高數(shù)1全套公式

1、一、三角函數(shù)1 .公式同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式：平方關(guān)系：sinA2( a )+cosA2( a )=tan2( a )+1= secA2( ；cOtA2( a )+1= cscA2( a)商的關(guān)系：tan a =sin a /cos aot a =cos a /sin a倒數(shù)關(guān)系：tan a cot ; =sin a csc a; =tos a sec a =1三角函數(shù)恒等變形公式：兩角和與差的三角函數(shù)：cos( a + 3 )=cos a eois sin 3cos( a 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3sin( a3 )=sin a cos 3 土 cos a

2、sin 3tan( a + 3 )=(tan a +tan -tan(a tan 3)tan( - 3 )=(tan -tan 3 )/(1+tan a tan 3)倍角公式：sin(2 a )=2sin a cos acos(2 a )=cosA2( -s)n人2( a )=2cosA2( -1=1- 2si門人2( a)tan(2 a )=2tan a #1 門人2( a )半角公式：sinA2( a /2)=- cos a )/2cosA2( a /2)=(1+cos a )/2tan A2( a /2)=(1cos a )/(1+cos a)tan( a /2)=sina /(1+co

3、s ot-()es1a )/sin a萬能公式：sin a =2tan( a /2)/1+ta門人2(a /2)cos a =1-tanA2( a /2)/1+ta門人2(a /2)tan a =2tan( a /2)/t1a門人2( a /2)積化和差公式：sin a cos 3 =(1/2)sin( a + 3-)+9n( acos a sin 3 =(1/2)sin( -sin(+33 )cos a cos 3 =(1/2)cos( a + 3 )+3$I asin a sin-(3/2)cos(a +-3o)s( a 3 )和差化積公式：sin a +sin 3 =2sin( a +

4、3 )/2cos)/2 asin asin 3 =2cos( a + 3 )/2sin3 )/2xcos a +cos 3 =2cos( a + 3 )/2COs3 )/2:cos a-cos 3=2sin(a + 3 )/2sin( 3 )/2)2.特殊角的三角函數(shù)值11f(0 (0=)JI6(30)4(45)衛(wèi)3(60)22(90)cos日13/20心=0i 0)i|u.iju.一兀二次方程2ax +bx+c=0有二互異實根有一相等實根（有一根）b無實根x-by b - 4ac2 _2a元次不等式(a0)2ax +bx +c 0(X1 x2bx豐-2ax乞Rax +bx +cv 0捲 c

5、X X2xex運三、因式分解與乘法公式2 2(1) a -b -(a b)(a b)2 2 2(2) a 2ab b = (a b)(3) a2 -2ab b2 =(a -b)2(4) a3 b3 =(a b)(a2 -ab b2)(5) a3 -b3 =(a -b)(a2 ab b2)32233(6) a 3a b 3ab b = (a b)(7) a3 -3a2b 3ab2 -b3 =(a -b)32 2 2 2(8) ab c 2ab 2bc 2ca = (a b c)(9) an -bn =(a -b)(an anb -abn，- bnJ),( n _ 2)四、等差數(shù)列和等比數(shù)列1.

6、等差數(shù)列通項公式：an二ai n -1 d前n項和公式Sn =門可 或2.等比數(shù)列GPan =0,通項公式an = a1q前n項和公式.ai 1 -qn1 -q nq五、常用幾何公式q=1q=1平面圖形名稱符號周長C和面積S正方形a 邊長C = 4aS = a2長方形a和b邊長C = 2(a+b)S = ab三角形a,b,c 三邊長 h a邊上的高 s 周長的半 A,B,C 內(nèi)角 其中 s = (a+b+c)/2S = ah/2=ab/2 sinC1/2=s(s-a)(s-b)(s-c)2=a sinBsinC/(2sinA)平行四邊形a,b 邊長 ha邊的高 a-兩邊夾角S = ah=abs

7、in a菱形a邊長a夾角D長對角線長 d短對角線長S = Dd/22 . =a sin a梯形a和b 上、下底長 h 高m 中位線長S = (a+b)h/2 =mh圓r半徑 d 直徑C = nd = 2 nr u2S = nr=nd2/4扇形r扇形半徑 a圓心角度數(shù)C = 2r + 2n r X (a/360) S = n 2 Xa/360)圓環(huán)R外圓半徑 r內(nèi)圓半徑D外圓直徑 d內(nèi)圓直徑S = n (於-r2) =n (D-d2)/4橢圓D 長軸 d 短軸S = n Dd/4立方圖形名稱符號表面積S和體積V正方體a邊長S = 6a2V = a長方體a 一長 b 寬 c 咼S = 2(ab+a

