工程水文學(xué)第章水文統(tǒng)計的基本知識(最新整理)

1、工程水文學(xué) 第 4 章 水文統(tǒng)計的基本知識第四章 水文統(tǒng)計的基本知識第一節(jié) 概述. 2第二節(jié) 概率的基本概念. 2第三節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布. 3第四節(jié) 水文頻率曲線線型. 5第五節(jié) 頻率曲線參數(shù)估計方法. 11第六節(jié) 水文頻率計算適線法. 12第七節(jié) 相關(guān)分析. 14小結(jié).18 課前學(xué)習(xí)指導(dǎo)課程要求（1） 了解概率、隨機(jī)變量及其概率分布的基本概念；（2） 了解水文頻率曲線常用的線型，要掌握 p-iii 型分布曲線和經(jīng)驗頻率曲線的性質(zhì)和計算方法；（3） 了解頻率曲線參數(shù)的估算方法，要掌握矩法估算參數(shù)的方法；（4） 掌握水文頻率計算適線法的具體步驟和方法，特別是參數(shù)對頻率曲線的影響；（5） 了

2、解相關(guān)分析的基本概念和方法，特別要掌握兩變量直線相關(guān)、曲線相關(guān)的方法和具體步驟。課時安排共需 6 個課內(nèi)學(xué)時，10 個課外學(xué)時課前思考頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系?某水利樞紐施工期預(yù)定 3 年,施工用的圍堰的設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)按照 20 年一遇洪水設(shè)計,在施工期內(nèi)發(fā)生設(shè)計洪水的概率、一次也不發(fā)生設(shè)計洪水的概率？水文變量常用線型與參數(shù)估計方法？進(jìn)行回歸（相關(guān)）分析，其目的是什么？ 如何提高參數(shù)估計的精度？學(xué)習(xí)重點(diǎn)掌握 pearsoniii 型分布曲線性質(zhì)與計算方法，如何利用適線法估計水文系列參數(shù)；難點(diǎn)如何靈活應(yīng)用概率論原理（如古典概率，概率的加法和乘法定律等）計算事件發(fā)生的概率，如何調(diào)整參數(shù)使得水文理論頻率曲

3、線與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)擬合好？ 第一節(jié) 概述一、水文現(xiàn)象的特性水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。1、必然現(xiàn)象是指在一定條件下，必然出現(xiàn)或不出現(xiàn)的現(xiàn)象；水文學(xué)中稱水文現(xiàn)象的這種必然性為確定性。2、偶然現(xiàn)象是指在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，偶然現(xiàn)象也稱隨機(jī)現(xiàn)象；偶然現(xiàn)象仍然是有規(guī)律的，一般稱為統(tǒng)計規(guī)律。二、水文統(tǒng)計規(guī)律的研究 - 水文統(tǒng)計數(shù)學(xué)中研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科稱為概率論, 而由隨機(jī)現(xiàn)象的一部分試驗資料去研究總體現(xiàn)象的數(shù)字特征和規(guī)律的學(xué)科稱為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)應(yīng)用到水文分析與計算上則稱為水文統(tǒng)計。三、水文統(tǒng)計的任務(wù)水文統(tǒng)計的任務(wù)就是研究和分析水文

4、隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特性。并以此為基礎(chǔ)對水文現(xiàn)象未來可能的長期變化做出在概率意義下的定量預(yù)估，以滿足工程規(guī)劃、設(shè)計、施工以及運(yùn)營期間的需要。水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容具體有以下兩點(diǎn)：1、根據(jù)已有的資料（樣本），進(jìn)行頻率計算，推求指定頻率的水文特征值；2、研究水文現(xiàn)象之間的統(tǒng)計關(guān)系，應(yīng)用這種關(guān)系延長、插補(bǔ)水文特征值和作水文預(yù)報。第二節(jié) 概率的基本概念一、事件在概率論中 , 對隨機(jī)現(xiàn)象的觀測叫做隨機(jī)試驗 , 隨機(jī)試驗的結(jié)果稱為事件。事件可以分為必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件三種。二、概率隨機(jī)事件的概率反映事件發(fā)生的可能性大小。隨機(jī)事件的概率可由下式計算：（4-2-1）式中： p（a）在一定條件組合下，

