中考專題：幾何作圖

1、幾何作圖一基本作圖：(1)作一條線段等于已知線段，以及線段的和、差 (2)作一個(gè)角等于已知角，以及角的和、差1.已知線段a，畫一條線段CD等于a 2.已知，求作AOB= (3) 作一個(gè)角的平分線 (4)作一條線段的垂直平分線 (5)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線3. 已知AOB，求作AOB的 4.已知線段AB，求作線段AB 5.已知直線AB和直線外一點(diǎn)C平分線OC. 的中垂線 過(guò)點(diǎn)C作直線AB的垂線3利用基本作圖作三角形： (1)已知三邊作三角形 (2)已知兩邊及其夾角作三角形 (3)已知兩角及其夾邊作三角形 （4）已知底邊及底邊上的高作等腰三角形 (5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形4與圓有關(guān)的尺規(guī)

2、作圖：(1)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓)(2)作三角形的內(nèi)切圓(3)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形題型一應(yīng)用角平分線、線段中垂線的性質(zhì)作圖【例1】(2016衢州)如圖，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線(1)用直尺和圓規(guī)作線段BD的垂直平分線，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)(保留作圖痕跡，不寫作法和證明)(2)連結(jié)BE，DF，問(wèn)：四邊形BEDF是什么四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由題型二作三角形【例2】(2014無(wú)錫)(1)如圖，在RtABC中，B90，AB2BC，現(xiàn)以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫弧交邊AC于點(diǎn)D，再以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧交邊AB于點(diǎn)E求證：(這個(gè)比值叫做黃金比)2)如果一個(gè)等腰三

3、角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個(gè)等腰三角形就叫做黃金三角形請(qǐng)你以圖中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個(gè)黃金三角形ABC(注：作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對(duì)作圖中涉及的點(diǎn)用字母進(jìn)行標(biāo)注)題型三通過(guò)畫圖確定圓心【例3】(2016南京)如圖，在ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)F，使FBCDCE(1)求證：DF(2)用直尺和圓規(guī)在AD上作出一點(diǎn)P，使BPCCDP(保留作圖痕跡，不寫作法)題型四利用基本作圖進(jìn)行方案設(shè)計(jì)【例4】某小區(qū)現(xiàn)有一塊等腰直角三角形形狀的綠地，腰長(zhǎng)為100 m，直角頂點(diǎn)為A小區(qū)物業(yè)管委會(huì)準(zhǔn)備把它分割成面積相等的兩塊，有如下的分割方法：方法一：在底邊BC上

4、找一點(diǎn)D，連結(jié)AD作為分割線；方法二：在腰AC上找一點(diǎn)D，連結(jié)BD作為分割線；方法三：在腰AB上找一點(diǎn)D，作DEBC，交AC于點(diǎn)E，DE作為分割線；方法四：以頂點(diǎn)A為圓心，AD為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，作為分割線這些分割方法中分割線最短的是( )A.方法一 B方法二 C方法三 D方法四題型五利用網(wǎng)格進(jìn)行作圖【例5】.（2016黑龍江哈爾濱7分）圖1、圖2是兩張形狀和大小完全相同的方格紙，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上（1）如圖1，點(diǎn)P在小正方形的頂點(diǎn)上，在圖1中作出點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接AQ、QC、CP、PA，并直接寫出四邊形A

5、QCP的周長(zhǎng)；（2）在圖2中畫出一個(gè)以線段AC為對(duì)角線、面積為6的矩形ABCD，且點(diǎn)B和點(diǎn)D均在小正方形的頂點(diǎn)上基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1(2015福州)如圖，C，D分別是線段AB，AC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)C，D為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，測(cè)量AMB的度數(shù)，結(jié)果為()A80 B90 C100 D1052(2015深圳)如圖，已知ABC，ABBC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PAPCBC，則下列選項(xiàng)正確的是() 3(2015衢州)數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫RtABC，使其斜邊ABc，一條直角邊BCa.小明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷ACB是直角的依據(jù)是()A勾股定理

