二項式定理十大典型例題配套練習(xí)

1、選修2-3：二項式定理常見題型1二項式定理：，2基本概念：二項式展開式：右邊的多項式叫做的二項展開式。二項式系數(shù):展開式中各項的系數(shù).項數(shù)：共n+1項，是關(guān)于與的齊次多項式通項：展開式中的第項叫做二項式展開式的通項。用表示。3性質(zhì)：二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即.二項式系數(shù)和：令,可得二項式系數(shù)的和為， 變形式。奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令，則，從而得到：二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值。 如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值。系數(shù)的最大項：求展開式

2、中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來。題型一：二項式定理的逆用；例：解： 練：解： 題型二：利用通項公式求的系數(shù)；例：在二項式的展開式中倒數(shù)第項的系數(shù)為，求含有的項的系數(shù)？解：由條件知，即，解得，由，由題意，則含有的項是第項,系數(shù)為。練：求展開式中的系數(shù)？解：，令,則故的系數(shù)為。題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式的展開式中的常數(shù)項？解：，令，得，所以練：求二項式的展開式中的常數(shù)項？解：，令，得，所以練：若的二項展開式中第項為常數(shù)項，則解：，令，得.題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項；例：求二項式展開式中的有理項？解：，令,(

3、)得，所以當(dāng)時，當(dāng)時，。題型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；例：若展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為，求.解：設(shè)展開式中各項系數(shù)依次設(shè)為 ,則有，,則有 將-得： 有題意得，。練：若的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為，求它的中間項。解：，解得 所以中間兩個項分別為，題型六：最大系數(shù)，最大項；例：已知，若展開式中第項，第項與第項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：解出，當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是，當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是，。練：在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大，即，也就是第項。練：在

4、的展開式中，只有第項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少？解：只有第項的二項式最大，則，即,所以展開式中常數(shù)項為第七項等于練：寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：因為二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，所以中間兩項()的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有的系數(shù)最小，系數(shù)最大。練：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項？解：由解出,假設(shè)項最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項為,有練：在的展開式中系數(shù)最大的項是多少？解：假設(shè)項最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項為題型七：含有三項變兩項；例：求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項的系數(shù)？解法：，當(dāng)且僅當(dāng)時，的展開式中才有x的一次

5、項，此時，所以得一次項為它的系數(shù)為。解法： 故展開式中含的項為，故展開式中的系數(shù)為240.練：求式子的常數(shù)項？解：，設(shè)第項為常數(shù)項，則，得, .題型八：兩個二項式相乘；例：解： .練：解：.練：解：題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和；例：解：題型十：賦值法；例：設(shè)二項式的展開式的各項系數(shù)的和為，所有二項式系數(shù)的和為,若,則等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.練：若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為多少？解：令，則的展開式中各項系數(shù)之和為，所以，則展開式的常數(shù)項為.練：解： 練：解：題型十一：整除性；例：證明：能被64整除證：由于各項均能被64整除練習(xí)：1、(x1)11展開

6、式中x的偶次項系數(shù)之和是 1、設(shè)f(x)=(x-1)11, 偶次項系數(shù)之和是2、 2、4n3、的展開式中的有理項是展開式的第 項3、3,9,15,21 4、(2x-1)5展開式中各項系數(shù)絕對值之和是 4、(2x-1)5展開式中各項系數(shù)系數(shù)絕對值之和實為(2x+1)5展開式系數(shù)之和，故令x=1，則所求和為355、求(1+x+x2)(1-x)10展開式中x4的系數(shù)5、,要得到含x4的項，必須第一個因式中的1與(1-x)9展開式中的項作積，第一個因式中的x3與(1-x)9展開式中的項作積，故x4的系數(shù)是6、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)6、=，原式中x3實為這分子中的x4，則所求系數(shù)為7、若展開式中，x的系數(shù)為21，問m、n為何值時，x2的系數(shù)最??？7、由條件得m+n=21，x2的項為，則因nN，故當(dāng)n=10或11時上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11時，x2的系數(shù)最小8、自然數(shù)n為偶數(shù)時，求證： 8、原式=9、求被9除的余數(shù)9、 ,kZ,9k-1Z，被9除余810、在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)10、在(x+1)5展開式中，常數(shù)項為1，含x的項為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項為25=32，含