同濟(jì)高等數(shù)學(xué)公式大全

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 高等數(shù)學(xué)公式 導(dǎo)數(shù)公式： 基本積分表： 三角函數(shù)的有理式積分： ?CaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos2222222 2CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdx?arcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln2222222 2?CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxa

2、xCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020? ?axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22? ?222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx?標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 222212211cos12sinududxxtguuuxuux?， 一些初等函數(shù)： 兩個(gè)重要極限： 三角函數(shù)公式： 誘導(dǎo)公式： 角 A sin cos tg ctg - -

3、sin cos -tg -ct90- cos sin ctg tg 90+ cos -sin -ctg -t180- sin -cos -tg -ctg 180+ -sin - cos tg ct270- -cos -sin ctg t270+ -cos sin -ctg -tg 360- -sin cos -tg -ct360+ sin cos tg ctg 和差角公式： 和差化積公式： 2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsin?ctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg?1)(1)(sinsincosc

4、os)cos(sincoscossin)sin(?xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx?11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）雙曲正切雙曲余弦雙曲正弦.590457182818284.2)11(lim1sinlim0?exxxxxx標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 倍角公式： 半角公式： ?cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sin?ctgtg 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin? 余弦定理：Cabbaccos2222? 反三角函數(shù)性質(zhì)：

5、arcctgxarctgxxx?2arccos2arcsin? 高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式： )()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv? 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用： 拉格朗日中值定理。時(shí)，柯西中值定理就是當(dāng)柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf?)(F)()()()()()()()()(? 曲率： .1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss?的圓：半徑為直線：點(diǎn)的曲率：弧長(zhǎng)。：化量；點(diǎn)，切線斜率的

6、傾角變點(diǎn)到從平均曲率：其中弧微分公式：? ?23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg? ?222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg?標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 定積分的近似計(jì)算： ?bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110?拋物線法：梯形法：矩形法： 定積分應(yīng)用相關(guān)公式： ?babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,222均方根：函數(shù)的平均值：為引

7、力系數(shù)引力：水壓力：功： 空間解析幾何和向量代數(shù)： 。代表平行六面體的體積為銳角時(shí)，向量的混合積：例：線速度：兩向量之間的夾角：是一個(gè)數(shù)量軸的夾角。與是向量在軸上的投影：點(diǎn)的距離：空間?,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu? 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 （馬鞍面）雙葉雙曲面：?jiǎn)稳~雙曲面：、

8、雙曲面：同號(hào)）（、拋物面：、橢球面：二次曲面：參數(shù)方程：其中空間直線的方程：面的距離：平面外任意一點(diǎn)到該平、截距世方程：、一般方程：，其中、點(diǎn)法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000?czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA? 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFd

9、yyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz?，隱函數(shù)，隱函數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：時(shí)，當(dāng)：多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法全微分的近似計(jì)算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 ),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu?隱函數(shù)方程組：

10、 微分法在幾何上的應(yīng)用： ),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy?、過此點(diǎn)的法線方程：、過此點(diǎn)的切平面方程、過此點(diǎn)的法向量：，則：上一點(diǎn)

11、曲面則切向量若空間曲線方程為：處的法平面方程：在點(diǎn)處的切線方程：在點(diǎn)空間曲線?方向?qū)?shù)與梯度： 上的投影。在是單位向量。方向上的，為，其中：它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是的梯度：在一點(diǎn)函數(shù)的轉(zhuǎn)角。軸到方向?yàn)槠渲械姆较驅(qū)?shù)為：沿任一方向在一點(diǎn)函數(shù)lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(? 多元函數(shù)的極值及其求法： ?不確定時(shí)值時(shí)，無極為極小值為極大值時(shí)，則：，令：設(shè),00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000

12、BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 重積分及其應(yīng)用： ?DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(?，其中：的引力：軸上質(zhì)點(diǎn)平面）對(duì)平面薄片（位于軸對(duì)于軸對(duì)于平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

13、量：平面薄片的重心：的面積曲面 柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)： ?dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr?)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：，其中重心：，球面坐標(biāo)：其中：柱面坐標(biāo)： 曲線積分： ?)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxd

14、tttttfdsyxfttytxLLyxfL?特殊情況：則：的參數(shù)方程為：上連續(xù)，在設(shè)長(zhǎng)的曲線積分）：第一類曲線積分（對(duì)弧標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 。，通常設(shè)的全微分，其中：才是二元函數(shù)時(shí)，在：二元函數(shù)的全微分求積注意方向相反！減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，應(yīng)。注意奇點(diǎn)，如，且內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在，、是一個(gè)單連通區(qū)域；、無關(guān)的條件：平面上曲線積分與路徑的面積：時(shí)，得到，即：當(dāng)格林公式：格林公式：的方向角。上積分起止點(diǎn)處切向量分別為和，其中系：兩類曲線積分之間的關(guān)，則：的參數(shù)方程為設(shè)標(biāo)的曲線積分）：第二類曲線積分（對(duì)坐0),(),(),(),()0,0(),(),(21212,)()()coscos()()(

