極限定理樣本及抽樣分布.ppt

1、第五章,極限定理,XB(n, p,以i表示第次試驗A發(fā)生的次數(shù),以X表示n重貝努里試驗A發(fā)生次數(shù),EX=np, DX=npq,大數(shù)定律,i獨立同分布,中心極限定理,i獨立同分布, 且E(Xi )=, D(Xi )= 2,5.1 大數(shù)定律,大數(shù)定律 表達了大量隨機變量平均值的穩(wěn)定性,貝努利大數(shù)定律 以nA是n次貝努利試驗中A出現(xiàn)的次數(shù), P(A)=p, 則當n時,有,表達了頻率的穩(wěn)定性,XB(n, p), X表示n重貝努里試驗中A發(fā)生次數(shù),有,辛欽大數(shù)定律 設(shè)隨機變量X1 , X2 Xn 相互獨立, 服從同一分布，數(shù)學期望 E(Xi )= (i=1, 2), 則對于任意正數(shù) , 有,表達了隨機變

2、量算術(shù)平均值的穩(wěn)定性,例5.2 設(shè)電站供電網(wǎng)有 10000盞電燈, 夜晚每一盞燈開燈的概率是0.7, 假定開關(guān)時間彼此獨立, 估計夜晚同時開著的燈數(shù)在 6800與 7200之間的概率. 解：設(shè)X表示同時開著的燈數(shù), 有X b(10000, 0.7). E( X )=7000 , D( X )= 2100,5.2 中心極限定理 觀察結(jié)果表明：大量相互獨立的隨機變量之和, 每個隨機變量對總和的影響都很小, 近似服從正態(tài)分布. 獨立同分布的中心極限定理 設(shè)X1 , X2 .Xn獨立同分布, E(Xi )=, D(Xi )= 2 , 當n充分大時, 有,即,例5.3 一個螺絲釘重量時一個隨機變量, 期

3、望值是1兩, 標準差是0,1兩. 求一盒( 100個 )同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^ 10.2 斤的概率. 解 設(shè)一盒重量為X, 第i個螺絲釘重量為Xi, 有 E( Xi )=1 , D( Xi )= 0.01,有 X N(100 , 1,例5.4 對敵人的防御地進行100次轟炸, 每次轟炸命中目標的炸彈數(shù)是隨機變量, 期望值 2, 方差 1.69. 求在100次轟炸中有 180到 220 顆炸彈命中目標的概率,解: 以Xi表示第i次轟炸中命中目標的炸彈數(shù),則 有 X近似服從N(200 , 169,設(shè)XB(n, p), 則X表示n重貝努里試驗中A發(fā)生次數(shù),德莫佛-拉普拉斯定理 設(shè)隨機變量 XB(n,

4、 p), 則當n充分大時, 有,即,例 已知生男孩的概率為0.515,求在10000新生兒中女孩不少于男孩的概率,解: 以X表示10000個新生兒中的男孩數(shù),則 Xb(10000,0.515), X近似服從正態(tài)分布 N(5150, 2498) 所求概率為PX5000,例 保險公司有10000個同齡同階層的人參加人壽保險, 該類人一年內(nèi)死亡的概率為0.006，每個參保的人在年 初付12元保險費，死亡時家屬可領(lǐng)得1000元. 問保險公司虧本的概率,解: 設(shè)這10000人中一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X，則 Xb(10000,0.006), X近似服從正態(tài)分布N(60, 59.64,P虧本=PX120,第六章

5、,樣本及抽樣分布,第一節(jié) 隨機樣本 研究對象的全體稱為總體. 每一個元素稱為個體. 總體用隨機變量X表示. 從總體中隨機獨立抽取一部分個體進行觀察, 所抽得的個體稱為樣本. 樣本 的觀察值x1 , x2 .xn稱為樣本值. 總體X的分布函數(shù)為F(x), 則樣本X1, X2.Xn的聯(lián)合 分布函數(shù),樣本用隨機變量X1, X2Xn表示,例 考察某種型號燈泡的壽命,設(shè)為 X,總體X服從指數(shù)分布(,從中隨機獨立抽取個個體, 設(shè)為X1, X2 X, x1=1010, x2=1020 , x=1000, x =990, x5 =980,X可能為到正無窮上任一值,則X1,X2X相互獨立且Xi (,例 考察某廠

6、家生產(chǎn)的彩電是否合格,總體X (0-1)分布,從中隨機獨立抽取5臺, 則 X1, X2 X5相互獨立且 Xi (0-1)分布. x1=1， x2=0 ， x=1，x =， x5 =1。 總體分布P X =1=p， X =0 =1-p， 常寫成P X =x,合格率為p,x=0或,px(1-p)1-x,分別以 X1, X2 X5表示,例 某種炮彈的炮口速度, 隨機獨立抽取發(fā), 則X1,X2X相互獨立且 Xi N (, 2) . x1=3, x2=4 , x=5, x =6, x5 =7,設(shè)為X,總體服從正態(tài)分布(, 2,樣本方差,樣本均值,分別以X1, X2 X表示炮口速度,但, 2未知,樣本k階矩,樣本k階中心矩,例 總體X的期望, 方差分別為 X1，X2Xn為來自總體X的樣本, 求,第二節(jié) 抽樣分布,分布的概率分布密度為,1、 分布,分布具有以下性質(zhì),XN(0,1), 若 滿足條件,稱 為標準正態(tài)分布的上 分位點,2、t分布,t(n)分布的概率密度函數(shù)為,t(n)分布的圖形,t(n)分布的上 分位點記為 , 滿足,3、F分布,概率密度函數(shù)為,的上 分位點記為 ，即它滿足,FF(n1, n2), 則,性質(zhì),證,例6.2 設(shè)總體XN(62, 102), 為使樣