固體物理答案-第二章【高等教學(xué)】

1、第二章 晶體中原子的結(jié)合,2.1 由N個(gè)原子（離子）所組成的晶體的體積V可寫(xiě)為 。式中， v為每個(gè)原子（離子）平均所占據(jù)的體積；R為粒子間的最 短距離；是和結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。試求下列各種結(jié)構(gòu)的值： (1).簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣； (2).面心立方點(diǎn)陣； (3).體心立方點(diǎn)陣； (4).金剛石結(jié)構(gòu)； (5).氯化鈉型結(jié)構(gòu),式中，V為晶體體積，N為晶體包含的原子數(shù)，v為每個(gè)原子平 均占據(jù)的體積。若以,表示晶體包含的晶胞數(shù),中每個(gè)晶胞的體積，n表示晶胞中所含的粒子數(shù)，則(1)式完全 等效于,解：題給,表示晶體,1,于是得,2,R為離子間的最短距離。題給的各種晶格均為立方格子，如令,其晶格常數(shù)為a，則有,可由式

2、(2)直接求出各種格子的,值。所得結(jié)果列表如下,2.2證明有兩種離子組成的、間距為 的一維晶格的馬德隆常數(shù),證明,選取負(fù)離子O為參考離子，相鄰兩離子間的距離用R表示,第j個(gè)離子與參考離子的距離可表示為,對(duì)于參考,離子O，它與其它離子的互作用勢(shì)能為,馬德隆常數(shù),且,即當(dāng),時(shí),因?yàn)?解之有,1,因而,其次，對(duì)應(yīng)于 處能量取極小值，應(yīng)有,于是,把（1）式代入，即得,所以,這個(gè)結(jié)果表明，排斥力是短程力，與吸引力相比較，它隨原子間的距離的變化更陡峭,2.4 有一離子晶體，其總互作用勢(shì)能表示為,試問(wèn)當(dāng)離子電荷加大1倍時(shí)，平衡離子間距、互作用勢(shì)能和體積彈性模量將受何影響,解,按題給,由平衡條件,得到離子平衡

3、間距作為離子帶電狀態(tài)的函數(shù),從而晶體的內(nèi)能也作為離子帶電狀態(tài)的函數(shù),1,2,由（1）、（2）兩式可知，當(dāng)離子帶電量加倍時(shí)，則有,體積彈性模量可按下式求出,2.5 有一晶體在平衡時(shí)的體積為 ，原子間總的互作用能為 。若原子間互作用能由式 表述，試證明晶 體的體積彈性模量為,證明,設(shè)晶體共含有N個(gè)原子，則總能量為,由于晶體表面層的原子的數(shù)目與晶體內(nèi)原子數(shù)目相比少得多,因此可忽略它們之間的差異,于是上式簡(jiǎn)化為,設(shè)最近臨原子間的距離為R，則有,再令,得到,平衡時(shí),則由已知條件,得,由平衡條件,得,由（1）、（2）兩式可解得,利用體積彈性模量公式,得,由于,因此,于是,2.6 已知有N個(gè)離子組成的NaC

4、l晶體，其結(jié)合能為,今若排斥項(xiàng) 由 來(lái)代替，且當(dāng)晶體處于平衡時(shí)，這兩者對(duì)互作用勢(shì)能的貢獻(xiàn)相同，試求出n與 的關(guān)系,由,得,又,2,得,3,將（1）、（3）兩式代入（2）式,可得,即,2.7 立方ZnS的晶格常數(shù)a=5.41A，試計(jì)算其結(jié)合能,則,解,1,由,得,可知,2,對(duì)于面心立方，N個(gè)原子構(gòu)成晶體體積,可得,由（1）中結(jié)果知,所以,可知,可得,3,體積彈性模量,4,抗張強(qiáng)度公式為,又面心立方結(jié)構(gòu),可知,又,所以抗張強(qiáng)度,2.9 設(shè)有一離子晶體,只計(jì)及最近鄰離子間的排斥作用時(shí),其兩個(gè) 離子間的勢(shì)能具有如下的形式,其中,為參數(shù);R是最近鄰距離.試求平衡時(shí)晶體總的互作用勢(shì)能的表達(dá)式.晶體共包含2

