高考數(shù)學一輪復習4.2函數(shù)與方程教案新課標

1、2. 函數(shù)與方程（ 2）【知識歸納】1函數(shù)零點的定義：方程 f ( x) 0 有實根函數(shù) yf ( x) 圖象與 x 軸有交點函數(shù) yf ( x) 有零點。2函數(shù)變號零點與不變號零點（二重零點）性質(zhì)：（ 1 ）定理：如果函數(shù)y f ( x) 在區(qū)間 a ,b 上的圖象是連續(xù)不間斷的一條曲線，并且有f (a)f (b) 0 那 么 函 數(shù) yf ( x) 在 區(qū) 間 (a ,b )內(nèi) 有 零 點 ， 即 存 在 c ( a, b)， 使 得f (c )0，這個 c 也就是方程f ( x) 0 的實數(shù)根。（ 2）變號了一定有零點（能證明 f(x) 單調(diào)則有且只有一個零點） ；不變號不一定無零點（如

2、二重零點）：在相鄰兩個零點之間所有的函數(shù)值保持同號。3怎樣求零點：即為求解方程的根？解一：利用計算器或計算機作x, f ( x)的對應(yīng)值表、若在區(qū)間 a,b 上連續(xù)，并且有f ( a) f (b)0，那么函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)至少有一個實數(shù)根、 若能證明 yf ( x)在 a,b 單調(diào)性，則在 a,b 有且只有一個零點、再在其它區(qū)間內(nèi)同理去尋找。解二：試探著找到兩個x 對應(yīng)值為一正一負（至少有一個）；再證單調(diào)增函數(shù)即可得有且只有一個。解三：構(gòu)造兩個易畫函數(shù)，畫圖，看圖象交點個數(shù)，很實用。4用二分法求函數(shù)f (x) 零點近似值的步驟：在給定精確度，用二分法求函數(shù)f ( x)

3、 零點的近似值的步驟是：（ ）確定區(qū)間 a,b，驗證 f (a)f (b) 0 ，給定精確度；1（ 2）求區(qū)間 (a, b) 的中點 ca b ；2（ 3）計算 f (c) ：若 f (c) =0，則 c 就是函數(shù)的零點，計算終止；若 f ( a )f (c)0 ，則令 b=c（此時零點 x0a,c ）；若 f (c)f (b)0則令 a=c（此時零點 x0c,b 。 ( 用列表更清楚 )（ 4）判斷是否達到精確度：即若 a b，則得到零點近似值a或b ；否則重復（2） （ 4）。- 1 -說明：用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適合，對函數(shù)的不變號零點不使用；用二分法求函數(shù)的

4、零點近似值必須用上節(jié)的三種方法之一先求出零點所在的區(qū)間?！镜湫屠}】一、確定零點的個數(shù)例 1（1）二次函數(shù)yax2bxc(a0) 中， ac0 ，則函數(shù)的零點個數(shù)是（）a 1 個b 2 個c 0 個d無法確定分析：分析條件ac0， a 是二次項系數(shù)，確定拋物線的開口方向，cf (0) ，所以a c af (0)0 ，由此得解。解：因為 cf (0)，所以 a caf (0)0 ，即 a 與 f (0)異號，即a0a0f (0)0或0f (0)所以函數(shù)必有兩個零點，故選b。（ 2）函數(shù) f (x)x 3x24x4 的零點個數(shù)為 _。解：可由試根法求得f ( x)0 的一根為 x1 ，從而可得f

5、( x)(x1)( x2)( x2) ，由函數(shù)的零點個數(shù)為3 個。例 2 函數(shù) f (x)ln x2的零點所在的大致區(qū)間是（）xa（ 1， 2）b（ 2， 3）c (1,1) 和（ 3， 4）d (e,)e分析：從已知的區(qū)間(a,b) ，求 f (a) 和 f (b) ，判斷是否有f (a)f (b)0。解：因為 f (1)20, f (2)ln 210 ，故在（ 1，2）內(nèi)沒有零點，非a。又 f (3)ln 320，所以 f (2)f (3)0 ，所以 f (x) 在（ 2， 3）內(nèi)有一個零點，選 b。3例 2下列函數(shù)中，在區(qū)間 1 ， 2上有零點的是 f ( x)x 1f(x) 324x5