6、B直徑所對(duì)的圓周角是直角C勾股定理的逆定理D90的圓周角所對(duì)的弦是直徑4(2016河北)如圖，已知鈍角ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫弧；步驟2：以B為圓心，BA為半徑畫弧，交弧于點(diǎn)D；步驟3：連接AD，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.下列敘述正確的是()ABH垂直平分線段AD BAC平分BADCSABCBCAH DABAD5(2016麗水)用直尺和圓規(guī)作RtABC斜邊AB上的高線CD，以下四個(gè)作圖中，作法錯(cuò)誤的是() 二、填空題6(2016吉林)如圖，已知線段AB，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)，作直線CD交AB于點(diǎn)E，在直

7、線CD上任取一點(diǎn)F，連接FA，F(xiàn)B.若FA5，則FB.7(2015濰坊)如圖，在ABC中，AD平分BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點(diǎn)A、D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、N；第二步，連接MN分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；第三步，連接DE、DF.若BD6，AF4，CD3，則BE的長(zhǎng)是_8(2016深圳)如圖，在ABCD中，AB3，BC5，以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA、BC于點(diǎn)P、Q，再分別以P、Q為圓心，以大于PQ的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在ABC內(nèi)交于點(diǎn)M，連接BM并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線已知：線段AB.求作：線段

8、AB的垂直平分線9(2015北京)閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：小蕓的作法如下：如圖，(1)分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；(2)作直線CD.所以直線CD就是所求作的線段AB的垂直平分線老師說(shuō)：“小蕓的作法正確”請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是_三、解答題10(2016陜西)如圖，已知ABC，BAC90，請(qǐng)用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)A作一條直線，使其將ABC分成兩個(gè)相似的三角形(保留作圖痕跡，不寫作法)11(2016達(dá)州)如圖，在ABCD中，已知ADAB.(1)實(shí)踐與操作：作BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，在AD上截取AFAB，連接EF(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不

9、寫作法)；(2)猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明12已知ABC中，A25，B40.(1)求作：O，使得O經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且圓心O落在AB邊上(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法)；（2）求證：BC是(1)中所作O的切線13、（2014江西，第17題6分）已知梯形ABCD，請(qǐng)使用無(wú)刻度直尺畫圖。（1）在圖1中畫一個(gè)與梯形ABCD面積相等，且以CD為邊的三角形；（2）在圖2中畫一個(gè)與梯形ABCD面積相等，且以AB為邊的平行四邊形。14.（2016福建龍巖12分）圖1是某公交公司1路車從起點(diǎn)站A站途經(jīng)B站和C站，最終到達(dá)終點(diǎn)站D站的格點(diǎn)站路線圖（88的格點(diǎn)圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形

10、組成）（1）求1路車從A站到D站所走的路程；（2）在圖2、圖3和圖4的網(wǎng)格中各畫出一種從A站到D站的路線圖（要求：與圖1路線不同、路程相同；途中必須經(jīng)過(guò)兩個(gè)格點(diǎn)站；所畫路線圖不重復(fù)）能力提升題組15(2016陜西)如圖，在菱形ABCD中，ABC60，AB2，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P、D(P、D兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為.16(2015江西)O為ABC的外接圓，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖1，圖2中畫出一條弦，使這條弦將ABC分成面積相等的兩部分(保留作圖痕跡，不寫作法)(1)如圖1，ACBC；(2)如圖2，直線l與O相切與

11、點(diǎn)P，且lBC.17(2015廣州)如圖，AC是O的直徑，點(diǎn)B在O上，ACB30.(1)利用尺規(guī)作ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)D，連接CD(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)所作的圖形中，求ABE與CDE的面積之比18(2015隨州)如圖，射線PA切O于點(diǎn)A，連接PO.(1)在PO的上方作射線PC，使OPCOPA(用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法)，并證明：PC是O的切線；(2)在(1)的條件下，若PC切O于點(diǎn)B，ABAP4，求的長(zhǎng)19(2016咸寧)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，取一點(diǎn)B(b,0)，連接AB，作線段AB的垂直平分線l1，過(guò)點(diǎn)