5、出現(xiàn)隨機(jī)事件 a 的概率；k 出現(xiàn)隨機(jī)事件 a 的結(jié)果數(shù)；n 在試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。隨機(jī)事件的概率介于 0 與 1 之間。三、頻率設(shè)隨機(jī)事件 a 在重復(fù) n 次試驗中出現(xiàn)的 m 次，則稱為事件 a 在 n 次試驗中出現(xiàn)的頻率。注意區(qū)別概率與頻率計算中 n的含義不同，頻率隨試驗次數(shù)而變，但概率是客觀存在的。四、概率加法定理和乘法定理1、兩事件和的概率兩個互斥事件 a、b 出現(xiàn)的概率等于這兩個事件的概率的和，即p（a+b）= p（a）+p（b）式中 : p（a+b）-實現(xiàn)事件 a 或事件 b 的概率；p（a）- 事件 a 的概率； p（b）- 事件 b 的概率。2、條件概率兩個事件 a、b

6、，在事件 a 發(fā)生的前提下，事件 b 發(fā)生的概率為事件b 在條件 a 下事件 b 條件概率,記為:p（ba）3、兩事件積的概率兩事件積的概率，等于其中一事件的概率乘以另一事件在已知前一事件發(fā)生的條件下的條件概率，即p（ab）= p（a）p（ba），p（a）0 p（ab）= p（b）p（ab），p（b）0若兩個事件是相互獨(dú)立的，它們共同出現(xiàn)的概率等于事件 a 的概率乘以事件 b 的概率，即p（ab）=p（a）p（b）第三節(jié) 隨機(jī)變量及其概率分布一、隨機(jī)變量隨機(jī)試驗的結(jié)果可以是一個數(shù)量，也有些雖然不是數(shù)量，但可以用數(shù)量來表示。這樣的量隨著試驗的重復(fù)可以取得不同的數(shù)值，而且?guī)в须S機(jī)性，我們稱這樣的變

7、量為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量可分為兩大類型：離散型和連續(xù)型。二、隨機(jī)變量的概率分布1、離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布一般以分布列表示，如表 4-3-1 。表 4-3-1n2、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布對于連續(xù)型隨機(jī)變量，無法研究個別值的概率，只能研究某個區(qū)間的概率，或是研究事件 xx 的概率，以及事件 xx 的概率，后面二者可以相互轉(zhuǎn)換，水文統(tǒng)計中常用 xx 的概率及其分布。3、分布函數(shù)設(shè)事件 xx 的概率用 p（xx）來表示，它是隨隨機(jī)變量取值 x 而變化的，所以 p（xx）是 x 的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量 x 的分布函數(shù)，記為 f（x），即f(x)=p(xx)（4-3-1）它代表隨機(jī)

8、變量 x 大于等于某一取值 x 的概率。其幾何圖形如圖 4-3- 1（b）所示， 圖中縱坐標(biāo)表示變量 x，橫坐標(biāo)表示概率分布函數(shù)值 f（x），在數(shù)學(xué)上稱此曲線為分布曲線，水文統(tǒng)計中稱為隨機(jī)變量的累積頻率曲線，簡稱頻率曲線。注意在一般的概率論與數(shù)理統(tǒng)計的教材中，分布函數(shù)的定義為 f(x)=p(x<x) 。4、分布密度分布函數(shù)導(dǎo)數(shù)的負(fù)值稱為密度函數(shù)，記為 f(x)，即 :（4-3-2）密度函數(shù)的幾何曲線稱密度曲線。水文中習(xí)慣以縱坐標(biāo)表示變量 x,橫坐標(biāo)表示概率密度函數(shù)值 f(x)，如圖 4-31（b）所示。實際上，分布函數(shù)與密度函數(shù)是微分與積分的關(guān)系。因此，已知 f(x)，則:其對應(yīng)關(guān)系可在

9、圖 4-3-1 中看出來。三、 隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù)說明隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)字特征，稱為隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù)。 統(tǒng)計參數(shù)有總體統(tǒng)計參數(shù)與樣本統(tǒng)計參數(shù)之分。水文計算中常用的樣本統(tǒng)計參數(shù)有均值、均方差、變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)。1、均值均值表示系列中變量的平均情況。設(shè)某水文變量的觀測系列（樣本） 為 x1，x2，?,xn ， 則其均值為:（4-3-4）令2、均方差 稱模比系數(shù)，則 :（4-3-5）均方差是反映系列中各變量集中或離散的程度。研究系列集中或離散程度，常采用方差 dx 或均方差 s，計算公式為（4-3-6）3、變差系數(shù)（4-3-7）水文計算中用均方差與均值之比作為衡量系列的相對離散程度的一個參數(shù)，

