無窮級數(shù)-光盤版

1、121項(xiàng)目四無窮級數(shù)實(shí)驗(yàn)無窮級數(shù)(基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn))實(shí)驗(yàn)?zāi)康挠^察無窮級數(shù)部分和的變化趨勢，進(jìn)一步理解級數(shù)的審斂法以及冪級數(shù)部分和對函數(shù)的 逼近.掌握用Mathematica求無窮級數(shù)的和，求冪級數(shù)的收斂域，展開函數(shù)為冪級數(shù)以及展 開周期函數(shù)為傅里葉級數(shù)的方法.基本命令1. 求無窮和的命令Sum該命令可用來求無窮和.例如，輸入Sum1/nA2,n,l,lnfinity則輸出無窮級數(shù)的和為兀2/6.命令Sum與數(shù)學(xué)中的求和號相當(dāng).2. 將函數(shù)展開為冪級數(shù)的命令Series.該命令的基本格式為Seriesfx,x,xO,n它將f(x)展開成關(guān)于X-X0的冪級數(shù).冪級數(shù)的最高次冪為(x-x0)n,余項(xiàng)用(Xx

2、0)n +表 示.例如輸入Seriesyx,x,0,5則輸出帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林級數(shù)y 0 +y% x +丄 y % I2+ 丄yf)0+丄y(4)0I4 中丄 y f)01+oL 626241203.去掉余項(xiàng)的命令 Normal在將f (x)展開成冪級數(shù)后，有時為了近似計(jì)算或作圖，需要把余項(xiàng)去掉.只要使用Normal命令.例如輸入SeriesEx px,x,0,6則輸出Normal%x2 x3 丄X4 X5 x671 七+ + + + + + OX72!3!4!5!6234561七 442!3!456!4.強(qiáng)制求值的命令Evaluate如果函數(shù)是用Normal命令定義的，則當(dāng)對它進(jìn)行作圖或

3、數(shù)值計(jì)算時，可能會出現(xiàn)問題.例如，輸入fx=NormalSeriesEx px ,x,0,3P lotfx,x,-3,3則只能輸出去掉余項(xiàng)后的展開式231 +x +26而得不到函數(shù)的圖形.這時要使用強(qiáng)制求值命令Evaluate,改成輸入P lotEvaluatefx,x,-3,3則輸出上述函數(shù)的圖形.5.作散點(diǎn)圖的命令List PlotList Plot 為平面內(nèi)作散點(diǎn)圖的命令，其對象是數(shù)集，例如，輸入List PI otTablejA2,j,16, Plotstyle-P ointSize0,012則輸出坐標(biāo)為1,12,2,22,3,32,16,162的散點(diǎn)圖（圖1.1）.250200150

4、100502.557.51012.515圖1.16.符號“ /;”用于定義某種規(guī)則，“/;”后面是條件.例如，輸入Clearg,gf;gx_:=x/;0=x1 gx_:=-x/;-1=x=1則得到分段的周期函數(shù)10 00 x 11 x, g(x)=( x,g(x -2),再輸入gf=P lotgx,x,-1,6則輸出函數(shù)g(x)的圖形1.2.圖1.2注:用Which命令也可以定義分段函數(shù)，從這個例子中看到用“俵達(dá)式”；（條件）”來定義周期性分段函數(shù)更方便些.用Plot命令可以作出分段函數(shù)的圖形，但用Mathematica命令求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分時往往會有問題.用Which定義的分段函數(shù)可以求

5、導(dǎo)但不能積分.Mathematica內(nèi)部函數(shù)中有一些也是分段函數(shù).如MModx,1,Absx,Floorx 和UnitStep兇.其中只有單位階躍函數(shù)UnitStepx可以用Mathematica命令來求導(dǎo)和求定積分.因此在求分段函數(shù)的傅里葉系數(shù)時，對分段函數(shù)的積分往往要分區(qū)來積 .在被積函數(shù)可以用單位階躍函 數(shù)UnitStep的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算表達(dá)時，計(jì)算傅里葉系數(shù)就比較方便了.實(shí)驗(yàn)舉例數(shù)項(xiàng)級數(shù)例1.1 (教材例1.1)K 1(1) 觀察級數(shù)送A的部分和序列的變化趨勢.nn處1(2) 觀察級數(shù)送-的部分和序列的變化趨勢.nin輸入sn_=Sum1/k2,k,n;data=Tablesn,n