5、N個(gè)離子,解,以負(fù)離子為參考離子,同號(hào)取“-”,異號(hào)取“,令最近鄰離子間距離為R,則,設(shè)最近鄰離子數(shù)目為Z,2.10 由兩種一價(jià)離子交替排列組成的一維晶體，若離子總數(shù) 為2N，試證明,1) 平衡時(shí)的互作用勢(shì)能為,2) 如果晶體被壓縮，使,則外力對(duì)每個(gè)離子,所作的功,可表示為,解：(1)計(jì)入排斥作用，晶體中任意兩離子i、j之間的互作用,式中，同號(hào)離子取“+”號(hào)。異號(hào)離子取“”號(hào)。若取負(fù)離 子i作為參考離子，并忽略表面效應(yīng)，則總的互作用能為,能,括號(hào)內(nèi)對(duì)正離子取“+”號(hào)，對(duì)負(fù)離子取“”號(hào)。以R表示最近 鄰離子間距，并令,則上式可寫(xiě)為,式中,為馬德隆常數(shù),對(duì)于一維離子晶體,馬德隆常數(shù)為,所以,式中的

6、代定參量B可如下確定：因?yàn)槠胶鈺r(shí),故有,由(1)、(2)兩式求得勢(shì)能的變化,2,3,于是(3)式可化簡(jiǎn)為,能量的變化應(yīng)等于外力所作的功。因?yàn)榫w一共由2N 個(gè)離子，由上式可知，外力對(duì)每個(gè)離子所作的功就是,2.11 金剛石是共價(jià)鍵晶體，試求其鍵間夾角的大小,解：金剛石中每個(gè)碳原子與其最近鄰的碳原子構(gòu)成一個(gè)正四面 體，原子間靠共價(jià)鍵結(jié)合，四面體鍵之間的夾角等于立方體體 對(duì)角線間的夾角,式中,是直角坐標(biāo)系,則矢量,中的方向單位矢量,2.12 實(shí)驗(yàn)測(cè)得NaCl的晶體密度=2.16g/cm3,試求NaCl晶體中離子 間的平衡間距R0.(已知Na的原子量為23,Cl的原子量為58.5,解:設(shè)晶體共有2N0

7、個(gè)離子,晶體的體積,NaCl晶體,N0=6.0221023,與N0對(duì)應(yīng)的質(zhì)量應(yīng)為,M=23+35.5=58.5(g,阿伏加德羅常數(shù),解,1)面心立方,最近鄰原子有12個(gè),1)只計(jì)及最近鄰原子； (2)計(jì)及最近鄰和次近鄰原子,和 為參數(shù)； 是參考原子i與其它任一原子j的距離rij同最近鄰原子間距R的比值( )。試計(jì)算面心立方的A6和A12,2)計(jì)及最近鄰和次近鄰,次近鄰有6個(gè),解：根據(jù)體積彈性模量K的定義,得,因而,即,于是,依題給,所以,2.15 試用埃夫琴法求由正負(fù)一價(jià)離子相間構(gòu)成的二維正方格 子的馬德隆常數(shù),解：取如圖所示單元，采用電 荷中性組法進(jìn)行計(jì)算。注意到 所取單元邊上的粒子僅1/2屬于 單元，角上的離子僅1/4屬于單元，容易驗(yàn)證，所取的單元恰 好是一個(gè)電荷中性組,用R表示最近鄰離子間的距離,取中心的負(fù)離子為坐標(biāo)原點(diǎn)，則其它離子的坐標(biāo)為,這里,對(duì)圖中各離子，列表如下,為正負(fù)整數(shù)，該離子到原點(diǎn),的距離,因此，所取單元中各離子與中心負(fù)離子的互作用勢(shì)能,2.16 NaCl的體積彈性模量K為2.401011dyncm-2,計(jì)算在0.2Mbar (106bar=1012dyncm-2)下最近鄰距離的變化分?jǐn)?shù)(相對(duì)變化),假定K為恒量,解:對(duì)于NaCl晶體,V=NR3(N為正負(fù)離子總個(gè)數(shù)),R為最近鄰離子距離,晶體中最近鄰原子間的距離縮短了約24,2.17 采用