201X_202x學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.1.3兩條直線的位置關(guān)系北師大版必修2

1、1.3兩條直線的位置關(guān)系,1.兩條直線平行 (1)兩條不重合直線l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(b1b2),若l1l2,則k1=k2;反之,若k1=k2,則l1l2. (2)如果l1,l2的斜率都不存在,那么它們的傾斜角都是90,從而它們互相平行或重合. 【做一做1】 已知過A(-2,m)和B(m,4)的直線與斜率為-2的直線平行,則m的值是() A.-8B.0 C.2D.10,答案:A,2.兩條直線垂直 一般地,設(shè)直線l1:y=k1x+b1,直線l2:y=k2x+b2. 若 l1l2,則k1k2=-1;反之,若k1k2=-1,則l1l2. 特別地,對(duì)于直線l1:x=a,直線l

2、2:y=b,由于l1x軸,l2y軸,所以l1l2. 【做一做2】 直線l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,則k等于() A.-3或-1B.3或1 C.-3或1D.3或-1 解析:l1l2k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0(1-k)(k+3)=0k=1或k=-3.故選C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究一兩條直線平行或垂直的判定 【例1】 判斷下列各組直線平行還是垂直,并說明理由. (1)l1:3x+5y-6=0,l2:6x+10y+3=0; (2)l1:3x-6y+14=0,l2:2x+y-2=0; (3)l1:x=2,l2:x=

3、4; (4)l1:y=-3,l2:x=1,k1=k2,b1b2,l1l2,探究一,探究二,探究三,k1k2=-1,l1l2. (3)由方程知l1x軸,l2x軸,且兩條直線在x軸上的截距不相等,l1l2. (4)由方程知l1y軸,l2x軸,l1l2,反思感悟1.若兩條直線的斜率均不存在,且在x軸上的截距不相等,則它們平行;若有一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在,則它們垂直; 2.若兩條直線l1與l2的斜率均存在,設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k2,當(dāng)k1k2=-1時(shí),l1l2;當(dāng)k1=k2,且它們在y軸上的截距不相等時(shí),l1l2,探究一,探究二,探究三,變式訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(2,2+2 )

4、,B(-2,2)和C(0,2-2 )可組成三角形. 求證:ABC為直角三角形,則kABkBC=-1,ABBC. ABC為直角三角形,探究一,探究二,探究三,探究二根據(jù)兩直線的位置關(guān)系確定參數(shù),例2】 (1)當(dāng)m為何值時(shí),直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行? (2)已知直線l1:ax-y+2a=0與l2:(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,求a的值,解:(1)(方法一)l1:2x+(m+1)y+4=0,l2:mx+3y-2=0,當(dāng)m=0時(shí),顯然l1不平行于l2,當(dāng)m=-3或m=2時(shí),直線l1l2. (方法二)若l1l2,則23-m(m+1)=0, 解得m=-

5、3或m=2.經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意. 當(dāng)m=-3或m=2時(shí),直線l1l2,探究一,探究二,探究三,當(dāng)a=0時(shí),直線l1的斜率為0,l2的斜率不存在,兩條直線垂直. 綜上所述,a=0或a=1. (方法二)A1=a,B1=-1,A2=2a-1,B2=a, 由A1A2+B1B2=0, 得a(2a-1)-a=0,即a=0或a=1,探究一,探究二,探究三,反思感悟由兩條直線的位置關(guān)系求參數(shù) 1.已知兩條直線平行,求方程中的參數(shù)時(shí),通常有兩種方法:(1)討論兩條直線的斜率是否存在,分斜率存在和不存在兩種情況,并結(jié)合截距是否相等進(jìn)行分析求解;(2)直接將直線方程化為一般式,根據(jù)條件A1B2=A2B1,且B1C2B

6、2C1建立關(guān)于參數(shù)的方程(組)進(jìn)行求解. 2.由兩條直線垂直求直線方程中的參數(shù)時(shí)通常有兩種方法:一是根據(jù)k1k2=-1建立方程求解,但應(yīng)討論斜率不存在的情況;二是直接利用條件A1A2+B1B2=0求解,探究一,探究二,探究三,變式訓(xùn)練2(1)若直線x+a2y+6=0和直線(a-2)x+3ay+2a=0沒有公共點(diǎn),則a的值是() A.1B.0C.-1D.0或-1 (2)已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,a),B(a-2,-3),直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(2,3),D(-1,a-2).若l1l2,則a,解析:(1)兩直線無公共點(diǎn),即兩直線平行, 則13a-a2(a-2)=0, 解得a=0或a=-1或a=3,經(jīng)檢驗(yàn)

7、知,當(dāng)a=3時(shí)兩直線重合,探究一,探究二,探究三,答案:(1)D(2)-6或5,探究一,探究二,探究三,探究三兩直線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,例3】 已知點(diǎn)A(2,2)和直線l:3x+4y-20=0,求: (1)過點(diǎn)A且與直線l平行的直線的方程; (2)過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的方程,解:(1)設(shè)所求直線的方程為3x+4y+C=0(C-20), 點(diǎn)(2,2)在直線上,32+42+C=0,C=-14. 所求直線的方程為3x+4y-14=0. (2)設(shè)所求直線的方程為4x-3y+=0, 點(diǎn)(2,2)在直線上,42-32+=0, =-2,即所求直線的方程為4x-3y-2=0,探究一,探究二,探究三,反思

8、感悟1.與已知直線Ax+By+C=0平行的直線可設(shè)為Ax+By+m=0(mC),根據(jù)所求直線過定點(diǎn)求得m的值,寫出所求直線方程. 2.與已知直線y=kx+b平行的直線可設(shè)為y=kx+m(mb),再根據(jù)所求直線過定點(diǎn)求得m的值,寫出所求直線方程. 3.求與直線y=kx+b(k0)垂直的直線方程時(shí),根據(jù)兩條直線垂直的條件可巧設(shè)為y=- x+m,然后通過待定系數(shù)法,求參數(shù)m的值. 4.求與直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為零)垂直的直線時(shí),可巧設(shè)為Bx-Ay+m=0,然后用待定系數(shù)法,求出m,探究一,探究二,探究三,變式訓(xùn)練3(1)直線l與直線3x-2y=6平行,且直線l在x軸上的截距比在y軸上

9、的截距大1,則直線l的方程為. (2)垂直于直線3x-4y-7=0,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線l在x軸上的截距是,探究一,探究二,探究三,2)由題意,設(shè)直線l的方程為4x+3y+d=0,答案:(1)15x-10y-6=0(2)3或-3,1,2,3,4,5,1.若直線mx+2y+m=0與直線3mx+(m-1)y+7=0平行,則m的值為() A.7B.0或7C.0D.4 答案:B,1,2,3,4,5,2.若直線(3a+2)x+(1-4a)y+8=0與(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,則a的值為() A.0B.1C.0或1D.-1 解析:因?yàn)閮蓷l直線垂直,所以(3a+2)(5a-2)+