8、c+bc) V = abc圓柱r-底半徑h 高C 底面周長S底一底面積S側(cè)一側(cè)面積S表一表面積C = 2 nrS 底一nrS 側(cè)=Ch2S 表=Ch+2S 底=Ch+2nrV = S 底 h = n rh圓錐r-底半徑 h 高2V = n rh/3球r半徑 d 直徑V = 4/3 n 3=nd3/6S= 4 n 2=nd2基本初等函數(shù)名 表達式 定義域圖 形稱常數(shù)函數(shù)y =C幕 y =x函數(shù)隨而異, 但在R 上 均有定義.8過點（1，1）；J . 0時在R 單增；: 0時在R 單減.指數(shù)函數(shù)xy =aa 0a胡y 0 .過點0,1 .a -1單增.0 ： a 1 單減.mm n m -n am

9、-n mm na a a r = a , a a a對數(shù)函數(shù)y =loga xa 0a =1過點1,0 .a單增.0 ： a 1 單減.loga a =1,loga1 二 0,M ,N 0loga MN 二 loga M loga N,MlogalogaM -loga N,Nloga M 卩=Ploga M ,. log c b 亠iloga b c 0廣 1 , logcaloga ax =x(x 0)aloga x x(x 0)正 弦 函 數(shù)y =sin xRyi朮O1 u-13 /2|2応2ft H 12 比奇函數(shù).T =2兀.iy“余 弦 函 數(shù)y =cosxRyi-1偶函數(shù).T =2

10、兀.1心正 切 函 數(shù)y = tan xjix 式 km + 2ZiiJy 11丿J1i奇函數(shù).T =兀. 在每個周期 內(nèi)單增Ir(xII余 切 函 數(shù)y = cot xx 式 kn,MZL、I1 kJ奇函數(shù).T =n .在每個周期 內(nèi)單減.ni131 ix反 正 弦 函 數(shù)y =arcsin xLij-1Iy01x-J/2奇函數(shù). 單增.31JI- y .22反 余 弦 函 數(shù)y = arccosxLi!1-1yTL腔o1x單減.0蘭y蘭兀.反 正 切 函 數(shù)y =arctan xRyUT2_廠ox涎一_奇函數(shù). 單增.TtJI_一 y _ .22反 余 切y = arc cot xRy 1

11、JT單減.0 c y 兀.函數(shù)ox極限的計算方法一、初等函數(shù)：l.lim C二C(C是常值函數(shù))2. 若f (x j (即f (x)是有界量)，lim a =0(即。是無窮小量)，二lim f (x盧=0, 特別:f x j=C二 limC3若 f(xjM(即f(x 是有界量)n lim f x)= o,C特別:f x = C C = 0 = lim 00c g C04.lim0C cO5.未定式1 0型A分子，分母含有相同的零因式，消去零因式B. 等價無窮小替換(常用sin x x,ex-1 x,ln x 1 x)C. 洛必達法貝U:要求 f x , g x 存在,且lim f_ 存在,此時

12、,lim f x = lim f_g(x)g(x) g(x)2 型oOA. 忽略掉分子，分母中可以忽略掉的較低階的無窮大，保留最高階的無窮大，再化簡計算B. 分子，分母同除以最高階無窮大后，再化簡計算.C. 洛必達法則.3 “ 呻型0aO通過分式通分或無理函數(shù)有理化，轉(zhuǎn)化為0型或一型0旳roO oO1 =二(4 )0 乂轉(zhuǎn)化為 00 =0 05 00型一求對數(shù)0二6 型_求對數(shù) 0 .： 17 1型 通過lim 1 x x =e或求對數(shù)來計算.x0二、分段函數(shù)：分段點的極限用左，右極限的定義來求解. 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(C) = 0 , C是常數(shù)(2)(x ：) - : x 1(3)

13、(ax)JaxIna,特別地，當(dāng) a =e時，(ex)丄ex(4)11(logax)，特別地，當(dāng) a =e時，(ln x)x ln ax(5)(sin x) = cosx(6)(cosx) = -sin x(7)(tan x) = = sec2 xcos x(8)(cot x)- = - esc2 xsin x(9)(secx) = (secx) tan x(10)(cscx) - -(cscx) cot x(11)(arcsin x) =p1 -x2(12)(arccosx) = -一, 1j1-x2(13)(arctan x)21 +x(14)(arccot x) -2基本初等函數(shù)的微分公

