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文檔簡介

1、陀螺進(jìn)動理論及其局限性什么是陀螺?廣義上說,只要能繞某軸轉(zhuǎn)動,而此軸又可繞另一匯交軸轉(zhuǎn)動的剛體就可叫作陀螺。但工程上常將具有固定點(diǎn)的,高速自轉(zhuǎn)的對稱剛體稱為陀螺。就像我們平時(shí)玩的玩具陀螺,由于高速自轉(zhuǎn),就有可能對對稱剛體的定點(diǎn)運(yùn)動作近似研究。設(shè)對稱剛體在對稱軸z(陀螺主軸)上具有固定點(diǎn)O,剛體有3個(gè)自由度;陀螺繞主軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。如果陀螺的自轉(zhuǎn)角度大大的大于主軸在空間的轉(zhuǎn)動角速度,就可用陀螺的自轉(zhuǎn)動量矩近似代替陀螺對點(diǎn)O的全部動量矩。這里是陀螺的自轉(zhuǎn)角速度,由陀螺馬達(dá)維持為常量(轉(zhuǎn)速通常為6000rpm到10000rpm),因此,陀螺自轉(zhuǎn)動量矩H的大小為常量,方向與主軸一致這時(shí)對點(diǎn)O的動量矩

2、可近似寫成:H對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的物理意義是H端點(diǎn)的速度,因而有 即陀螺自轉(zhuǎn)動量矩H端點(diǎn)的速度等于陀螺所受的外力矩。由該式可推出陀螺的三個(gè)力學(xué)特性:1 定軸性 如果陀螺不受任何外力矩,則其主軸在慣性空間保持方向不變2 進(jìn)動性 如果陀螺受到外力矩的作用,則主軸的運(yùn)動并不是在外力矩的作用平面內(nèi)發(fā)生,而是在垂直于該平面發(fā)生。這種特殊運(yùn)動稱為陀螺的進(jìn)動性,如圖1所示,力F作用于陀螺主軸,對點(diǎn)O產(chǎn)生力矩為Mo,H端點(diǎn)有速度,于是主軸繞y軸轉(zhuǎn)動,即垂直于力F與支點(diǎn)O形成的鉛垂平面運(yùn)動。進(jìn)動角速度圖13 陀螺效應(yīng) 如果強(qiáng)制陀螺以角速度W進(jìn)動,則陀螺必給施力者一個(gè)反力偶,其力矩為Mr , 有: MrMo MrH這個(gè)

3、力矩與一般剛體的反作用力矩也不相同,稱為陀螺力矩;與陀螺力矩有關(guān)的現(xiàn)象稱為陀螺效應(yīng)這些結(jié)論統(tǒng)稱為陀螺的進(jìn)動理論,它是高速自轉(zhuǎn)下的近似理論,只適用于三自由度陀螺。陀螺進(jìn)動理論是有其局限性的,是近似的,其本質(zhì)是忽略了陀螺的慣性,一般的靜止物體受力時(shí),物體有加速度,但不能立刻獲得速度,必須經(jīng)過一段時(shí)間后才能獲得速度,這說明物體有慣性。而陀螺進(jìn)動理論指出,只要有力矩M作用,陀螺主軸立即以角速度進(jìn)動,這顯然忽略了陀螺的慣性。這就導(dǎo)致了進(jìn)動理論對某些必須考慮陀螺慣性的問題失效,例如:涉及穩(wěn)定性的問題。圖2如圖2所示,以直立陀螺為例,其重心位于支點(diǎn)的上方,A為對n軸的轉(zhuǎn)動慣量。依照進(jìn)動理論,在重力矩作用下,

4、H端點(diǎn)的速度恒垂直于陀螺主軸z與鉛垂軸n構(gòu)成的平面,因此,不管自轉(zhuǎn)角速度如何,陀螺主軸均作圓錐運(yùn)動而不倒,這顯然與實(shí)際不符。實(shí)際上陀螺主軸在作進(jìn)動的同時(shí)還疊加有高頻微幅的圓錐狀抖動,稱為陀螺的章動。如果這個(gè)章動是隨時(shí)間發(fā)散的,則陀螺在鉛直位置的直立狀態(tài)就不可能穩(wěn)定。若要考慮陀螺的章動,就必須考慮其慣性,也就必須轉(zhuǎn)向精確的動力學(xué)方程。當(dāng)直立陀螺的主軸在鉛直線附近作圓錐運(yùn)動時(shí),有當(dāng)時(shí),有 (1)引入變量 它的意義是陀螺角速度在主軸上的投影,且有。由于重力矩Mo恒垂直于主軸,即動量矩矢量Lo端點(diǎn)的速度恒垂直于主軸,因此Lz是常量,即 代入式(1)得這是一個(gè)相對變量的二次代數(shù)方程式,要想有實(shí)數(shù)解,即要想使陀螺在直立位置附近的規(guī)則進(jìn)動能夠?qū)崿F(xiàn),判別式應(yīng)大于零 :把在鉛垂位置直立的陀螺看成的極限狀態(tài),則得到直立陀螺的穩(wěn)定條件是所以,要想使陀螺在鉛直位置穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn),

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