12、B作x軸的垂線l2，記l1，l2的交點(diǎn)為P.(1)當(dāng)b3時(shí)，在圖1中補(bǔ)全圖形(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)小慧多次取不同數(shù)值b，得出相應(yīng)的點(diǎn)P，并把這些點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)，發(fā)現(xiàn)：這些點(diǎn)P竟然在一條曲線L上！設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，試求y與x之間的關(guān)系式，并指出曲線L是哪種曲線；設(shè)點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為d1，d2，求d1d2的范圍；當(dāng)d1d28時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；將曲線L在直線y2下方的部分沿直線y2向上翻折，得到一條“W”形狀的新曲線，若直線ykx3與這條“W”形狀的新曲線有4個(gè)交點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍答案基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1(2015福州)如圖，C，D分別是線段

13、AB，AC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)C，D為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，測(cè)量AMB的度數(shù)，結(jié)果為()A80 B90C100 D105解析由作圖可知，點(diǎn)M在以AB為直徑的C上，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角的性質(zhì)得AMB90.答案B2(2015深圳)如圖，已知ABC，ABBC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點(diǎn)P，使得PAPCBC，則下列選項(xiàng)正確的是() 答案D3(2015衢州)數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫RtABC，使其斜邊ABc，一條直角邊BCa.小明的作法如圖所示，你認(rèn)為這種作法中判斷ACB是直角的依據(jù)是()A勾股定理B直徑所對(duì)的圓周角是直角C勾股定理的逆定理D90的圓周角所對(duì)的弦是直徑解析小明

14、的作法是：取ABc，作AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O；以點(diǎn)O為圓心，OB長(zhǎng)為半徑畫圓；以點(diǎn)B為圓心，a長(zhǎng)為半徑畫弧，與O交于點(diǎn)C；連接BC，AC，則RtABC即為所求從以上作法可知，ACB是直角的依據(jù)是：直徑所對(duì)的圓周角是直角答案B4(2016河北)如圖，已知鈍角ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫??；步驟2：以B為圓心，BA為半徑畫弧，交弧于點(diǎn)D；步驟3：連接AD，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.下列敘述正確的是()ABH垂直平分線段AD BAC平分BADCSABCBCAH DABAD解析AD相當(dāng)于一個(gè)弦，BHAD，CHAD，故B、D兩項(xiàng)不一定正確；C項(xiàng)面積應(yīng)除以2.

15、答案A5(2016麗水)用直尺和圓規(guī)作RtABC斜邊AB上的高線CD，以下四個(gè)作圖中，作法錯(cuò)誤的是() 解析A、根據(jù)垂徑定理作圖的方法可知，CD是RtABC斜邊AB上的高線，不符合題意；B、根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角的方法可知，CD是RtABC斜邊AB上的高線，不符合題意；C、根據(jù)相交兩圓的公共弦的性質(zhì)可知，CD是RtABC斜邊AB上的高線，不符合題意；D、無(wú)法證明CD是RtABC斜邊AB上的高線，符合題意答案D二、填空題6(2016吉林)如圖，已知線段AB，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)，作直線CD交AB于點(diǎn)E，在直線CD上任取一點(diǎn)F，連接FA，F(xiàn)B.若

16、FA5，則FB.解析由題意可知，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)F在直線CD上，F(xiàn)BFA5.答案57(2015濰坊)如圖，在ABC中，AD平分BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點(diǎn)A、D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、N；第二步，連接MN分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；第三步，連接DE、DF.若BD6，AF4，CD3，則BE的長(zhǎng)是_解析根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線，AEDE，AFDF，EADEDA，AD平分BAC，BADCAD，EDACAD，DEAC，同理可得，DFAE，四邊形AEDF是菱形，AEDEDFAF，AF4，AEDEDFAF4，DEAC，BD6，A

17、E4，CD3，BE8.答案88(2016深圳)如圖，在ABCD中，AB3，BC5，以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交BA、BC于點(diǎn)P、Q，再分別以P、Q為圓心，以大于PQ的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在ABC內(nèi)交于點(diǎn)M，連接BM并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)解析根據(jù)作法可知：BE平分ABC，ABECBE，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ADBC5，AEBCBE，ABEAEB，AEAB3，DEADAE532.答案29(2015北京)閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線已知：線段AB.求作：線段AB的垂直平分線小蕓的作法如下：如圖，(1)分別以點(diǎn)A和點(diǎn)