10、稱為變差系數(shù)，或稱離差系數(shù)、離勢系數(shù)，用 cv 表示，其計算式為上式說明，cv 是變量 x 換算成模比系數(shù) k 以后的均方差。4、偏態(tài)系數(shù)在數(shù)理統(tǒng)計中采用偏態(tài)系數(shù) cs 作為衡量系列不對稱程度的參數(shù)，其計算式為 :上式右端的分子、分母同除以 ，則得 :第四節(jié) 水文頻率曲線線型水文分析計算中使用的概率分布曲線俗稱 水文頻率曲線 ，習(xí)慣上把由實測資料（樣本）繪制的頻率曲線稱為 經(jīng)驗頻率曲線 ，而把由數(shù)學(xué)方程式所表示的頻率曲線稱為 理論頻率曲線 。 所謂水文頻率分布線型是指所采用的理論頻率曲線 ( 頻率函數(shù) ) 的型式（水文中常用線型皮爾遜型分布型等），它的選擇主要取決于與大多數(shù)水文資料的經(jīng)驗頻率點(diǎn)

11、據(jù)的配合情況。 分布線型的選擇與統(tǒng)計參數(shù)的估算，一起構(gòu)成了頻率計算的兩大內(nèi)容。一、正態(tài)分布1、正態(tài)分布的密度函數(shù)及其參數(shù)正態(tài)分布具有如下形式的概率密度函數(shù)：（x） （4-4-1）式中 -平均數(shù)；-標(biāo)準(zhǔn)差；2 、頻率格紙正態(tài)頻率曲線在普通格紙上是一條規(guī)則的 s 形曲線，它在 p=50%前后的曲線方向雖然相反，但形狀完全一樣。水文計算中常用的一種“頻率格紙”其橫坐標(biāo)的分劃就是按把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)頻率曲線拉成一條直線的原理計算出來的。這種頻率格紙的縱坐標(biāo)仍是普通分格，但橫坐標(biāo)的分格是不相等的，中間分隔較密，越往兩端分格越稀，其間距在 p=50% 的兩端是對稱的?，F(xiàn)以橫坐標(biāo)軸的一半（050%）為例，說明頻率格

12、紙間距的確定。通過積分或查有關(guān)表格，可在普通格紙上繪出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)頻率曲線（見圖 4-4-2 中線）。由線知，p=50%時，x=0；p=0.01%時，x=3.72。根據(jù)前述概念，在普通格紙上通過（50%，0）和（0.01%，3.72）兩點(diǎn)的直線即為頻率格紙上圖 4-4-2 頻率格紙的劃分對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)頻率曲線（見圖-4-2 中線）。由線和線即可確定頻率格紙上橫坐標(biāo)的分格。為醒目起見，我們將它畫在橫線上。例如， 在普通分格（橫軸）的 p=1%處引垂線交 s 形曲線（線）于 a 點(diǎn)，作水平線交直線（線）于 b 點(diǎn)，再引垂線交 op軸于 c 點(diǎn)，c 點(diǎn)即為頻率格紙上 p=1%的位置。同理可確定頻率格紙上

13、其他橫坐標(biāo)分格（p=5%，10%，20%，?）的位置。把頻率曲線畫在普通方格紙上，因頻率曲線的兩端特別陡峭，又因圖幅的限制，對于特小頻率或特大頻率，尤其是特大頻率的點(diǎn)子很難點(diǎn)在圖上?，F(xiàn)在，有了這種頻率格紙，就能較好地解決這個問題，所以在頻率計算時，一般都是把頻率曲線點(diǎn)繪在頻率格紙上。二、皮爾遜（p,或 pearson-）型曲線1、皮爾遜型曲線的概率密度函數(shù)皮爾遜型曲線是一條一端有限一端無限的不對稱單峰、正偏曲線（見圖 4-4-3），概率密度函數(shù)為:式中：（） 的伽瑪函數(shù)；、a0分別為皮爾遜型分布的形狀尺度和位置未知參數(shù)， 0，0。圖 4-4-3 皮爾遜型概率密度 曲線顯然，、a0 確定以后，該