6、,100; List Plotdata;NSum1/kA2,k,lnfinityNSum1/kA2,k,lnfinity,40則輸出(1)中級數(shù)部分和的變化趨勢圖1.3.1.624060801001.581.561.54圖1.3級數(shù)的近似值為1.64493.輸入sn_=Sum1/k,k,n;data=Tablesn,n,50;ListPlotdata, Plotstyle-PointSize0.02;則輸出(2)中級數(shù)部分和的的變化趨勢圖1.4.44.53.5一2.51.510 20圖1.4例1.2 （教材例1.2）畫出級數(shù)送3）n丄丄的部分和分布圖.心n304050輸入命令Clearsn,g

7、;sn=0;n=1;g=;m=3; While1/n10A-m,sn=sn+(-1)A(n-1)/n;g=A pp endg,Gra phicsRGBColorAbsSinn,0,1/n, Linesn,0,sn,1;n+;Showg, PlotRange-0.2,1.3,Axes-True;則輸出所給級數(shù)部分和的圖形(圖1.5),從圖中可觀察到它收斂于0.693附近的一個數(shù).例1.3求2心4 n2 +8 n +3的值.123輸入得到和函數(shù)SumxA(3k),k,1,lnfinity3_ x-1 +x3例1.4 （教材例1.3）設(shè)an輸入Cleara; an_=10An/(n!);vals=T

8、ablean,n,1,25;則輸出List Plotvals, Plotstyle-P ointSize0.012an的散點(diǎn)圖(1.6)，從圖中可觀察an的變化趨勢.輸入Suman,n,l,lnfinity則輸出所求級數(shù)的和.129求幕級數(shù)的收斂域2500200015001000500圖1.6比 42n (3) n例1.5 (教材 例1.4)求送 (x )的收斂域與和函數(shù).n +1輸入則輸出Cleara; an_=4A(2n)*(x-3)An/(n+1); ste po ne=an+1/an/Si mplify16(1 +n)(+x)2 +n再輸入則輸出ste ptwo=Limitste po

9、 ne,n-lnfinity16(-3 +x)an+1和an都沒有加絕對值.因此上式的絕對值小于1時，冪級數(shù)收斂；大于1這里對時發(fā)散.為了求出收斂區(qū)間的端點(diǎn)，輸入ydd=Solveste ptwo=1,xzdd=Solveste ptwo=-1,x則輸出xT亀Il 16 I由此可知，當(dāng)一X 時，級數(shù)收斂，當(dāng)X 時，級數(shù)發(fā)散.16 16 16 16為了判斷端點(diǎn)的斂散性，輸入Sim plifyan/.x-(49/16)則輸出右端點(diǎn)處冪級數(shù)的一般項(xiàng)為1n +149因此,在端點(diǎn)X =右處，級數(shù)發(fā)散.再輸入16Sim plifyan/.x-(47/16)則輸出左端點(diǎn)處冪級數(shù)的一般項(xiàng)為3)nn +147因

10、此,在端點(diǎn)X =處，級數(shù)收斂.16也可以在收斂域內(nèi)求得這個級數(shù)的和函數(shù).輸入則輸出Sum4A(2n)*(x-3)An/(n+1),n,0,lnfinityLog1 16（；+x）16（-3 +x）函數(shù)的冪級數(shù)展開例1.6 (教材 例1.5)求cosx的6階麥克勞林展開式. 輸入則輸出SeriesCos x,x,0,6x2 x4x671 + +o x2 24 720 7注:這是帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林展開式.例1.6 (教材 例1.6)求Inx在X =1處的6階泰勒展開式. 輸入則輸出SeriesLogx,x,1,6(x _1)+ox723456例1.7 (教材 例1.7)求arctanx的5階泰

11、勒展開式.輸入serl=SeriesArcTan x ,x,0,5;P oly=Normalserl則輸出arctanx的近似多項(xiàng)式35x .Xx十一3 5通過作圖把a(bǔ)rctan x和它的近似多項(xiàng)式進(jìn)行比較.輸入P lotEvaluateArcTanx, Poly,x,-3/2,3/2,P lotStyle-Dashing0.01,GrayLevel0,As pectRatio-l則輸出所作圖形（圖 1.7）,圖中虛線為函數(shù)arctan x ,實(shí)線為它的近似多項(xiàng)式.例1.9求在X =1處的8階泰勒展開，并通過作圖比較函數(shù)和它的近似 多項(xiàng)式.輸入Clearf;fx_=Ex p-(x-1)A2*(

