環(huán)境三、實(shí)驗(yàn)的基本理論和方法：1、迭代（一）方程求解函數(shù)的迭代法思想：給定實(shí)數(shù)域上光滑的實(shí)值函數(shù)以及初值定義數(shù)列， (1)，稱為的一個(gè)迭代序列。（1）方程求根給定迭代函數(shù)以及初值利用（1）迭代得到數(shù)列，.如果數(shù)列收斂到某個(gè)，則有 . (2)即是方程的解。由此啟發(fā)我們用如下的方法求方程的近似解。將方程改寫為等價(jià)的方程 ， (3)然后選取一初值利用（1）做迭代。迭代數(shù)列收斂的極限就是方程的解

3、。為了使得迭代序列收斂并盡快收斂到方程的某一解的條件是迭代函數(shù)在解的附近的導(dǎo)數(shù)將的絕對(duì)值盡量小，因此迭代方程修訂成 (4)選取使得在解的附近盡量小. 為此, 我們可以令得.于是 .特別地,如果取, 則可得到迭代公式 (5)（2）線性方程組的數(shù)值解的迭代求解理論與矩陣?yán)碚摻o定一個(gè)元線性方程組 (6)或?qū)懗删仃嚨男问?(7)其中是階方陣,及均為維列向量.熟知，當(dāng)矩陣A的行列式非零時(shí)，以上的方程組有唯一解.如何有效，快速地尋求大型的線性方程組的數(shù)值解釋科學(xué)工程計(jì)算中非常重要的任務(wù).而迭代法常常是求解這些問題的有效方法之一。用迭代法求解線性方程組的思想與上一小節(jié)介紹的方程求根的方法是類似的。將方程組(

4、7)改寫成 (8)其中是階矩陣,是維列向量. 任意給定初試向量,由迭代 (9)確定向量序列 如果收斂到向量,則有則為方程組(7)的解.假設(shè)矩陣A的對(duì)角元素。令，則我們可以將方程（7）改寫成 或 （10）由上式即可確定一種迭代格式。如果即將矩陣分解為，其中分別為下三角陣與上三角陣，則（10）可以進(jìn)一步改成 或 （11）上式又可確定另一種迭代格式。（3）非線性方程組的迭代求解理論類似于單變量的方程組及線性方程組的求解，用迭代方法可以求更加復(fù)雜的非線性方程組的解，給定非線性方程組 (12)將它改寫為等價(jià)的方程組 或 (13)其中，x為n維列向量, 為n維列向量函數(shù)，由上式即確定了一種迭代格式 . 由

5、于非線性方程組可能有許多解（甚至有無窮多個(gè)解），因此對(duì)它的求借比線性方程組的求解要面臨更多的挑戰(zhàn)。2、迭代（二）分形 分形幾何描述自然界的幾何形態(tài)，把自然形態(tài)看作是具有無限嵌套層次的精細(xì)結(jié)構(gòu)，并且在不同尺度下保持某種相似的屬性，于是在簡(jiǎn)單的迭代過程中就可以得到描述復(fù)雜的自然形態(tài)的有效方法。（1） 生成元早在19世紀(jì)末及20世紀(jì)初，一些數(shù)學(xué)家就構(gòu)造出一些邊界形狀極不光滑的圖形。這類圖形的構(gòu)造方式都有一個(gè)共同的特點(diǎn),即最終圖形都是按照一定的規(guī)則通過對(duì)初始圖形不斷修訂得到的. 其中最有代表性的圖形是曲線, 它的構(gòu)造方式是給定一條直線段,將它分為三等分,并將中間的一段用以該線段為邊的等邊三角形的另外兩

6、條邊代替,得到圖形. 然后, 再對(duì)圖形中的每一小段都按上述方法修改, 以至無窮. 則最后得到的極限曲線,即所謂的曲線.曲線的修改規(guī)則是將每一條直線段用一條折線代替, 我們稱為該分形的生成元. 分形的基本特性完全由生成元決定. 因此, 給定一個(gè)生成元, 我們就可以生成各種各樣的分形圖形。（2） 復(fù)變函數(shù)迭代理論給定初始復(fù)數(shù)，考慮如下迭代：其中為復(fù)數(shù)，為（復(fù)）常數(shù)。對(duì)于給定的初始點(diǎn)，迭代序列有可能有界，也可能發(fā)散到無窮。令是使得迭代序列有界的所有初值構(gòu)成的集合，即=|迭代序列有界我們稱在復(fù)平面上構(gòu)成的集合為Julia集。對(duì)不同的參數(shù), Julia集的形狀也會(huì)不同。特別的，對(duì)應(yīng)的Julia集為圓盤。