14、密度函數(shù)也隨之確定。可以推證， 這三個參數(shù)與總體的三個統(tǒng)計參數(shù) 、cv、cs 具有下列關(guān)系皮爾遜 iii 型密度曲線的形狀主要決定于參數(shù) cs（或 ），從圖 4- 4-4 可以區(qū)分為以下四種形狀：（1） 當(dāng) 0<a<1，即 2<cs<時，密度曲線呈乙形，以 x 軸和 x=b 直線為漸近線，如圖 4-4-4 (a) 所示。圖 4-4-4 （a）皮爾遜密度曲線形狀變化圖（2） 當(dāng) a=1，即 cs=2 時，密度曲線退化為指數(shù)曲線，仍呈乙形，但左端截止在曲線起點(diǎn)，右端仍伸到無限，如圖 4-4-4 (b) 所示。圖 4-4-4 （b）皮爾遜密度曲線形狀變化圖 （ 3 ）當(dāng) 1&

15、lt;a<2， 即<cs<2 時，密度曲線呈鈴形，左端截止在曲線起點(diǎn)，且在該處與直線 x=b 相切，右端無限，如圖 4-4-4(c) 所示。圖 4-4-4 （c）皮爾遜密度曲線形狀變化圖（ 4 ）當(dāng) a>2，即 cs<限，如圖 4-4-4 (d) 所示。時，密度曲線呈鈴形，起點(diǎn)處曲線與 x 軸相切，右端無圖 4-4-4 （d）皮爾遜密度曲線形狀變化圖不同偏態(tài)系數(shù)情況下，其分布密度曲線形狀差異很大,cs 大于等于 2時為乙型,cs 大于零小于 2 時為鈴形。2、皮爾遜型頻率曲線及其繪制水文計算中，一般需要求出指定頻率 p 所相應(yīng)的隨機(jī)變量取值 xp，也就是通過對密度

16、曲線進(jìn)行積分，即（4-4-4）求出等于及大于 xp 的累積頻率 p 值。直接由式（ 4-4-4 ）計算 p值非常麻煩，實際做法是通過變量轉(zhuǎn)換，變換成下面的積分形式:（4-4-5）式（4-4-5）中被積函數(shù)只含有一個待定參數(shù) cs，其它兩個參數(shù)、cv 都包含在 中。 是標(biāo)準(zhǔn)化變量， 稱為離均系數(shù)。 的均值為 0，標(biāo)準(zhǔn)差為 1。因此，只需要假定一個 cs 值，便可從式（4-4-5）通過積分求出 p 與 之間的關(guān)系。對于若干個給定的 cs 值， 和 p 的對應(yīng)數(shù)值表先后由美國福斯特和前蘇聯(lián)雷布京制作出來，見附表 1 皮爾遜型頻率曲線的離均系數(shù) 值表 。由 就可以求出相應(yīng)頻率 p 的 x 值：附表 1

17、 （摘錄）（4-4-6）在頻率計算時，由已知的 cs 值，查 值表得出不同的 p 的 ，然后利用已知的、cv，通過式（4-4-6）即可求出與各種 p 相應(yīng)的 x，從而可繪制出皮爾遜型頻率曲線。三、 經(jīng)驗頻率曲線上述各種頻率曲線是用數(shù)學(xué)方程式來表示的 , 屬于理論頻率曲線。在水文計算中還有一種經(jīng)驗頻率曲線 , 是由實測資料繪制而成的 , 它是水文頻率計算的基礎(chǔ) , 具有一定的實用性。1、經(jīng)驗頻率曲線的繪制根據(jù)實測水文資料，按從大到小的順序排列，然后用經(jīng)驗頻率公式計算系列中各項的頻率，稱為經(jīng)驗頻率。以水文變量 x 為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗頻率 p 為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪經(jīng)驗頻率點(diǎn)據(jù)，根據(jù)點(diǎn)群趨勢繪出一條平滑的曲線

18、，稱為經(jīng)驗頻率曲線。有了經(jīng)驗頻率曲線，即可在曲線上求得指定頻率 p 的水文變量值 x對經(jīng)驗頻率的計算，目前我國水文計算廣泛采用的是數(shù)學(xué)期望公式: ( 4-4-13 )式中 p- 等于和大于 xm 的經(jīng)驗頻率；m- xm 的序號，即等于或大于 xm 的項數(shù)；n- 系列的總項數(shù)。2、經(jīng)驗頻率曲線存在的問題經(jīng)驗頻率曲線計算工作量小，繪制簡單，查用方便，但受實測資料所限 , 往往難以滿足設(shè)計上的需要。為此，提出用理論頻率曲線來配合經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)，這就是水文頻率計算適線法。四、 頻率與重現(xiàn)期的關(guān)系頻率曲線繪制后，就可在頻率曲線上求出指定頻率 p 的設(shè)計值 xp。由于頻率較為抽象，水文上常用重現(xiàn)期來代替頻率。所

