線性代數(shù)：LA1-1 Gauss 消元法

1、線 性 代 數(shù),第一章 矩 陣,一般的n元線性方程組,1.1 Gauss 消元法,2,3,線性方程組的解,解集合：線性方程組(1.1.1)的全部解構(gòu)成的集合,不相容線性方程組（無解）：解集合為空集,相容線性方程組（有解）：解集合不為空集,一般解（通解）：解集合中全部元素的通項(xiàng)表達(dá) 式,具體解（特解）：解集合中一個(gè)特定元素,4,解的存在性：解集合是否為空集,解的唯一性：非空的解集合是否只有一個(gè)元素,線性方程組同解：解集合相同,5,一般的n元齊次線性方程組,零解：所有未知數(shù)均取零的解(必為(1.1.2)的解)； 非零解：未知數(shù)不全取零的解(可能存在,注 對(duì)齊次線性方程組，有非零解 解不唯一,6,只

2、有零解,有無窮多個(gè)解,(2,-1),(6,-3)等,例,7,例,求解線性方程組,提示：改進(jìn)已學(xué)過的加減消元法求解線性方程組,求解線性方程組：Gauss消元法,A,8,解,A,9,由最后這個(gè)階梯形方程組通過依次回代，解得,10,小結(jié),1上述求解線性方程組有兩個(gè)過程: 消元與回代,2消元過程對(duì)方程組進(jìn)行了如下三種類型的變換,3）互換兩個(gè)方程的位置,1）以一個(gè)非零數(shù)乘某個(gè)方程,2）把一個(gè)方程的常數(shù)倍加到另一個(gè)方程上,稱上述三種變換為方程組的初等變換,11,3上述三種變換都是可逆的,由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的,定理1.1.1 方程組的初等變換把一個(gè)線性方程組變成

3、另一個(gè)同解的線性方程組,12,4. 消元時(shí)約定,用上面的方程中的未知數(shù)消去下面方程中的未知數(shù),最后總可以得到一種特殊形式的方程組：階梯形方程組，即從上向下，每個(gè)方程中系數(shù)不為零的第一個(gè)未知數(shù)的下標(biāo)是嚴(yán)格增大的,例,一個(gè)方程中從左向右依次消去未知數(shù),注 消元的目的就是把原方程組化為階梯形方程組，以便于回代過程的進(jìn)行,13,在上述變換過程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量、“”、“”并未參與運(yùn)算,可簡(jiǎn)記為,這個(gè)數(shù)陣就是矩陣,于是為了簡(jiǎn)便表示消元過程，前例中方程組,14,矩陣的定義,由 mn 個(gè)數(shù) 構(gòu)成的m 行n 列的矩形表,稱為 矩陣.簡(jiǎn)稱 矩陣,記作,15,簡(jiǎn)記為,元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱

4、為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣,這mn個(gè)數(shù)稱為A的元素，簡(jiǎn)稱為元,16,矩陣 A, B, C, 元素 a, b, c, ai , bj , aij , bij,17,對(duì)于線性方程組,18,令,A,分別稱為方程組(1.1.1)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣,19,注,非齊次線性方程組由其增廣矩陣唯一確定,齊次線性方程組由其系數(shù)矩陣唯一確定,20,增廣矩陣的每行對(duì)應(yīng)方程組中的一個(gè)方程，故方程組的三種初等變換對(duì)應(yīng)增廣矩陣的下列三種變換,上面三種變換稱為矩陣的初等行變換,21,方程組的消元過程可以通過對(duì)增廣矩陣的初等變換實(shí)現(xiàn),例 解線性方程組,解：寫出增廣矩陣,22,解得,23,說明,1）變換提示符,2)

5、 將矩陣A化為B記為AB，不能記為AB,3) 階梯型方程組的增廣矩陣也有階梯的 特征,i）零行在 所有非零行的下面。 （ii）隨著行標(biāo)的增大，每個(gè)非零行的 首非零元的列標(biāo)嚴(yán)格增大,這樣形狀的矩陣稱為階梯形矩陣,24,階梯形矩陣特點(diǎn),1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零,2）、每個(gè)臺(tái)階 只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元（稱之為主元）,25,顯然, 以階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組一定也是階梯形方程組. 因此只要把增廣矩陣用初等行變換化為階梯形矩陣, 即可得所求的階梯形方程組, 從而完成消元過程,定理1.1.2 任一矩陣可通過有限次

6、初等行變換化為階梯形矩陣,這種求解方法就是所謂的Gauss消元法.此方法的關(guān)鍵是把增廣矩陣用初等行變換化為階梯形,26,輸入,線性方程組 AX=B,方程組的 初等變換,階梯形方程組 CX=b,回代,一般解,矩陣初等 行變換,階梯形矩陣 C b,輸出,27,例 解線性方程組,解,28,對(duì)應(yīng)階梯形方程組為,因?yàn)闊o論 x1, x2, x3 取何值，都不會(huì)使第三個(gè)方程成立，所以此方程組無解，亦即原方程組無解,稱形如“零=非零數(shù)”的方程為矛盾方程,29,例 解方程組,解,30,對(duì)應(yīng)方程組為,31,由于,滿足(2), 故也滿足(1), 即它們構(gòu)成原方程組的解,32,因?yàn)?k2, k5 可任意取值，故由（3