15、),()()(),(),(),()()(00),(),(00?yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQGyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL? 曲面積分： ?dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxy

16、zxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22?系：兩類曲面積分之間的關(guān)號(hào)。，取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào)；，取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào)；，取曲面的上側(cè)時(shí)取正，其中：對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：對(duì)面積的曲面積分： 高斯公式： ?dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnn?div)coscoscos(.,0div,div)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可寫，通量：則為消失的流體質(zhì)量，若即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生散度：通量與散度：高斯公式的物理意義?標(biāo)準(zhǔn)文檔

17、實(shí)用文案 斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系： ?dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR?的環(huán)流量：沿有向閉曲線向量場(chǎng)旋度：，關(guān)的條件：空間曲線積分與路徑無上式左端又可寫成：kjirotcoscoscos)()()(? 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)： 是發(fā)散的調(diào)和級(jí)數(shù)：等差數(shù)列：等比數(shù)列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112? 級(jí)數(shù)審斂法： 散。存在，則收斂；否則發(fā)、定義法：時(shí)，不確定時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則設(shè)：、比值審斂法：時(shí)，不確定時(shí)，級(jí)數(shù)

18、發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，則設(shè)：別法）：根植審斂法（柯西判、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法nnnnnnnnnnsuuusUUu?lim;3111lim2111lim1211? 。的絕對(duì)值其余項(xiàng)，那么級(jí)數(shù)收斂且其和如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足萊布尼茲定理：的審斂法或交錯(cuò)級(jí)數(shù)1113214321,0lim)0,(?nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu? 絕對(duì)收斂與條件收斂： 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 ?時(shí)收斂時(shí)發(fā)散級(jí)數(shù)：收斂；級(jí)數(shù)：收斂；發(fā)散，而調(diào)和級(jí)數(shù)：為條件收斂級(jí)數(shù)。收斂，則稱發(fā)散，而如果收斂級(jí)數(shù)；肯定收斂，且稱為絕對(duì)收斂，則如果為任意實(shí)數(shù)；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnp

19、nnnuuuuuuuupnnnn? 冪級(jí)數(shù)： 0010)3(lim)3(1111111221032?RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn時(shí)，時(shí)，時(shí)的系數(shù)，則是，其中求收斂半徑的方法：設(shè)稱為收斂半徑。，其中時(shí)不定時(shí)發(fā)散時(shí)收斂，使在數(shù)軸上都收斂，則必存收斂，也不是在全，如果它不是僅在原點(diǎn)對(duì)于級(jí)數(shù)時(shí)，發(fā)散時(shí)，收斂于? 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)： ?nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000時(shí)即為麥

20、克勞林公式：充要條件是：可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：? 一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)： )()!12()1(!5!3sin)11(!)1()1(!2)1(1)1(121532?xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm? 歐拉公式： ?2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或 三角級(jí)數(shù)： 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 。上的積分在任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積正交性：。，其中，0,cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)sincos(2)sin()(001010?nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnn

21、nn 傅立葉級(jí)數(shù)： 是偶函數(shù)，余弦級(jí)數(shù)：是奇函數(shù)，正弦級(jí)數(shù)：（相減）（相加）其中，周期?nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2,1,0cos)(20sin)(3,2,1nsin)(201241312116413121124614121851311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210? 周期為l2的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)： ?llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,

22、1(sin)(1)2,1,0(cos)(12)sincos(2)(10?其中，周期? 微分方程的相關(guān)概念： 即得齊次方程通解。，代替分離變量，積分后將，則設(shè)的函數(shù)，解法：，即寫成程可以寫成齊次方程：一階微分方稱為隱式通解。得：的形式，解法：為：一階微分方程可以化可分離變量的微分方程或一階微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy?)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(? 一階線性微分方程： )1,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(?