19、謂重現(xiàn)期是指某隨機(jī)變量的取值在長時期內(nèi)平均多少年出現(xiàn)一次，又稱多少年一遇。根據(jù)研究問題的性質(zhì)不同，頻率 p 與重現(xiàn)期 t 的關(guān)系有兩種表示方法。1、當(dāng)為了防洪研究暴雨洪水問題時，一般設(shè)計頻率 p50，則 :t=1/p（4-4-6）式中：t重現(xiàn)期，年； p頻率，。2、水庫興利調(diào)節(jié)研究枯水問題時，設(shè)計頻率 p50 ，則t=1/(1-p)（4-4-7）第五節(jié) 頻率曲線參數(shù)估計方法實際上,可以通過觀測得到若干年份的資料(也稱實測樣本)。在總體線型確定的情況下,需要由某種參數(shù)估計方法依據(jù)實測樣本估計總體參數(shù),從而可以計算不同標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計值。目前水文中 pearson-iii 型參數(shù)估計方法主要有矩法、概率

20、權(quán)重矩法、權(quán)函數(shù)法和適線法等。在我國水利水電工程設(shè)計洪水計算規(guī)范（1993）中要求使用目估適線法（含優(yōu)化適線法） 作為最終確定參數(shù)估計值的方法，而矩法、概率權(quán)重矩法、權(quán)函數(shù)法只用于適線法參數(shù)初值的估計?？紤]到兩種新方法概率權(quán)重矩法、權(quán)函數(shù)法較為復(fù)雜，故本節(jié)主要介紹 矩法和抽樣誤差的概念，下節(jié)再介紹適線法。一、 矩法矩法是用樣本矩估計總體矩，并通過矩和參數(shù)之間的關(guān)系，來估計頻率曲線參數(shù)的一種方法。前述，一階原點(diǎn)矩的計算公式就是均值，均方差 的計算式為二階中心矩開方，偏態(tài)系數(shù) cs 計算式中的分子則為三階中心矩。它們與相應(yīng)的總體同名參數(shù)相比,不一定相等,平均上說，cv, cs 往往會偏小。因此，

21、需要將上述公式加以修正，修正后的參數(shù)計算式為：（4-5-1）（4-5-2）（4-5-3）二、 抽樣誤差（4-5-4）用一個樣本的統(tǒng)計參數(shù)來代替總體的統(tǒng)計參數(shù)是存在一定誤差的，這種誤差是由于從總體中隨機(jī)抽取的樣本與總體有差異而引起的，與計算誤差不同，稱為抽樣誤差。抽樣誤差的大小由均方誤來衡量。計算均方誤的公式與總體分布有關(guān)。對于皮爾遜型分布且用矩法估算參數(shù)時，用、數(shù)的均方誤，則它們的計算公式為（4-5-5）、分別代表、 cv 和 cs 樣本參（4-5-6）（4-5-7）（4-5-8）由上述公式可見,抽樣誤差的大小，隨樣本項數(shù) n、cv、和 cs 的大小而變化。樣本容量大，對總體的代表性就好，其抽

22、樣誤差就小，這就是為什么在水文計算中總是想方設(shè)法取得較長的水文系列的原因。第六節(jié) 水文頻率計算適線法適線法(或稱配線法)是以經(jīng)驗頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ),在一定的適線準(zhǔn)則下, 求解與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù),是我國估計水文頻率曲線統(tǒng)計參數(shù)的主要方法。適線法主要有兩大類,即目估適線法和優(yōu)化適線法 。目估適線法1、目估配線法的作法與步驟目估配線法又稱目估適線法，是以經(jīng)驗頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，給它們選配一條符合較好的理論頻率曲線，并以此來估計水文要素總體的統(tǒng)計規(guī)律。具體步驟如下：- 將實測資料由大到小排列，計算各項的經(jīng)驗頻率，在頻率格紙上點(diǎn)繪經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)（縱坐標(biāo)為變量的取值，橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗頻率）- 選定水文頻