6、 y2x23xx f (x ) ln x 3x 6 f (x) ex3x 6解析：直接求出x=1，符合 首先判斷一元二次函數(shù)的零點個數(shù)，通過求所對應(yīng)方程判別式的大?。?, 且 yx1 2x3 , 零點 x1,或 32 即判斷 yln x 與 y3x6 的交點情況，需要畫圖，并判斷交點所在區(qū)間 同理，判斷 yex與 y3x6 的交點情況答案例 4 試證明函數(shù)f ( x)ex4x2 在 r 上有且僅有一個零點。證明：f (0)20 且 f (1)e20 ，- 2 -而函數(shù)f (x) 在區(qū)間 0,1 上是連續(xù)不斷的f ( x) 在區(qū)間 (0,1) 內(nèi)有零點。又 f (x)ex40，f ( x) 在

7、r 上是一個單調(diào)遞增函數(shù)。如果函數(shù)f (x) 有不僅一個的零點， 可設(shè) x1, x2為它的兩個不等的零點， 則有 f (x1 )f ( x2 ) ，這與 f ( x) 在 r 上是一個單調(diào)遞增函數(shù)矛盾，函數(shù) f (x) 在 r 上有且僅有一個零點。二、求函數(shù)零點的近似值例 5求方程 x3x10在區(qū)間 (0,2 內(nèi)的實數(shù)解。（ 精確到 0.01 ）解：考察函數(shù) f ( x) x3x1 由于 f (o)0, f (2) 0 ，函數(shù) f ( x)x3x1 在 (0,2 內(nèi)存在零點，即方程 x 3x10 在區(qū)間 (0,2內(nèi)有解。取 0 ，2的中點1， f (1)0 方程在 1 ，2 內(nèi)有解， 又 f

8、(1)0, f (1.5)0所以 f ( x) 在區(qū)間 1,1.5 存在零點， 方程在 1，1.5 內(nèi)有解，如此下去，取區(qū)間1,1.5 作為計算器的初始區(qū)間。用二分法逐次計算列表如下：區(qū)間中點坐標中點函數(shù)值取區(qū)間| an bn |1,1.50.51.25f (1.25) 01.25,1.50.251.375f (1.375)01.25,1.3750.1251.3125f (1.3125)01.3125,1.3750.06251.34375f (1.34375)01.3125,1.343750.031251.328125f (1.328125)01.3125,1.3281250.0156251.

9、3203125f (1.3203125)01.3203125,1.3281250.0078125|1.3281251.3203125|=0.00781250.01 ，至此可以看出，函數(shù)的零點落在區(qū)間長度小于0.01的區(qū)間 1.3203125,1.328125 內(nèi)，因為該區(qū)間的所有值精確到0.01 的都是 1.32 ，所以1.32是函數(shù) f (x) x3x 1 精確到 0.01 的一個近似零點。- 3 -例 6已知二次函數(shù)y f1( x) 的圖象以原點為頂點且過點(1,1)，反比例函數(shù)yf 2 ( x) 的圖象與直線 yx 的兩個交點間距離為8， f ( x)f1 (x) f2 (x)（ 1）求

10、函數(shù)f ( x) 的表達式。2a3時，關(guān)于 x 的方程 f ( x)f ( a) 有三個實數(shù)解。（ ）證明：當解：（ 1） f ( x)x28x888a28（ 2）由 f ( x)f (a) 得 x2a2，即：x2，在同一坐標系作出xaxaf 2 ( x)8和 f3 (x)x2a28的大致圖象， 其中 f2 ( x) 的圖象是以坐標軸為漸近線， 且位xa8 ) 為頂點，開口向下的拋物線。因此，于第一、三象限的雙曲線，f3 (x) 的圖象是以 (0, a2af 2 ( x) 與 f3 ( x) 的圖象在第三象限有一個交點。即f (x)f (a) 有一個負數(shù)解。又f2 (2)4, f3 (2)a2