7、如果固定初值，則對(duì)不同的參數(shù)，迭代序列的有界性也不相同。令是使得迭代序列有界的所有參數(shù)構(gòu)成的集合，即=|迭代序列有界則稱在復(fù)平面上構(gòu)成的集合為Mandelbrot集。為了便于在計(jì)算機(jī)上繪制出Julia集和Mandelbrot集，我們令，則（1）式可改寫為 記，則Julia集為使得序列有界的初始點(diǎn)構(gòu)成的集合，Mandelbrot集為使得序列有界的參數(shù)構(gòu)成的集合。Julia集與Mandelbrot集會(huì)是什么樣子？如果沒有計(jì)算機(jī)的幫助，你是很難想象的。下面，我們給出這兩個(gè)集合的計(jì)算機(jī)作圖方法。Julia集繪制方法（1）設(shè)定初始值，一個(gè)最大的迭代次數(shù)，圖形的分辨率大小和使用的顏色數(shù)（如）（或者給定灰度

8、級(jí)）。（2）設(shè)定一個(gè)上界值。（3）將矩形區(qū)域分成的網(wǎng)格，分別以每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)，作為初始值利用riter做迭代（實(shí)際上，只需對(duì)滿足的初始點(diǎn)迭代）。如果對(duì)所有，將圖形的像素點(diǎn)用黑色顯示。否則，如果從迭代的某一步開始有，則利用第種顏色顯示相應(yīng)像素（或者用相應(yīng)的灰度級(jí)顯示）。Mandelbrot集繪制方法（1）設(shè)定一個(gè)最大的迭代次數(shù)，圖形的分辨率大小和使用的顏色數(shù)（如）（或者給定灰度級(jí)）。（2）設(shè)定一個(gè)上界值。（3）將矩形區(qū)域分成的網(wǎng)格，分別以每個(gè)網(wǎng)點(diǎn)，作為參數(shù)值利用riter做迭代（實(shí)際上，只需對(duì)滿足的初始點(diǎn)迭代）。每次得帶的初值均為。如果對(duì)所有，將圖形的像素點(diǎn)用黑色顯示。否則，如果從迭代的某一步開始有，

9、則利用第種顏色顯示相應(yīng)像素（或者用相應(yīng)的灰度級(jí)顯示）。四、實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容和步驟：練習(xí)1給定初值及迭代函數(shù)，迭代n次產(chǎn)生相應(yīng)的數(shù)列。mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為：練習(xí)2設(shè)利用（1）做迭代得到序列（1）寫出序列的通項(xiàng)公式為：（2）在什么條件下，迭代（1）對(duì)任意的初值都收斂？答：據(jù)幾何級(jí)數(shù)的收斂性，當(dāng) 時(shí)，迭代（1）對(duì)任意的初值都收斂。（3）影響收斂性的主要量是什么？它與的一階導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？常數(shù)對(duì)迭代的收斂性有沒有影響？收斂速度的快慢由什么量決定？答：影響收斂性的主要量是a,它即為的一階導(dǎo)數(shù)，常數(shù)b對(duì)迭代的收斂性沒有影響，收斂速度的快慢由a和b共同決定。（4）對(duì)于任意給定的線性方程，你是

10、否可以將它改寫成等價(jià)的形式使得迭代總是收斂？答：對(duì)于任意給定的線性方程，我們總可以將它改寫成等價(jià)的形式使得迭代總是收斂。練習(xí)3考察用迭代函數(shù)求解方程的解的情況。（1）在同一直角坐標(biāo)系中，畫出及的圖象。從圖上觀察，方程有幾個(gè)解？mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為：結(jié)果分析：通過觀察函數(shù)圖像可得有三個(gè)解。（2）取初值做迭代，迭代序列是否收斂？如果收斂，它收斂到哪一個(gè)解？取其他初值，觀察迭代的結(jié)果。是否可以選取到非零的初值，使得迭代序列收斂到的解？初值，迭代20次產(chǎn)生的迭代序列mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為：結(jié)果分析：通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果我們看到，迭代序列收斂于1.895附近。取初值，迭

