計(jì)算流體力學(xué)-對流方程-有限差分法-Lax格式-迎風(fēng)格式-FTCS格式

1、有限差分法數(shù)值求解一維伯格斯方程作者：潭花林1. 引言本文利用有限差分法計(jì)算了一維伯格斯方程的初邊值問題。采用FTCS格式，并深入討論了它的相容性、收斂性與穩(wěn)定。有限差分法在計(jì)算流體力學(xué)、數(shù)值傳熱學(xué)中都有眾多的應(yīng)用，而且可以用于高維情形。所有問題都是采用matlab編程計(jì)算。本文只是一個(gè)簡單的一維問題的算例。關(guān)鍵詞:計(jì)算流體力學(xué)，有限差分法，一維對流方程2. 題目用計(jì)算機(jī)求對流方程的初值問題 的數(shù)值解（由于對流方程的計(jì)算結(jié)果只依賴與上游，只需要給出上有的邊界條件就可以了）。（1）分別用C格式，Lax格式，F(xiàn)TCS格式在 ，兩種情況下計(jì)算。（2）計(jì)算范圍為，取，計(jì)算80個(gè)時(shí)間步長。（3）寫出計(jì)算

2、報(bào)告，內(nèi)容為（I）計(jì)算課題（II）計(jì)算框圖（III）計(jì)算程序（IV）計(jì)算結(jié)果，時(shí)的，圖（V）體會(huì)3. 計(jì)算原理3.1. 迎風(fēng)格式內(nèi)點(diǎn)采用如下差分格式 初值為 邊界條件為 穩(wěn)定性：差分格式的穩(wěn)定性：誤差方程與差分方程相同設(shè)誤差為，則 放大因子所以為使，應(yīng)有對于本問題，初值和邊界條件并不影響穩(wěn)定性和收斂性問題。根據(jù)Lax等價(jià)定理，對于適定的處置問題，只要差分格式相容，穩(wěn)定的就是收斂的。3.2. Lax格式內(nèi)點(diǎn)采用如下差分格式 初值為 邊界條件為 穩(wěn)定性：差分格式的穩(wěn)定性：誤差方程與差分方程相同設(shè)誤差為，則 放大因子所以為使，應(yīng)有對于本問題，初值和邊界條件并不影響穩(wěn)定性和收斂性問題。根據(jù)Lax等價(jià)定

3、理，對于適定的處置問題，只要差分格式相容，穩(wěn)定的就是收斂的。3.3. FTCS格式內(nèi)點(diǎn)采用如下差分格式 初值為 邊界條件為 穩(wěn)定性：差分格式的穩(wěn)定性：誤差方程與差分方程相同設(shè)誤差為，則 放大因子所以所以該格式是完全不穩(wěn)定的。4. 計(jì)算結(jié)果及其討論4.1. 時(shí)，結(jié)果是收斂的4.1.1. 時(shí)刻，三種格式的處理是相同的，處理結(jié)果如圖 1所示，這是由于還沒有開始數(shù)值計(jì)算。圖 14.1.2. 時(shí)刻，計(jì)算結(jié)果如圖 2所示，Lax格式和迎風(fēng)格式的結(jié)果幾乎是相同的，而FTCS格式卻出現(xiàn)了很大的數(shù)值震蕩。圖 24.1.3. 時(shí)刻，計(jì)算結(jié)果如圖 3所示，Lax格式和迎風(fēng)格式的結(jié)果幾乎是相同的，并且結(jié)果已經(jīng)接近穩(wěn)態(tài)

4、。而FTCS格式卻數(shù)值震蕩更大了，在幾百的量級。圖 34.1.4. 時(shí)刻，三種格式的處理是相同的，處理結(jié)果如圖 4所示，Lax格式和迎風(fēng)格式的結(jié)果幾乎是相同的，并且結(jié)果已經(jīng)接近穩(wěn)態(tài)。而FTCS格式卻數(shù)值震蕩更大了，在十萬的量級。圖 44.2. 時(shí)，結(jié)果是不收斂的4.2.1. 時(shí)刻，計(jì)算結(jié)果如圖 5所示，三種格式的處理是相同的，這是由于還沒有開始數(shù)值計(jì)算。圖 54.2.2. 時(shí)刻，計(jì)算結(jié)果如圖 6所示，三種格式都出現(xiàn)了不同程度的數(shù)值震蕩，在之前的穩(wěn)定性分析中，已經(jīng)指出，時(shí)，即使是迎風(fēng)格式和Lax格式也是不穩(wěn)定的，只有幾的量級。圖 64.2.3. 時(shí)刻，計(jì)算結(jié)果如圖 7所示，三種格式都出現(xiàn)了不同程

5、度的數(shù)值震蕩，在之前的穩(wěn)定性分析中，已經(jīng)指出，時(shí)，即使是迎風(fēng)格式和Lax格式也是不穩(wěn)定的，震蕩量級到了幾百。圖 74.2.4. 時(shí)刻，計(jì)算結(jié)果如圖 8所示，三種格式都出現(xiàn)了不同程度的數(shù)值震蕩，在之前的穩(wěn)定性分析中，已經(jīng)指出，時(shí)，即使是迎風(fēng)格式和Lax格式也是不穩(wěn)定的，震蕩量級到幾千萬。圖 85. 體會(huì)在數(shù)值計(jì)算中，由于計(jì)算量很大，不可能通過微分方程的推導(dǎo)就獲得解析解，編寫程序已經(jīng)是不可或缺的了。使用Matlab編寫程序，雖然計(jì)算速度會(huì)比C、C+、Fortran等語言慢一些，但是卻易于調(diào)試。本文中的程序只用了兩次就調(diào)試成功。差分格式雖然看起來都差不多，但是穩(wěn)定性的各自不同。FTCS格式雖然具有二階的精度，但是不收斂，精度再高也沒有用。數(shù)值震蕩在一開始或許并不大，但是隨著計(jì)算的進(jìn)行，震蕩的量級就不容小覷了。對于顯示格式，都是條件穩(wěn)定的，需要足夠小才可以保證穩(wěn)定條件。本文中的一維方程穩(wěn)定性條件還不是很苛刻。但是如果問題是二維的，甚至是三維的，需要更小，計(jì)算量就會(huì)很大。6. 致讀者文章中多處用到Mathtype輸入公式，如果下載，可能會(huì)看到亂碼，也無法復(fù)制。由于是原創(chuàng)性工作，下載需要財(cái)富值，敬請諒解。本文的matlab程序已經(jīng)上傳到