高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第2課時函數(shù)的單調(diào)性與最值教案

1、函數(shù)的單調(diào)性與最值1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩數(shù)x1，x2A當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是增加的當(dāng)x1f(x2)，那么，就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是減少的圖像描述自左向右看圖像是上升的自左向右看圖像是下降的 (2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的，那么就稱A為單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的最值前提函數(shù)yf(x)的定義域為D條件(1)存在x0D，使得f(x0)M；(2)對于任意xD，都有f(x)M.(3)存在x0D，使得f(x0)M；(4)對于任意xD，都有

2、f(x)M.結(jié)論M為最大值M為最小值【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在增函數(shù)與減函數(shù)的定義中，可以把“任意兩數(shù)”改為“存在兩數(shù)”.()(2)對于函數(shù)f(x)，xD，若x1，x2D且(x1x2)f(x1)f(x2)0，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù).()(3)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1，).()(4)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，).()(5)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.()(6)對于函數(shù)yf(x)，若f(1)f(3)，則f(x)為增函數(shù).()1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞減的是()A.yx B.yx2xC.yln xx D

3、.yexx答案A解析對于A，y1在(0，)內(nèi)是減函數(shù)，y2x在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，則yx在(0，)內(nèi)是減函數(shù)；B，C，D選項中的函數(shù)在(0，)上均不單調(diào).故選A.2.若函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)遞增區(qū)間是3，)，則a的值為()A.2 B.2 C.6 D.6答案C解析由圖像易知函數(shù)f(x)|2xa|的單調(diào)增區(qū)間是，)，令3，a6.3.若函數(shù)yax與y在(0，)上都是減函數(shù)，則yax2bx在(0，)上是()A.增函數(shù) B.減函數(shù)C.先增后減 D.先減后增答案B解析由yax在(0，)上是減函數(shù)，知a0；由y在(0，)上是減函數(shù)，知b0.yax2bx的對稱軸x0，又yax2bx的開口向下，yax2b

4、x在(0，)上是減函數(shù).故選B.4.(教材改編)已知函數(shù)f(x)，x2,6，則f(x)的最大值為_，最小值為_.答案2解析可判斷函數(shù)f(x)在2,6上為減函數(shù)，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).5.(教材改編)已知函數(shù)f(x)x22ax3在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，則實數(shù)a的取值范圍為_.答案(，12，)解析函數(shù)f(x)x22ax3的圖像開口向上，對稱軸為直線xa，畫出草圖如圖所示.由圖像可知函數(shù)在(，a和a，)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上具有單調(diào)性，只需a1或a2，從而a(，12，).題型一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)命題點1給出具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性例

5、1(1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是()A.yln(x2) B.yC.y()x D.yx(2)函數(shù)f(x)log(x24)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(0，) B.(，0)C.(2，) D.(，2)(3)yx22|x|3的單調(diào)增區(qū)間為_.答案(1)A(2)D(3)(，1，0,1解析(1)因為yln(x2)的增區(qū)間為(2，)，所以在區(qū)間(0，)上為增函數(shù).(2)因為ylogt在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx24的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(，2).(3)由題意知，當(dāng)x0時，yx22x3(x1)24；當(dāng)x0時，yx22x3(x1)24，二次函

6、數(shù)的圖像如圖.由圖像可知，函數(shù)yx22|x|3在(，1，0,1上是增函數(shù). 命題點2解析式含參函數(shù)的單調(diào)性例2試討論函數(shù)f(x)(a0)在(1,1)上的單調(diào)性.解設(shè)1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上遞減；當(dāng)a0時，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0時，f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a0)，則f(x)在(1,1)上的單調(diào)性如何？解設(shè)1x1x21，則f(x1)f(x2).1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函數(shù)在(

7、1,1)上為減函數(shù).思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法；(2)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖像法，圖像不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“”連接.已知a0，函數(shù)f(x)x(x0)，證明：函數(shù)f(x)在(0， 上是減函數(shù)，在，)上是增函數(shù).證明方法一任意取x1x20，則f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).當(dāng)x1x20時，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0， 上為減函數(shù)；當(dāng)x1x2時，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此時，函數(shù)f(x)x(a0)

8、在，)上為增函數(shù)；綜上可知，函數(shù)f(x)x(a0)在(0， 上為減函數(shù)，在，)上為增函數(shù).方法二f(x)1，令f(x)0，則10，解得x或x(舍).令f(x)0，則10，解得x0，0x0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)a時，f(x)x2在1，)上為增函數(shù)，f(x)minf(1).(2)f(x)x2，x1，).當(dāng)a0時，f(x)在1，)內(nèi)為增函數(shù).最小值為f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，所以3a0.當(dāng)00，a3，所以00，x0)，若f(x)在上的值域為，2，則a_.答案(1)2(2)解析(1)當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以f(x)在x1處取得最大

