概率密度函數(shù)的性質(zhì)課件

1、1,第二章,二、概率密度函數(shù)的性質(zhì),一,概率密度函數(shù)的概念,第五節(jié),連續(xù)性隨機(jī)變量,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),2,離散型隨機(jī)變量的可能值可以一一列舉出來(lái),但,另一類隨機(jī)變量它們的可能取值不止有限個(gè)或可列個(gè),其取值是充滿某一個(gè)區(qū)間,即不能用分布列表示,X,的,取值及其概率,因此通過(guò)所謂,概率密度,來(lái)描述這類隨機(jī),變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,本節(jié)將要用到由定積分變上限確定的函數(shù)及其,導(dǎo)數(shù),還要用到指數(shù)函數(shù)及圖形特點(diǎn)等知識(shí),一、概率密度函數(shù)的概念,3,對(duì)于隨機(jī)變量,X,若存在非負(fù)函數(shù),x,dt,t,p,x,X,P,使對(duì)任意實(shí)數(shù),x,x,p,則稱,X,為,連續(xù)型隨機(jī)變量,p,x,為,X,的,概率密度函數(shù),簡(jiǎn)

2、稱,密度函數(shù),或,密度,都有,x,的概率分布規(guī)律就得到了全面描述,所以若已知密度函數(shù),該連續(xù)型隨機(jī)變量,定義,1,p,x,0,x,x,4,面積為,1,這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù),x,p,是否為某隨機(jī)變量,X,的密度函數(shù)的充要條件,1,dx,x,p,性質(zhì),1,2,是密度函數(shù)的充要性質(zhì),0,x,x,p,2,歸一性,1,非負(fù)性,p,x,0,x,1,二,概率,密度函數(shù)的性質(zhì),5,3,2,1,x,X,x,P,2,1,x,x,t,d,t,p,2,1,x,x,即,X,落在,上的概率,上曲線,x,p,y,之下的曲邊,梯形的面積,4,若,x,p,在點(diǎn),x,處連續(xù),則有,x,p,x,x,x,X,x,P,x,0,li

3、m,x,x,p,x,x,X,x,P,這表示,X,落在小區(qū)間,x,x,x,上的概率近似地等于,x,x,p,若不計(jì)高階無(wú)窮小，有,p,x,x,0,1,x,2,x,密度函數(shù)的幾何意義,2,1,x,x,2,1,x,x,6,若,x,x,x,X,x,P,x,lim,0,0,lim,x,x,x,x,p,t,dt,x,的進(jìn)一步理解,對(duì),x,p,的連續(xù)點(diǎn)，則,x,p,是,x,x,p,如果把概率理解為質(zhì)量,x,x,x,x,故,X,的密度,x,p,在,x,這一點(diǎn)的值，恰好是,X,落在,的概率與區(qū)間長(zhǎng)度,之比的極限,這里,相當(dāng)于線密度,x,p,區(qū)間,x,p,不是概率,x,d,x,p,所起的作用與,k,k,p,x,X,

4、P,理論中所起的作用相類似,在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中,在離散型隨機(jī)變量,7,5,對(duì)任意實(shí)數(shù),a,則,0,a,X,P,稱,A,為,幾乎不可能事件,B,為,幾乎必然事件,可見(jiàn),由,P,A,0,不能推出,A,由,P,B,1,不能推出,B = S,這是因?yàn)?lim,0,a,X,x,a,P,a,X,P,x,a,x,a,x,dx,x,p,lim,0,0,8,的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度,要,注意,的是,密度函數(shù),x,p,a,p,并不是,a,X,的概率,但是這個(gè)高度越大,則,X,取,a,附近的值的概率就越大,也可以說(shuō),在某點(diǎn)密度曲線,我們關(guān)心它在某一點(diǎn)取值的問(wèn)題沒(méi)有太大的意義,p,x,0,x,1,由上

5、述性質(zhì)可知,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問(wèn)題,在某點(diǎn)處,的高度,a,9,b,X,a,P,b,X,a,P,b,X,a,P,對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量,X,有,b,X,a,P,的密度函數(shù)為,若已知連續(xù)型隨機(jī)變量,x,p,X,取值的概率為,也可以是無(wú)窮區(qū)間）上,間；可以是有限區(qū)間,閉區(qū)間，或半開(kāi)半閉區(qū),也可以是,可以是開(kāi)區(qū)間,在任意區(qū)間,則,D,D,X,D,dx,x,p,D,X,P,10,例,1,某種晶體管的壽命,h,是隨機(jī)變量,X,其密度,other,x,x,k,x,p,0,100,2,求,1,常數(shù),k,2,該晶體管不能工作,150,h,的概率,3,一臺(tái)儀器中裝有,4,只此種晶體管