23、率分布線型（一般選用皮爾遜型）。- 先采用矩法或其它方法估計出頻率曲線參數(shù)均值和 cv 的初估值， 而 cs 憑經(jīng)驗初選為 cv 的倍數(shù)，有時也直接用矩法估計。- 根據(jù)擬定的均值、cv 和 cs，查附表 1，計算值。以水文變量取值為縱坐標(biāo)，經(jīng)驗頻率為橫坐標(biāo)，即可得到頻率曲線。將此線畫在繪有經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)的圖上，看與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)配合的情況。若不理想，可通過調(diào)整 cv 和 cs 點(diǎn)繪頻率曲線。- 最后根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)的配合情況，從中選出一條與經(jīng)驗點(diǎn)據(jù)配合較好的曲線作為采用曲線，相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。- 求指定頻率的水文變量設(shè)計值。2、統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響為了避免配線時調(diào)整參數(shù)的

24、盲目性，必須了解皮爾遜型分布的統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響。- 均值 對頻率曲線的影響當(dāng)皮爾遜型頻率曲的兩個參數(shù) cv 和 cs 不變時，由于均值的不同， 可以使頻率曲線發(fā)生很大的變化，- 變差系數(shù) cv 對頻率曲線的影響為了消除均值 的影響，我們以模比系數(shù) k 為變量繪制頻率曲線，如圖圖 4-6-2 cs = 1.0 時,各種 cv 對頻率曲線的影響4-6-2 所示。圖中 cs=1.0。cv=0 時，隨機(jī)變量的取值都等于均值， 此時頻率曲線即為 k=1 的一條水平線，隨著 cv 的增大，頻率曲線的偏離程度也隨之增大，曲線顯得越來越陡。- 偏態(tài)系數(shù) cs 對頻率曲線的影響圖 4-6-3 表示 cv

25、=0.1 時種種不同的 cs 對頻率曲線的影響情況。從圖中可以看出，正偏情況下，cs 愈大，均值（即圖中 k=1）對應(yīng)的頻率愈小，頻率曲線的中部愈向左偏，且上段愈陡，下段愈平緩。應(yīng)用程序?qū)嵗哼@是一個 p-頻率曲線目估適線的可執(zhí)行程序。通過調(diào)整 cv、cs 兩個參數(shù)，點(diǎn)線擬合狀況會發(fā)生變化。第七節(jié) 相關(guān)分析一、相關(guān)關(guān)系的概念1、相關(guān)的意義與應(yīng)用自然界中有許多現(xiàn)象之間是有一定聯(lián)系的。按數(shù)理統(tǒng)計法建立上述兩個或多個隨機(jī)變量之間的聯(lián)系，稱之為相關(guān)關(guān)系。把對這種關(guān)系的分析和建立稱為相關(guān)分析。相關(guān)分析可以用來延長和插補(bǔ)短系列。2、相關(guān)的種類根據(jù)變量之間相互關(guān)系的密切程度，變量之間的關(guān)系有三種情況： 即完

26、全相關(guān)、零相關(guān)、統(tǒng)計相關(guān)。- 完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）兩變量 x 與 y 之間，如果每給定一個 x 值，就有一個完全確定的 y 值與之對應(yīng)，則這兩個變量之間的關(guān)系就是完全相關(guān)（或稱函數(shù)相關(guān)）。完全相關(guān)的形式有直線關(guān)系和曲線關(guān)系兩種，如圖 4-7-1 所示。圖 4-7-1 完全相關(guān)示意圖- 零相關(guān)（沒有關(guān)系）兩變量之間毫無聯(lián)系，或某一現(xiàn)象（變量）的變化不影響另一現(xiàn)象（變量）的變化，這種關(guān)系則稱為零相關(guān)或沒有關(guān)系，如圖 4-7-2 所示。圖 4-7-2 零相關(guān)示意圖- 相關(guān)關(guān)系若兩個變量之間的關(guān)系界于完全相關(guān)和零相關(guān)之間，則稱為相關(guān)關(guān)系或統(tǒng)計相關(guān)。當(dāng)只研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，稱為簡相關(guān)；當(dāng)研究 3