23、nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、貝努力方程：時(shí)，為非齊次方程，當(dāng)為齊次方程，時(shí)當(dāng)、一階線性微分方程： 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 全微分方程： 通解。應(yīng)該是該全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函數(shù)的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP?),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二階微分方程： 時(shí)為非齊次時(shí)為齊次，0)(0)()()()(22?xfxfxfyxQdxdyxPdxyd 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法： 2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryy

24、yrrqprrqpqyypy式的兩個(gè)根、求出的系數(shù)；式中的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是，其中、寫出特征方程：求解步驟：為常數(shù)；，其中?式的通解：出的不同情況，按下表寫、根據(jù)(*),321rr 的形式，21rr (*)式的通解 兩個(gè)不相等實(shí)根)04(2?qp xrxrececy2121? 兩個(gè)相等實(shí)根)04(2?qp xrexccy1)(21? 一對(duì)共軛復(fù)根)04(2?qp 242221pqpirir?， )sincos(21xcxceyx? 二階常系數(shù)非齊次線性微分型為常數(shù)；型，為常數(shù)，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx? 求極限的各種方法 1

25、約去零因子求極限 例1：求極限11lim41?xxx 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【說明】1?x表明1與x無限接近，但1?x，所以1?x這一零因子可以約去。 【解】6)1)(1(lim1)1)(1)(1(lim2121?xxxxxxxx=4 2分子分母同除求極限 例2 ：求極限13lim323?xxxx 【說明】?型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求。 【解】3131lim13lim311323?xxxxxxx 【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方； (2) ?nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim011011? 3分子(母)有理化求極限 例3 ：

26、求極限)13(lim22?xxx 【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。 【解】13)13)(13(lim)13(lim22222222?xxxxxxxxxx 0132lim22?xxx 例4 ：求極限30sin1tan1limxxxx? 【解】xxxxxxxxxxsin1tan1sintanlimsin1tan1lim3030? 41sintanlim21sintanlimsin1tan11lim30300?xxxxxxxxxxx 【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵 4應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 兩個(gè)重要極限是1sin

27、lim0?xxx 和exnxxxnnxx?10)1(lim)11(lim)11(lim，第一個(gè)重要極限過于簡(jiǎn)單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個(gè)重要極限。 例5 ：求極限xxxx?11lim 【說明】第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊X1?，最后湊指數(shù)部分。 【解】2221212112111lim121lim11limexxxxxxxxxxx? 例6： (1)xxx?211lim；(2) 已知82lim?xxaxax，求a。 5用等價(jià)無窮小量代換求極限 【說明】 (1)常見等價(jià)無窮小有： 當(dāng)0?x 時(shí),)1ln(arctanarcsintansinxxxxxx?1ex?, ?a

28、bxaxxxb11,21cos12?； (2) 等價(jià)無窮小量代換,只能代換極限式中的因式； (3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。 例7 ：求極限0ln(1)lim1cosxxxx? 【解】 002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx?. 例8 ：求極限xxxx30tansinlim? 【解 】xxxx30tansinlim? ?613lim31coslimsinlim222102030?xxxxxxxxxx 6用羅必塔法則求極限 例9 ：求極限220)sin1ln(2coslnlimxxxx? 【說明】? 或00型的極限,可通過羅必塔法則來求。 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【解

29、 】220)sin1ln(2coslnlimxxxx? ?xxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim20? 3sin112cos222sinlim20?xxxxx 【注】許多變動(dòng)上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解 例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且0)0(?f ，求極限.)()()(lim000?xxxdttxfxdttftx 【解】 由于?000)()()(xxxutxduufduufdttxf,于是 ?xxxxxxxduufxdtttfdttfxdttxfxdttftx0000000)()()(lim)()()(lim =?xxxxxfduufxxfxxfdttf000)()

30、()()()(lim =?xxxxxfduufdttf000)()()(lim =)()()(lim000xfxduufxdttfxxx? =.21)0()0()0(?fff 7用對(duì)數(shù)恒等式求)()(limxgxf極限 例11：極限xxx20)1ln(1lim? 【解】 xxx20)1ln(1lim?=)1ln(1ln20limxxxe? =.2)1ln(2lim)1ln(1ln2lim00eeexxxxxx? 【注】對(duì)于?1型未定式)()(limxgxf的極限，也可用公式 )()(limxgxf)1(?=)()1)(lim(xgxfe? 因?yàn)??)1)(1ln()(lim)(ln()(lim

31、)()(limxfxgxfxgxgeexf)()1)(lim(xgxfe? 例12 ：求極限3012coslim13xxxx?. 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【解1】 原式2cosln3301limxxxex? ?202cosln3limxxx? 20ln2cosln3limxxx?（ ）01sin2coslim2xxxx?（） 011sin1lim22cos6xxxx? 【解2】 原式2cosln3301limxxxex? ?202cosln3limxxx? 20cos1ln3limxxx?（1 ）20cos11lim36xxx? 8利用Taylor公式求極限 例13 求極限 ) 0 ( ,2lim