12、x+1)A2;p oly2=NormalSeriesfx,x,1,8P lotEvaluate f x, poly2,x,-1.75,1.75, PlotRange- -2,3/2, PlotStyle-Dashing0.01, GrayLevelO則得到近似多項(xiàng)式和它們的圖1.8.1 -4(一1 +x 2 -4(一1 +x j +7(-1 +x J +16(1 +x y +(T +x 8圖1.8例 1.10近似多項(xiàng)式，因?yàn)樗暂斎肭蠛瘮?shù)sinx在x=0處的3,5,7-,91階泰勒展開，通過作圖比較函數(shù)和它的 并形成動畫進(jìn)一步觀察.n2k +sin X =藝(一1 k +o( x2n )則輸出

13、為 是最后一幅圖.4Do PlotSum(-1)Aj*xA (2j+1)/(2j+1)!,j,0,k,Sinx,x,-40,40,P lotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1,k,1,45sinx的3階和91階泰勒展開的圖形.選中其中一幅圖形，雙擊后形成動畫.圖1.9例1.11利用冪級數(shù)展開式計(jì)算 V240 （精確到10）.因?yàn)閂24O仝也3 =3 1 -I 3根據(jù)（1 +x）m在X =0處的展開式有1 4114 9 152廠孑石尹/ f 1 1V243 1 -7I 5 34故前n（n 2）項(xiàng)部分和為k ztSn =3d nn 5i-1 丄i甘 34 k 三 5

14、k k!輸入命令sn_=3(1-1/(5*3A4)-Sum Product5i-1,i,1,k-1/(5Ak k!3A(4k),k,2,n-1);rn_ =P roduct5i-1,i,1,n-1/5An/n!3A(4n-5)/80;delta=1OA（-1O）;nO=1OO;Do Printn=,n,sn=,Nsn,20;lfrnvdelta,Break;lfn=nO, Printfailed,n,nO則輸出結(jié)果為V24o s：2992555739.傅里葉級數(shù)例1.12 (教材 例1.8)設(shè)g(x)是以為周期的周期函數(shù)，它在Lji，兀的表達(dá)式是I 1,?？?VO g X - I 1,0 RG

15、BColor0,1,0; 則輸出g（x）的圖形（圖1.10）.圖 1.10因?yàn)間（x）是奇函數(shù)，所以它的傅里葉展開式中只含正弦項(xiàng).輸入b2n_:=b2n=2 Integrate1*Sinn*x,x,0, Pi/Pi; fourier2n_,x_:=Sumb2k*Sink*x,k,1,n;tun_:=Plotg x,Evaluatefourier2n,x, x,-Pi,5 P i,PlotStyle-RGBColor0,1,0,RGBColor1,0.3,0.5,Dis playFunction-ldentity;（*tun是以n為參數(shù)的作圖命令*）tu2=Tabletun,n,1,30,5;（

16、*tu2是用Table命令作出的6個圖形的集合*）toshow=P artitiontu2,2;（*Partition是對集合tu2作分割，2為分割的參數(shù)*）ShowGra phicsArraytoshow（*GraphicsArray是把圖形排列的命令*）則輸出6個排列著的圖形（圖1.11）,每兩個圖形排成一行.可以看到n越大，g（x）的傅里葉 級數(shù)的前 項(xiàng)和與g（x）越接近.1-1.1 - 1 -0.52.55 7.5 1012.5 15-2.5-0.5-1:2.515-17.5 1012.i5 150.5-2.5-0.510.5-k -, 10.5-2.52.557.51012.515-2.5-0.5-0.5-1 _-=i1- 11-rut_!10.50.5-2.5；2.557.51012.515-2.5-0.5-0.5-1七-1圖 1.112.55 7.52.55 7.5 1012.5 151012.5 15實(shí)驗(yàn)習(xí)題1. 求下列級數(shù)的和：處k送?。籯壬22. 求冪級數(shù)n3. 求函數(shù)(1 +x)ln(1 +x)的6階麥克勞林多項(xiàng)式