27、個或 3 個以上變量的相關(guān)關(guān)系時，則稱為復(fù)相關(guān)。在相關(guān)的形式上，又可分為直線相關(guān)和非直線相關(guān)，如圖 4-7-3 所示。(a) 直線相關(guān)（b）曲線相關(guān)圖 4-7-33相關(guān)分析的內(nèi)容相關(guān)分析（或回歸分析）的內(nèi)容一般包括三個方面：（1） 判定變量間是否存在相關(guān)關(guān)系，若存在，計算其相關(guān)系數(shù)，以判斷相關(guān)的密切程度；（2） 確定變量間的數(shù)量關(guān)系回歸方程或相關(guān)線；（3） 根據(jù)自變量的值，預(yù)報或延長、插補(bǔ)倚變量的值，并對該估值進(jìn)行誤差分析。二、一元線性相關(guān)1、相關(guān)圖解法設(shè) xi 和 yi 代表兩系列的觀測值，共有 n 對，把對應(yīng)值點(diǎn)繪于方格紙上，得到很多相關(guān)點(diǎn)。如果相關(guān)點(diǎn)的平均趨勢近似直線，即可通過點(diǎn)群中間及

28、、）點(diǎn)繪出相關(guān)直線，2、相關(guān)計算法為避免相關(guān)圖解法在定線上的任意性，常采用相關(guān)計算法來確定相關(guān)線的方程，即回歸方程。簡直線相關(guān)方程的形式為 :y=a+bx（4-7-1）式中 x自變量； y倚變量；a、b待定常數(shù)。待定常數(shù) a 、 b 由觀測點(diǎn)與直線擬合最佳，利用最小二乘法進(jìn)行估計。最后得到如下形式的回歸方程：（4-7-2）式中、x、y 系列的均方差；、x、y 系列的 均值；r相關(guān)系數(shù)，表示 x、y 兩系列間的線性關(guān)系密切程度，計算式為(4-7-3)此式稱為 y 倚 x 的回歸方程，它的圖形稱為 y 倚 x 的回歸線，如圖 4- 7-4 的（a）線所示。若以 y 求 x，則要應(yīng)用 x 倚 y 的

29、回歸方程，如圖 4-7-4 的（b）線所示。x 倚 y 的回歸方程為： (4-7-4)）。一般 y 倚 x 與 x 倚 y 的兩回歸線并不重合，但有一個公共交點(diǎn)（3、相關(guān)分析的誤差- 回歸線的誤差回歸線僅是觀測點(diǎn)據(jù)的最佳配合線，通常觀測點(diǎn)據(jù)并不完全落在回歸線上，而是散布于回歸線的兩旁。因此，回歸線只反映兩變量間的平均關(guān)系。按此關(guān)系由 推求的 和實際值之間存在著誤差，誤差大小一般采用均方誤來表示。如用 s y 表示 y 倚 x 回歸線的均方誤， yi 為觀測值， 為回歸線上的對應(yīng)值， n 為系列項數(shù)，則同樣，x 倚 y 回歸線的均方誤 si 為- 相關(guān)系數(shù)誤差在相關(guān)分析中，相關(guān)系數(shù)是根據(jù)有限的實

30、測資料（樣本）計算出來的，必然會有抽樣誤差。一般通過相關(guān)系數(shù)的均方誤來判斷樣本相關(guān)系數(shù)的可靠性，按統(tǒng)計學(xué)原理，相關(guān)系數(shù)的均方誤為- 相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計檢驗總體不相關(guān)（r=0）的兩變量，由于抽樣原因，樣本的相關(guān)系數(shù)不一定等于零。為此，需要對相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗。檢驗方法是：先選一個臨界相關(guān)系數(shù) r，與樣本的相關(guān)系數(shù) r 相比較，若 rr，則具有相關(guān)關(guān)系；否則，無相關(guān)關(guān)系。r 可以根據(jù)樣本項數(shù) n 和信度 （一般采用 =0.05 ）從已制成的相關(guān)系數(shù)檢驗表中查取。三、曲線相關(guān)許多水文現(xiàn)象間的關(guān)系，并不表現(xiàn)為直線關(guān)系而具有曲線相關(guān)的形式。水文上常采用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)兩種曲線，基本作法是將其轉(zhuǎn)換為直線，再進(jìn)行直線回歸分析。1、冪函數(shù)冪函數(shù)的一般形式為y=ax(4-7-8)兩邊取對數(shù)logy =loga + blogx令y = log y, a = log a, x = logx則有y = a+bx（4-7-