7、）式可知原方程組有無窮多個(gè)解,因 x2, x5 的值是任意取定的，故稱之為自由未知數(shù),一般解為,33,例 解方程組,解,34,對(duì)應(yīng)方程組為,選 x2, x4, x5 為自由未知數(shù)，則有,解得,x2, x4, x5為自由未知數(shù),35,問題,1）自由未知量的選法是否唯一,2）自由未知量是否可以隨意選取,1) 另取x1, x2, x4 為自由未知量，則有,解之得,解答,36,問題,1）自由未知量的選法是否唯一,2）自由未知量是否可以隨意選取,2) 取x3, x4, x5為自由未知量，則有,解答,解不唯一,37,自由未知量是不能隨便取的,選取時(shí)必須保證當(dāng)自由未知量的值給定后，階梯型 方程組的解唯一,3

8、8,階梯形矩陣中各 非零行的第一個(gè)非零元，稱之為主元階梯形方程組中主元對(duì)應(yīng)的未知數(shù)稱為主元未知數(shù),注:（1）通?？偸侨》侵髟粗獢?shù)為自由未知數(shù) (系數(shù)不是階梯形矩陣主元的未知數(shù))； （2）階梯形方程組不含“0=0”的方程。 （3）對(duì)齊次方程組消元時(shí)，只需對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn) 行初等行變換,39,對(duì)于一般的線性方程組解的判定及求法,首先,把方程組(1.1.1)的增廣矩陣,用初等行變換化為階梯形矩陣,40,其中主元均不為零,然后寫出,對(duì)應(yīng)的階梯 形方程組,41,1.1.4,情況1,結(jié)論,42,情況2,且 r = n,此時(shí)，方程組可表示為,方程組有唯一解,43,情況3,且 r n,此時(shí)，方程組可表示為,方程

9、組有無窮多個(gè)解,44,線性方程組解的存在性與唯一性,定理 把方程組化為同解的階梯形方程組,1)若方程組含矛盾方程,則方程組無解,2)若方程組不含矛盾方程,則方程組有解.此時(shí),若 r=n,則方程組有唯一解；若 rn, 則方程組有無窮多個(gè)解,推論 若齊次線性方程組中方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則其必有非零解,注 此結(jié)論不能推廣到非齊次線性方程組,45,例 設(shè)有線性方程組,解,交換1，3行,系數(shù)中有參數(shù)時(shí)，分析參數(shù)和解的關(guān)系,46,R2 (1) R3,47,其通解為,48,這時(shí)又分兩種情形,49,50,解:設(shè)全校三年級(jí)學(xué)生人數(shù)為x4，按三人一組可分x1組，按5人一組可分x2組，按7人一組可分為x3組

10、，這里x1, x2, x3中均未記剩余人員。根據(jù)已知條件可得,例 某大學(xué)數(shù)學(xué)系組織全校三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，比賽以組為單位進(jìn)行。在分組過程中發(fā)現(xiàn)，若3個(gè)人一組，最后剩余2人，若5人一組，則最后余3人；若7人一組，最后也余2人。已知全校三年級(jí)學(xué)生人數(shù)在800到1000之間。問全校三年級(jí)學(xué)生有多少人,51,由此可得一般解為,52,因在此問題中，所涉及的數(shù)都是正整數(shù)， 故我們只需討論上述方程組的正整數(shù)解。為 此，需要對(duì)解的一般表達(dá)式進(jìn)行變形,x1取正整數(shù)，x4只可能為 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,x2取正整數(shù)，x4只可能為 8, 13, 18, 23, 2

11、8, 33,x3取正整數(shù)，x4只可能為 9, 16, 23, 30, 37,另外，3，5，7的最小公倍數(shù)是105,53,取 這里k可任意取值， 則方程的一般解可改寫為,54,我們只需討論 取非負(fù)整數(shù)的情況即可。 由已知 即 可得 此時(shí) 于是全校三年級(jí)學(xué)生人 數(shù)為863或968,55,Gauss消元法是把增廣矩陣化為階梯形矩陣,我們希望:零元素更多, 非零元素盡可能是1,矩陣的初等行變換可以把階梯形矩陣化為更簡(jiǎn)單的形式，例如,56,階梯形矩陣 有如下特點(diǎn)：主元為1并且主元所 在列的其它元素全為零,稱這樣的階梯形矩陣為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣或 標(biāo)準(zhǔn)階梯形矩陣,57,由此立得其一般解,58,增廣矩陣,階梯形矩陣,階梯形方程組,回代