11、代20次運(yùn)行結(jié)果為：取初值，迭代20次運(yùn)行結(jié)果為：取初值，迭代20次運(yùn)行結(jié)果為：結(jié)果分析：由可得盡管初值已經(jīng)非常小了，但迭代結(jié)果卻并不收斂于的解，因此我們得到一個(gè)結(jié)論，找不到非零的初值使迭代序列收斂到0.再取初值，同樣迭代20次，結(jié)果為：當(dāng)初值為0時(shí)，迭代序列收斂于0.（3）你能否解釋（2）中觀察到的現(xiàn)象？對(duì)非線性迭代，迭代序列收斂性與什么因素有關(guān)？你能否給出迭代收斂的一個(gè)充分的條件？初始值的選取對(duì)迭代的收斂性及其收斂到哪一個(gè)解有什么影響？（提示：在一個(gè)光滑函數(shù)的局部，它可以近似看成一個(gè)線性函數(shù)。然后，你可以利用線性迭代的有關(guān)結(jié)論。）答：通過以上觀察到的現(xiàn)象，我們看到，對(duì)非線性迭代，迭代序列收

12、斂性與迭代函數(shù)和初值都有關(guān)，取不同的初值會(huì)得到不同的收斂結(jié)果。練習(xí)4 利用（5）式的迭代方法求解方程的根，將它的收斂速度與你得到的其他的迭代公式相比較，那個(gè)更快？mathematica程序如下：當(dāng)初值時(shí)，迭代10次的結(jié)果為運(yùn)行結(jié)果為：當(dāng)初值時(shí)，迭代10次的結(jié)果為運(yùn)行結(jié)果為：結(jié)果分析：由上述試驗(yàn)結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，使用改進(jìn)的迭代公式求方程的根，它的收斂速度比其他的迭代公式要快，而且隨著迭代次數(shù)的增加，迭代值趨于穩(wěn)定。練習(xí)5設(shè) ，任意取定向量f及初始向量利用（9）做迭代。mathematica程序如下：當(dāng)、時(shí)，迭代20次的結(jié)果為：運(yùn)行結(jié)果為：練習(xí)6給定 ，b任意選取。做如下迭代。（1）用格式（10）做迭

13、代。mathematica程序如下： 取、得迭代10次的結(jié)果為：取、得迭代10次的結(jié)果為：（2）用格式（11）做迭代 mathematica程序如下：取、得迭代10次的結(jié)果為：取、得迭代10次的結(jié)果為：練習(xí)7分別取 分別用格式（10）和格式（11）做迭代。（1）取，初值向量，用格式（10）對(duì)做迭代。mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為：（2）取，初值向量，用格式（11）對(duì)做迭代。mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為：結(jié)果分析：上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，格式（10）和（11）都是收斂的，且比起前面的迭代格式，收斂速度明顯加快，收斂效果更好。練習(xí)8用計(jì)算機(jī)繪制出Koch曲線，Sierinski

14、三角形及一些樹木花草的圖形。（1）Koch曲線，mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為：（2）Sierinski三角形，mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為：（3）樹木花草，mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為:結(jié)果分析：樹木花草和前面幾個(gè)曲線相比有些特別，它具有所謂的分支結(jié)構(gòu)，其中有一些參數(shù)可以改變，如每段樹枝的長(zhǎng)度以及樹枝之間的角。練習(xí)9用計(jì)算機(jī)繪制出繪制Minkonwski“香腸”曲線。mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為:練習(xí)10從一個(gè)從一個(gè)正三角形出發(fā)，用計(jì)算機(jī)繪出Koch曲線的生成元作迭代得到的極限圖形Koch雪花曲線。mathematica程序如下及運(yùn)行結(jié)果

15、如下：結(jié)果分析：從形的角度，粗略的看，“雪花曲線”是一條封閉的連續(xù)的折線；不光滑（到處都長(zhǎng)滿了角），當(dāng)?shù)螖?shù)增多時(shí)，“角”的個(gè)數(shù)增多，“角”越來越小，曲線向外生長(zhǎng)變得越來越慢等。練習(xí)11定義 Weierstrass 函數(shù)如下：對(duì)不同的s 值，畫出函數(shù)的圖像.觀察函數(shù)的不規(guī)則性與s 的關(guān)系，由此猜測(cè)Weierstrass 函數(shù)圖像的維數(shù)與s 的關(guān)系。mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為：再取，得到如下圖像結(jié)果分析：越接近2，函數(shù)圖象上下浮動(dòng)的越大。練習(xí)12編寫繪制Julia集的程序。對(duì)不同的參數(shù)：（0，1），（-1，0），（0.11，0.66），（-0.10281，0.95732），（-1.25，-0.01）觀察Julia集的不同局部放大，你能看到某些自相似現(xiàn)象嗎？mathematica程序如下：運(yùn)行結(jié)果為：練習(xí)13繪制Mandelbrot集。然后，任意選取他的一個(gè)局部將其放大，然后再將放大圖形的局部放大。由此觀察Julia集與Mandelbrot集有何關(guān)系。進(jìn)一步，取參數(shù)位于Mandelbrot集的不同部位（如內(nèi)部、外