14、式(1)、de =0(c為常數(shù))；、d(x )=七4dx(為任意常數(shù))；、d(ax) =ax|nadx，特別地，當(dāng) a 二e時，d(ex)=exdx；、11d(IogaX)dx，特別地，當(dāng) a =e時，d(ln x)dx ；x In ax、d(sin x)二 cosxdx ；、d(cos x) - -sin xdx ；、d(tanx)二 sec xdx ；(8)、2d(cotx) = -csc xdx ；(9)、d (sec x) = secx tan xdx ；(10)、d(cscx)二 - cscxcotxdx ;(11)、d (arcsin x)二/ dx ;-X(12)、d (arcc

15、osx)=1- k ；(13)、d (arctan x)=2 dx ;1 x(14)、d (arc cot x):dx .1 x2曲線的切線方程幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)u xvx -u xvxy-y。二 f (xo)(x-x。)b(x)inu(x)+v(x)XJVu(x)丿極限、可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系條件A =：條件B, A為B的充分條件條件B = 條件A, A為B的必要條件條件A = 條件B, A和B互為充分必要條件邊際分析 邊際成本 MC =C (q);邊際收益 MR = R(q)；邊際利潤ML = L (q)， L (q) = R (q) -C (q) = MR MC彈性分析y = f (x)

16、在點x0處的彈性，特別的，需求價格彈性:學(xué)呂yg Ex xn y。EDEpD (p)羅爾定理若函數(shù)f(x)滿足：(1)在閉區(qū)間a,b連續(xù);在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo); f(a)=f(b)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點拉格朗日定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足：(1) 在閉區(qū)間a,b連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，ba則在(a,b)上至少存在一點，使得f ()(b) f(a)基本積分公式0 dx 二 Ckdx = kx Ck為常數(shù)特別地：d = x Cx，dx 二上 C-1L 卩+11dx =ln |x| C(有時絕對值符號也可忽略不寫)xx aa dxCln aexdx 二 ex C cosxdx 二 s

17、in x C sin xdx 二-cosx C= sec2 xdx = tan x C cos x(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)= csc2 xd = - cot x C sin x secx tan xdx = secx C cscxcotxdx = -cscx Cdx21 x=arcta n x C(或.芒cotx C)dx1：二 arcsinx C(或dxx2-arccosx C)tan xdx = Tn |cosx| C，cotxdx =1 n |sin x| C， secxdx =ln |secx tanx| C，

18、 cotxdx 二In |cscxcotx| C，2dx 2 丿arctan C， (a = 0)，a x a adxa2 -x21 ln 2ax ax a(a=0)，dxx, c、(21) : arcs inC， (a . 0)，品2 -x2a=1 n x+x2 士a2 +C , (a 式0).(22) 一dx -2 2x 二 a常用湊微分公式、1dx d ax b a, b為常數(shù)，且a = 0 a、xdx = * 1 d x22、exdx =dex、sin xdx = -d cosx(8)、cosxdx 二 d sin x(9)、sec xdx 二 d tan x(10)、csc2 xdx

19、 = -d cot x(11)、.idarcsinx(12)、1一階線性非齊次微分方程黒 PQ(x)P(x)dx的通解為Q(x)eP(x) dxdx+ C(右圖)0 g(x)dx2)區(qū)域D由連續(xù)曲線xfx(y) 和直線x=c,x=d圍成，其中(y)(y) c 乞 y 乞 ddD的面積 A -| (y) - (y) dyc平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體體積公式1、繞x軸的旋轉(zhuǎn)體體積(右圖)b 2Vxf2(x)dxJ a注意：此時的曲邊梯形必須緊貼旋轉(zhuǎn)軸.2、繞y軸的旋轉(zhuǎn)體體積(右圖)d 2Vy二 g (y)dy注意：此時的曲邊梯形必須緊貼旋轉(zhuǎn)軸.由邊際函數(shù)求總函數(shù)qC(q)二 f(x)dx Co (C。=C(0)為固定成本)R( q)二q總利潤函數(shù)為 L(q) =R(q)C(q) = g(x) f (x)dx C。多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式設(shè)函數(shù)u = (x, y)、v珂(x, y)在