6、,至少有,1,只失效的概率,工作,150,h,后,解,1,100,k,x,d,x,k,100,2,1,100,1,x,k,100,k,150,2,X,P,x,d,x,150,100,2,100,3,1,150,1,100,1,100,3,設(shè),Ai,第,i,只晶體管,150,h,失效,4,3,2,1,i,11,由于,150,X,P,A,P,i,3,1,4,3,2,1,A,A,A,A,相互獨(dú)立,則所求的概率為,1,2,3,4,P,A,A,A,A,1,4,3,2,1,A,P,A,P,A,P,A,P,4,2,65,1,3,81,1,2,3,4,1,P,A,A,A,A,12,三、連續(xù)性隨機(jī)變量的分布函數(shù)

7、,對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量,X,存在密度函數(shù),x,dt,t,p,x,X,P,x,F,使對(duì)任意實(shí)數(shù),x,x,p,則稱,F,x,為連續(xù)型隨機(jī)變量,X,的,分布函數(shù),都有,x,分布規(guī)律就得到了全面描述,由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,確定,所以若已知密度函數(shù),該連續(xù)型隨機(jī)變量的概率,函數(shù)唯一被它的,密度函數(shù),所,p,x,0,x,x,x,F,THANK YOU,SUCCESS,2019/9/18,14,1,0,x,x,F,連續(xù)性隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì),p,x,0,x,x,x,F,1,是連續(xù)的單增函數(shù),x,F,x,dt,t,p,x,F,0,x,p,x,x,F,0,1,15,2,若,x,p,在點(diǎn),x,處連續(xù),則有,x

8、,p,x,F,0,lim,x,F,x,x,F,x,p,x,x,0,lim,x,P,x,X,x,x,x,面積為,1,0,lim,x,F,F,x,3,p,x,0,x,1,lim,x,F,F,x,1,dx,x,p,16,試說(shuō)明,設(shè)有函數(shù),其它,0,0,sin,x,x,x,F,不滿足性質(zhì),1,故,2,可見(jiàn),F,x,也不能是隨機(jī)變量的分布函數(shù),或者,0,lim,x,F,F,x,能否是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù),x,F,解,注意到函數(shù),x,F,在,上下降,不能是分布函數(shù),x,F,不滿足性質(zhì),2,例,1,17,的分布函數(shù)為,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量,X,x,x,x,F,arctan,1,2,1,的密度函數(shù),試求,X,則

9、,的密度函數(shù)為,設(shè),x,p,X,x,F,x,p,x,x,2,1,1,1,例,2,解,18,B,x,A,x,F,arctan,求,A,B,解,0,2,B,A,F,1,2,B,A,F,2,1,1,B,A,2,1,arctan,1,x,x,F,例,3,已知,19,設(shè)隨機(jī)變量,X,的密度函數(shù)為,其它,0,1,0,1,2,2,x,x,x,p,求,解,對(duì),x,0,2,0,2,1,1,x,F,x,dt,t,0,1,x,對(duì),x,F,x,t,d,t,p,x,X,P,x,F,0,x,F,x,arcsin,2,對(duì),1,x,F,0,0,2,arcsin,0,1,1,1,x,F,x,x,x,x,即,例,4,1,x,20

10、,x,dt,t,p,x,F,求,F,x,其它,0,2,1,2,1,0,x,x,x,x,x,p,X,設(shè),例,5,0,1,0,0,0,x,dx,tdt,1,0,1,2,x,xdx,t,dt,0,x,1,0,x,2,1,x,2,x,F,x,解,2,2,x,2,1,2,2,x,x,21,也可求出,2,1,2,1,2,1,2,1,0,2,0,0,2,2,x,x,x,x,x,x,x,x,F,即,對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，若已知,x,F,我們通過(guò)求導(dǎo),x,p,22,例,6,設(shè),X,是連續(xù)性隨機(jī)變量，其分布密度為,other,x,x,x,A,x,p,0,2,0,3,8,2,1,確定常數(shù),A,的值,2,求,F,x,3,1,3,P,X,4,1,P,X,解,1,1,p,x,d,x,2,2,0,0,x,d,x,x,A,3,8,2,0,2,A,x,x,A,8,0,2,4,3,2,8,1,A,0,2,x,x,X,P,x,F,0,0,x,x,d,2,0,x,0,0,x,d,x,X,P,x,F,4,8,1,3,2,x,x,2,0,1,8,3,8,x,x,x,d,x,23,x,2,F,x,P,X,x,1,