18、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C、D兩點(diǎn)；(2)作直線CD.所以直線CD就是所求作的線段AB的垂直平分線老師說(shuō)：“小蕓的作法正確”請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是_.答案到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線三、解答題10(2016陜西)如圖，已知ABC，BAC90，請(qǐng)用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)A作一條直線，使其將ABC分成兩個(gè)相似的三角形(保留作圖痕跡，不寫作法)解過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，利用等角的余角相等可得到BADC，則可判斷ABD與CAD相似作圖如下圖所示11(2016達(dá)州)如圖，在ABCD中，已知ADAB.(1)實(shí)踐與操作：作BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，在AD上截取A

19、FAB，連接EF(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明解(1)作圖如圖所示：(2)四邊形ABEF是菱形，理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，DAEAEB，AE平分BAD，BAEDAE，BAEAEB，BEAB，由(1)得：AFAB，BEAF，BEAF，四邊形ABEF是平行四邊形，AFAB，四邊形ABEF是菱形12已知ABC中，A25，B40.(1)求作：O，使得O經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，且圓心O落在AB邊上(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法)；(2)求證：BC是(1)中所作O的切線解(1)作出線段AC的垂直平分線進(jìn)而得出AC的

20、垂直平分線與線段AB的交點(diǎn)O，進(jìn)而以AO為半徑做圓即可作圖如圖所示(2)證明：如圖，連接OC，OAOC，A25，BOC50.又B40，BOCB90，OCB90，OCBC，BC是O的切線能力提升題組13(2016陜西)如圖，在菱形ABCD中，ABC60，AB2，點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn)，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則P、D(P、D兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為.解析如圖，連接AC、BD交于點(diǎn)O，以B為圓心BC為半徑畫圓交BD于P，此時(shí)PBC是等腰三角形，線段PD最短，四邊形ABCD是菱形，ABC60，ABBCCDAD，ABCADC60，ABC，ADC是等邊三角形，BODO2

21、，BD2BO2，PD最小值BDBP22.答案2214(2015江西)O為ABC的外接圓，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，根據(jù)下列條件分別在圖1，圖2中畫出一條弦，使這條弦將ABC分成面積相等的兩部分(保留作圖痕跡，不寫作法)(1)如圖1，ACBC；(2)如圖2，直線l與O相切與點(diǎn)P，且lBC.解(1)如答圖1，連接CO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，則弦CD即為所求ACBC，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，由垂徑定理得，AEBE，CEAB，SACESBCE，CD為所求作的弦答圖1(2)如答圖2，連接PO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)F，則弦AF即為所求l切O于點(diǎn)P，且lBC，PDBC，由垂徑定理知，

22、BECE，SABESACE，AF為所求作的弦答圖215(2015廣州)如圖，AC是O的直徑，點(diǎn)B在O上，ACB30.(1)利用尺規(guī)作ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)D，連接CD(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)在(1)所作的圖形中，求ABE與CDE的面積之比解(1)作圖如圖所示：(2)如答圖，連接OD，設(shè)O的半徑為r，BAECDE，AEBDEC，ABEDCE，在RtACB中，ABC90，ACB30，ABACr，ODOC，ABDACD45，DOC90，在RtODC中，DCr，22.16(2015隨州)如圖，射線PA切O于點(diǎn)A，連接PO.(1)在PO的上方作射線PC，使OPCOPA(用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法)，并證明：PC是O的切線；(2)在(1)的條件下，若PC切O于點(diǎn)B，ABAP4，求的長(zhǎng)解(1)如圖所示，即為所求作的圖，連接OA，過(guò)O作OBPC，PA切O于點(diǎn)A，OAPA，又OPCOPA，OBPC，OAOB，即dr，PC是O的切線(2)PA、PC是O的切線，PAPB，又ABAP4，PAB是等邊三角形，APB60，AOB120，POA60，在RtAOP中，tan60，OA，的長(zhǎng).17(2016咸寧)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為