11、84 ，當 a3 時， f3(2)f2 (2)a2880aa當 a3 時，在第一象限f3 ( x) 的圖象上存在一點(2, f3 (2) 在 f 2 ( x) 圖象的上方。f 2 ( x) 與 f3 ( x) 的圖象在第一象限有兩個交點，即f (x)f (a) 有兩個正數(shù)解。因此，方程f (x)f (a) 有三個實數(shù)解。方法二：由 f ( x)f (a) 得 x28a28，因式分解為： ( xa)( x a8 )0，即： x axaax或 x a80 ， 又 x0 不 是 x28a28 的 根 ， 故 x a80 可 化 為 ：axxaaxx2a2 x 8 0 ，只須證明xa 和 x0 不是

12、x2a2 x80 的根，且 x2a2 x8 0 具有兩個不等的實根。【作業(yè)】1已知關(guān)于x 的方程 sin2 x + a cosx 2 a = 0 有實數(shù)解，求實數(shù)a 的取值范圍。答案： 0 a 4 232已知二次函數(shù)f (x) ax2bx c（ 1）若 a bc ，且 f (1)0 ，試證明 f ( x) 必有兩個零點。- 4 -（ 2）若對于 x1 , x2 r 且 x1x2 ， f ( x1 )f (x2 ) ，方程 f (x)1 f (x1 ) f ( x2 ) 有兩個不2等的實根，證明必有一實根屬于( x1 , x2 ) 。證明：（1）f (1)0,abc0又 ab c, a 0, c

13、 0 ，即 ac0 ，又b24ac4ac0 ，方程 ax2bx c 0 有兩個不等實根， 所以函數(shù) f ( x)有兩個實根。（2）令 g ( x)f ( x)1 f (x1 )f ( x2 ) ，2則 g ( x1 )f ( x1 )1 f (x1)f (x2 )f (x1)f (x2 ) ，22g ( x2 )f ( x2 )1 f (x1)f ( x2 )f (x2 )f (x1 ) ，22f ( x1 )f ( x2 )g ( x1 ) g ( x2 )21 f ( x1 )4f ( x2 )f ( x1 )2f ( x2 )2f ( x1 )f ( x2 ),g(x1 ) g (x2

14、)0g( x)0 在 ( x1 , x2 ) 內(nèi)必有一實根，即f ( x)1 f ( x1 ) f (x2 ) 在 (x1, x2 ) 內(nèi)必有一實2根。3已知關(guān)于x 的二次函數(shù)f ( x) = x 2 + (2 t - 1) x + 1 - 2t (1) 求證：對于任意 t ? r ，方程 f (x ) = 1必有實數(shù)根；(2)若 1t 3，求證：方程f ( x) =0 在區(qū)間 ( - 1, 0) 及(0 ,1) 上各有一個實數(shù)根242(1)由 f (1) = 1 知 f ( x) = 1 必有實數(shù)根 .或由 d =(2t -22得 f (x) = 1 必有實數(shù)根1) + 8t = (2 t + 1) ? 0(2) 當 1t 0 ， f (0)=1 - 2t = 2(1- t ) 0 ，f ( ) =(2 t - 1) + 1 - 2 t =4242所以方程f ( x) = 01) 上各有一個實數(shù)根在區(qū)間 ( - 1,0) 及 (0,24 已 知tf (t )log 2 ，t2，8， 對 于f(t)值 域 內(nèi) 的 所 有 實 數(shù)， 不 等 式mx2mx42m 4x 恒成立，求x 的取值范圍。- 5 -解析 t 2 ， 8， f(t) 1 ，32原題轉(zhuǎn)化為