9、值，為f(1)1；當(dāng)x0，x0)在上單調(diào)遞增，所以即解得a.題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點1比較大小例4已知函數(shù)f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，則()A.f(x1)0，f(x2)0 B.f(x1)0C.f(x1)0，f(x2)0，f(x2)0答案B解析函數(shù)f(x)log2x在(1，)上為增函數(shù)，且f(2)0，當(dāng)x1(1,2)時，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.命題點2解不等式例5已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足ff(1)的實數(shù)x的取值范圍是()A.(1,1) B.(0,1)C.(1,0)(0,1) D.(，1)(1，)答案C解析由f(x)為R上的減函數(shù)且ff(1)

10、，得即1x0或0x B.aC.a0成立，那么a的取值范圍是_.答案(1)D(2)，2)解析(1)當(dāng)a0時，f(x)2x3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(，4)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x，因為f(x)在(，4)上單調(diào)遞增，所以a0，且4，解得a0.綜合上述得a0.(2)由已知條件得f(x)為增函數(shù)，解得a2，a的取值范圍是，2).思維升華函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的

11、不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù).視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；需注意若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.(1)f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，當(dāng)f(x)f(x8)2時，x的取值范圍是()A.(8，) B.(8,9C.8,9 D.(0,8)(2)若f(x)x22ax與g(x)在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A.(1,0)(0,1) B.(1,0)

12、(0,1C.(0,1) D.(0,1答案(1)B(2)D解析(1)211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因為f(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，所以有解得80，故00時，恒有f(x)1.(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思維點撥(1)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義.應(yīng)該構(gòu)造出f(x2)f(x1)并與0比較大小.(2)將函數(shù)不等式中的抽象函數(shù)符號“f”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”是本題的切入點.要構(gòu)造出f(M)f(N)的形式.規(guī)范解答(1)證明設(shè)x1，x2R，且x10，當(dāng)x0時，f(x)1，f(x2x1)1

13、.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上為增函數(shù).6分(2)解m，nR，不妨設(shè)mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，10分f(x)在R上為增函數(shù)，a2a513a2，即a(3,2).12分解函數(shù)不等式問題的一般步驟：第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)0時，f(x)1，構(gòu)造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，

14、便找不到問題的突破口.第二個關(guān)鍵應(yīng)該是將不等式化為f(M)0且a10，a1.3.已知函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于x1對稱，且在(1，)上單調(diào)遞增，設(shè)af，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.cba B.bacC.bca D.abc答案B解析函數(shù)圖像關(guān)于x1對稱，aff，又yf(x)在(1，)上單調(diào)遞增，f(2)ff(3)，即bac.4.若函數(shù)f(x)x22xm在 3，)上的最小值為1，則實數(shù)m的值為()A.3 B.2 C.1 D.1答案B解析 f(x)(x1)2m1在3，)上為單調(diào)增函數(shù)，且f(x)在3，)上的最小值為1，f(3)1，即22m11，m2.5.已知函數(shù)f(x)2a

15、x24(a3)x5在區(qū)間(，3)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A.(0，) B.(0，C.0，) D.0，答案D解析當(dāng)a0時，f(x)12x5，在(，3)上是減函數(shù)，當(dāng)a0時，由得0a，綜上a的取值范圍是0a.6.函數(shù)f(x)的值域為_.答案(，2)解析當(dāng)x1時，f(x)logx是單調(diào)遞減的，此時，函數(shù)的值域為(，0；當(dāng)x1，所以a的取值范圍為10且f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.(1)證明任設(shè)x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)上單調(diào)遞增.(2)解任設(shè)1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)上恒成立，a

16、1.綜上所述，a的取值范圍是(0,1.10.設(shè)函數(shù)yf(x)是定義在(0，)上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：對任意正數(shù)x，y，都有f(xy)f(x)f(y)；當(dāng)x1時，f(x)0；f(3)1.(1)求f(1)，f()的值；(2)如果不等式f(x)f(2x)2成立，求x的取值范圍.解(1)令xy1易得f(1)0.而f(9)f(3)f(3)112，且f(9)ff(1)0，故f2.(2)設(shè)0x11，f0，由f(xy)f(x)f(y)得f(x2)ff(x1)ff(x1)，所以f(x)是減函數(shù).由條件及(1)的結(jié)果得：fx(2x)f，其中0x1，且x2ax0恒成立，所以1a，故選B.12.函數(shù)f(x)中

17、，滿足“對任意x1，x2(0，)，當(dāng)x1f(x2)”的是()A.f(x) B.f(x)(x1)2C.f(x)ex D.f(x)ln(x1)答案A解析由題意知f(x)在(0，)上是減函數(shù).A中，f(x)滿足要求；B中，f(x)(x1)2在0,1上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)；C中，f(x)ex是增函數(shù)；D中，f(x)ln(x1)是增函數(shù).13.已知函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，若f(a2a)f(a3)，則實數(shù)a的取值范圍為_.答案(3，1)(3，)解析由已知可得解得3a3.所以實數(shù)a的取值范圍為(3，1)(3，).14.已知函數(shù)f(x)lg(x2)，其中a是大于0的常數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)當(dāng)a(1,4)時，求函數(shù)f(x)在2，)上的最小值；(3)若對任意x2，)恒有f(