數(shù)學建模與數(shù)學實驗：2.6 非線性方程近似根

1、問題背景和研究目的,解方程（代數(shù)方程）是最常見的數(shù)學問題之一，也是眾多應用領域中不可避免的問題之一,非線性方程沒有一般的解析方法,本節(jié)主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法：二分法，迭代法 （ 牛頓法）。同時要求學會利用Matlab 來求方程的近似解,2.6 非線性方程近似根,問題： 求連續(xù)的非線性方程 的根的近似值,根的隔離,若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且 f(a)f(b)0，則 f(x)在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)至少存在一個根。通過根的隔離，可假設此區(qū)間內(nèi)存在唯一根 x,基本思想,二分法,將有根區(qū)間進行對分，判斷出解在某個區(qū)間內(nèi)，然后再對該區(qū)間對分，依次類推，直到滿足給定的精度為止,

2、算法,二分法,設方程在區(qū)間 a,b 內(nèi)連續(xù)，且 f(a)f(b)0，給定精度要求 ，若有 |f(x)| ，則 x 就是f(x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)的 近似根,收斂性分析,二分法收斂性,設方程的根為 x* (an , bn ) ，又 ，所以,根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個每次縮小一半的區(qū)間序列 an , bn ，在 (an, bn ) 中含有方程的根,二分法總是收斂的,二分法的收斂速度較慢 通常用來給出根的一個 較為粗糙的近似,一步迭代法,(x) 的不動點,f (x) = 0,x = (x,f (x) 的零點,x) 稱為迭代函數(shù),若 收斂，即 ，假設 (x) 連續(xù)，則,收斂性分析,迭代法的

3、收斂性,即,注：若得到的點列發(fā)散，則迭代法失效,迭代法的收斂性判據(jù),定理2.1：全局收斂,定理2.2：全局發(fā)散,定理2.3：局部收斂與發(fā)散,定理2.4：收斂速度,定義,迭代法收斂性判斷,定理 2：如果定理 1 的條件成立，則有如下估計,如果存在 x* 的某個鄰域 =(x*- , x* + ), 使得對 x0 開始的迭代 xk+1 = (xk) 都收斂, 則稱該迭代法在 x* 附近局部收斂,迭代法收斂性判斷,L 越小，迭代收斂越快,收斂階,為了進一步研究收斂速度問題，引入階的概念： 記 ，如果 ( p=1時還要求01時稱為超線性收斂。 p越大收斂越快,牛頓迭代法,令,設非線性方程 f (x)=0

4、 , f (x) 在 xk 處作 Taylor 展開,牛頓迭代公式,k = 0, 1, 2, .,牛頓迭代公式,牛頓法的優(yōu)點,牛頓法是目前求解非線性方程 (組) 的主要方法,對于單重根迭代2階收斂，收斂速度較快， 特別是當?shù)c充分靠近精確解時,在實際計算中，如果要求高精度，可以先用其它方法（如二分法）獲得真解的一個粗糙近似，然后再用牛頓法求解,牛頓迭代法大范圍收斂性,割線法,與Newton法不同的是，用割線法計算 時，需要有兩個初始值 。割線法是一種兩步迭代法，不能直接用單步迭代法收斂性分析的結果。 下面給出割線法收斂性的定理,定理 設 ,在區(qū)間 上的二階導數(shù)連續(xù),且 。又設 ，其中 則當

5、時，由迭代式產(chǎn)生的序列 ，并且按 階收斂到根,割線法的收斂階雖然低于Newton法，但迭代一次只需計算一次 函數(shù)值，不需計算導數(shù)值 ，所以效率高，實際問題中經(jīng)常使用,Matlab 解方程的函數(shù),roots(p)：多項式的所有零點，p 是多項式系數(shù)向量,fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用 inline、字符串、或 ，但不能是方程或符號表達式,solve(f,v)：求方程關于指定自變量的解，f 可以是用字符串表示的方程、符號表達式或符號方程； solve 也可解方程組(包含非線性)； 得不到解析解時，給出數(shù)值解,linsolve(A,b)：解線性方程組,其他 Ma

6、tlab 相關函數(shù),g=diff(f,v)：求符號表達式 f 關于 v 的導數(shù) g=diff(f)：求符號表達式 f 關于默認變量的導數(shù) g=diff(f,v,n)：求 f 關于 v 的 n 階導數(shù),diff,f 是符號表達式，也可以是字符串,默認變量由 findsym(f,1) 確定,syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x,g=diff(sin(x)+3*x2,x,作業(yè),用兩種迭代法求解下面非線性方程的根： 1） Newton迭代法； 2）自己構造（非牛頓）一步迭代格式（需討論并保證收斂性） 迭代過程可以計算器（機）編程實現(xiàn),迭代法的加速,設迭代 xk+1 = (xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的 近似根分別為 xk 和 (xk) ，令,其中 wk 稱為加權系數(shù)或權重。得新迭代 xk+1 = (xk,松弛迭代法,松弛法迭代公式,松弛法具有較好的加速效果，甚至有些不收斂的迭代，加速后也能收斂,缺點：每次迭代都需計算導數(shù),Altken 迭