數(shù)學(xué)必修四1.4.2正弦余弦函數(shù)的性質(zhì)(二)奇偶性和單調(diào)性.ppt

1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,復(fù)習(xí)： （一）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像,二）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì) (1) 定義域,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集 R,2)值域： 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域都是 -1，1,3)周期性：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)， 2kp (kZ且k0) 都是它們的周期，最小正周期是2p,4) 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性 對(duì)于正弦函數(shù) y = sin x,設(shè) (x，y) 即 (x，sinx) 為 y = sin x (xR)圖像上任一點(diǎn)，它 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 ( - x，- y )，也就是 (- x，- sinx,而由誘導(dǎo)公式，sin(-x) = - sinx,

2、所以，圖象上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 (-x，sin(-x)， 它也在 y = sin x (xR) 圖象上,所以 , 正弦曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),定義：如果對(duì)于函數(shù) f (x) 的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f (-x) = - f (x)，那么函數(shù) f (x) 就叫做這一 定義域內(nèi)的奇函數(shù). 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以，正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),對(duì)于余弦函數(shù) y = cos x ( xR ),設(shè) (x，y) 即 (x，cos x) 為 y = cos x (xR) 圖像上任一點(diǎn)， 它關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 ( - x， y )，也就是 (- x，cos x,而由誘導(dǎo)公式，cos

3、( - x) = cos x,所以，圖象上任一點(diǎn)關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 (-x，cos (-x) ,它 也在 y = cos x (xR) 的圖象上,所以，余弦曲線(xiàn)關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng),定義：如果對(duì)于函數(shù) f (x) 的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f (-x) = f (x)，那么函數(shù) f (x) 就叫做這一定 義域內(nèi)的偶函數(shù). 偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng),所以，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng),定義：如果函數(shù) f (x) 是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說(shuō)函數(shù) f (x) 具有奇偶性 . 特別注意： （1）根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)的定 義域一定關(guān)于

4、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) . 反過(guò)來(lái)，如果函數(shù)的定義域 關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)就不具有奇偶性. （2）我們知道，函數(shù)單調(diào)性是針對(duì)某個(gè)區(qū)間來(lái)說(shuō) 的，是函數(shù)的局部性質(zhì)；而函數(shù)的奇偶性是對(duì)函數(shù)的 整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)的，因而奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì). 判斷函數(shù)奇偶性的方法： 先考察一下它的定義域，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)不 對(duì)稱(chēng)，則可得結(jié)論函數(shù)不具有奇偶性，如果定義域關(guān) 于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再繼續(xù)利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷,由上面的討論，因?yàn)?sin (-x) = -sin x，cos(-x) = cos x，所以 正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù). 所以，正弦曲線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn) O 對(duì)稱(chēng)，余弦曲線(xiàn) 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng). 下面我們將驗(yàn)證正弦曲線(xiàn)和余弦曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，請(qǐng)點(diǎn)擊下面的按鈕,正、余弦曲線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)性,5) 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性 正弦函數(shù)的單調(diào)性,1,0,1,0,1,y = sin x，(xR,增區(qū)間為 其值由-1增大到1,減區(qū)間為 其值由 1 減小到 -1,余弦函數(shù)的單調(diào)性,y = cos x，(xR,增區(qū)間為 其值由-1增大到1,減區(qū)間為 其值由 1 減小到 -1,1,0,1,0,1,例2 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,