32、20?axaaxxx. 【解】 ) (ln2ln1222lnxaxaxeaaxx?, ) (ln2ln1222xaxaxax?; ). (ln2222xaxaaxx? ? axxaxxaaxxxx22222020ln) (lnlim2lim?. 例14 求極限011lim(cot)xxxx?. 【解】 00111sincoslim(cot)limsinxxxxxxxxxxx? 323230()1()3!2!limxxxxxxxx? 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 333011()()12!3!lim3xxxx?. 9數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解 例15 ：極限21sinlimnnnn? 【說明】這是?1形式

33、的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。 【解】考慮輔助極限611sin11011sin222limlim1sinlim?eeexxyyyyxxxxxx 所以，6121sinlim?ennnn 10n項(xiàng)和數(shù)列極限問題 n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法 (1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算; (2)利用兩邊夾法則求極限. 例16 ：極限?22222212111limnnnnn? 【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把)(xf看成0,1定積分 。?10)(211limdxxfnnfnfnf

34、nn? 【解】原式?222112111111limnnnnnn? 1212ln2111102?dxx 例17 ：極限?nnnnn22212111lim? 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【說明】(1) 該題遇上一題類似，但是不能湊成?nnfnfnfnn?211lim的形式，因而用兩邊夾法則求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。 【解】?nnnnn22212111lim? 因?yàn)?11211122222?nnnnnnnnn? 又 nnnn?2 lim11lim2?nnn 所以 ?nnnnn22212111lim? 12單調(diào)有界數(shù)列的極限問題 例18：設(shè)數(shù)列?nx滿足110

35、,sin(1,2,)nnxxxn? ? （）證明limnnx?存在，并求該極限； （）計(jì)算211limnxnnnxx?. 【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 （）因?yàn)?0x?，則210sin1xx?. 可推得 10sin1,1,2,nnxxn? ?，則數(shù)列?nx有界. 于是 1sin1nnnnxxxx?，（因當(dāng)0sinxxx?時(shí)，）， 則有1nnxx?，可見數(shù)列?nx單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限limnnx?存在. 設(shè)limnnxl?，在1sinnnxx?兩邊令n?，得 sinll?，解得0l?，即lim0nnx

36、?. （） 因 22111sinlimlimnnxxnnnnnnxxxx?，由（）知該極限為1?型， 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 61sin01sin110032221limlimsin1lim?eeexxxxxxxxxxxx (使用了羅必塔法則) 故 2211116sinlimlimennxxnnnnnnxxxx?. 求不定積分的方法及技巧小匯總 1.利用基本公式。（這就不多說了） 2.第一類換元法。（湊微分） 設(shè)f()具有原函數(shù)F()。則 CxFxdxfdxxxf?)()()()()(? 其中)(x?可微。 用湊微分法求解不定積分時(shí)，首先要認(rèn)真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項(xiàng)內(nèi)容，同時(shí)為下一步積分做準(zhǔn)備。

37、當(dāng)實(shí)在看不清楚被積函數(shù)特點(diǎn)時(shí)，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。如例1、例2： 例1 ：?dxxxxx)1(ln)1ln( 【解】)1(1111)ln)1(ln(?xxxxxx Cxxxxdxxdxxxxx?2)ln)1(ln(21)ln)1(ln()ln)1(ln()1(ln)1ln(例2 ：?dxxxx2)ln(ln1 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【解】xxxln1)ln(? Cxxxxxdxdxxxx?ln1)ln(ln)1(ln122 3.第二類換元法： 設(shè))(tx?是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，并且)()(.0)(ttft?又設(shè)?具有原函數(shù)，則有換元公式 ?dtttfd

38、xf)()(x)(? 第二類換元法主要是針對(duì)多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會(huì)用。主要有以下幾種： achtxtaxtaxaxashtxtaxtaxaxtaxtaxxa?；：；：；：cscsec)3(cottan)2(cossin)1(222222 也奏效。，有時(shí)倒代換當(dāng)被積函數(shù)含有：txcbxaxxtdcxbaxdcxbaxtbaxbaxmnnnn1)6()5()4(2? 4.分部積分法. 公式：?dd 分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點(diǎn)，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取?、時(shí)，通?；谝韵聝牲c(diǎn)考慮： （1）降低多項(xiàng)式部分的系數(shù) （2）簡(jiǎn)化被積函數(shù)的類型 舉兩個(gè)例子吧！ 例3 ：dxxxx?231arccos 【解】觀察被積函數(shù)，選取變換xtarccos?,則 ?tdttdtttttdxxxx3323cos)sin(sincos1arccos 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 CxxxxxCttttttdttttdtttttttttdtdtt?arccos1)2(313291cos91cos32sinsin31cos)1sin31(sinsin31)sin