陜西省高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 例析反證法的應(yīng)用素材 北師大版選修22

1、 例析反證法的應(yīng)用公理，定理、我們知道，反證法是先否定結(jié)論成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、從而肯定原結(jié)論是正公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，逐步導(dǎo)出與定義、定理，反證法是間接證明的一種基本方法，是解決某些“疑難”問題的有力工具，也是數(shù)學(xué).確的唯一性命題和至否定性命題、上非構(gòu)造性證明中極為重要的方法，它對于處理存在性命題、 少、至多性命題具有特殊的優(yōu)越性?，F(xiàn)以例說明。 否定型命題一 、應(yīng)用反證法?！胺穸ㄐ浴钡拿}時(shí)，也就是說原題的結(jié)論出現(xiàn)“不可能”當(dāng)結(jié)論為“不能表示為”、“不是”、“不存在”、“不等于”、“不具有某種性 質(zhì)”等否定形式出現(xiàn)時(shí)，可考慮使用反證法進(jìn)行證明。2 ：試證1不

2、是有理數(shù)。例 分析：要求證的結(jié)論是以否定的形式出現(xiàn)的，因此可應(yīng)用反正法來進(jìn)行證明。 24?2?1?12 ，是有理數(shù)，注意到證明：假設(shè)ppqq?1?2），為互質(zhì)的正整數(shù)，且 （可設(shè)、 q222q?p兩邊平方，得， 2p表明，是2的倍數(shù)， ppp?2k?1p?N），則因?yàn)槭钦麛?shù)，故當(dāng)（是奇數(shù)時(shí)，令2222?2k)?1?4?k4?k?12(2k1)(2p?k?， 22pp即是奇數(shù)，與是2的倍數(shù)矛盾。 / 6 1 2*2l?2p?Nqpl2p?，式表明，（），代入式，整理后得當(dāng)是偶數(shù)，又可設(shè)2qppqq為互2，與所作假定與、都是2的倍數(shù)，它們至少有公因數(shù)是2的倍數(shù)。這樣 質(zhì)的正整數(shù)相矛盾。2不是有理

3、數(shù)。 因此點(diǎn)評：在應(yīng)用反證法證題時(shí)，必須按“反設(shè)歸謬結(jié)論”的步驟進(jìn)行，反正法的難點(diǎn)在于如何從假設(shè)中推出矛盾，從而說明假設(shè)不成立。本題從假設(shè)中推出的結(jié)論是與自身相矛盾 二 存在性命題 當(dāng)命題的結(jié)論是以存在性的形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法。也就是說，解決存在性探索命題的總體策略是先假設(shè)結(jié)論存在，并以此進(jìn)行推理，若推出矛盾，即可否定假設(shè)；若推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定假設(shè)正確。 221y?C:2x?1y?kx，求實(shí)，B的右支交于不同的兩點(diǎn)A與雙曲線例2、直線CkkFAB？若為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線數(shù)使得以線段的范圍；是否存在實(shí)數(shù)的右焦點(diǎn) 存在求出的值；若不存在，說明理由。）提示求參數(shù)范圍的常規(guī)題，第問是一

4、道探討結(jié)論是否存在的開放性命分析：第（1 題，為此先假設(shè)結(jié)論存在并在此假設(shè)的條件下進(jìn)行一系列的推導(dǎo)，或推出矛盾或驗(yàn)證成立。 2?2?k? 解：略可求得。y?kx?1?220?2?)x?2kx?(k2 ，y 由消去得?221yx?2?(x,y),(x,y)x,x時(shí)方程的兩解、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 A設(shè)2112212k2,x?x?xx? 112222?k2?k2， 所以F(c,0)CkAB，的右焦點(diǎn) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線 / 6 2 (x?c)(x?c)?yy?0FB?FA，則 ，得2211(x?c)(x?c)?(kx?1)(kx?1)?0 即211222?1?0x)?cx?(

5、k?c)(xk?x，整理得 2211 2?cxx,xx? 25k?26k?6?02，及 帶入上式，得將 2211 6?66?6? 2?k?2,k?55 或（舍去）解得 6?6?k?C5AB的右焦點(diǎn)。使得以線段 從而存在實(shí)數(shù)為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線點(diǎn)評：在本題在假設(shè)的條件下推導(dǎo)出的結(jié)果并沒有出現(xiàn)矛盾，而是驗(yàn)證了存在符合題設(shè)條件的實(shí)數(shù)，從判斷結(jié)論存在，對于探究具有某種性質(zhì)的存在性問題，一般先由特例探求結(jié)果的存在性，然后進(jìn)行論證。 三 “至少”、“至多” 型命題 當(dāng)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時(shí)，可考慮應(yīng)用反證法來解決。 ?222?2?zxb?y?2z?a?x?2yc cba,623 均為

6、實(shí)數(shù)，且3例、設(shè)，a,b,c中至少有一個(gè)大于0。求證： 分析：如果直接從條件出發(fā)推證，方向不明，思路不清，不移入手，較難，說證結(jié)論是以“至少”形式出現(xiàn)，因而可用反證法證明。 a,b,ca?0,b?0,c?0?a?b?c?0 0中都不大于，即證明：設(shè)?222)xz)?(?2?)?ab?c(x?2y?(y?2z 623而 222?z2)z?yy?xx?(?2)(?2)(? / 63 222?z?1)1)3?(y?1)(?(x? ?a?b?c?0a?b?c?0矛盾，這與 a,b,c中至少有一個(gè)大于0 故點(diǎn)評：當(dāng)遇到命題的結(jié)論是以“至多”“至少”等形式給出時(shí)，一般是多用反證法；應(yīng)注意 “至少有一個(gè)”

7、“都是”的否定形式分別是“一個(gè)也沒有” “不都是”，本題是一個(gè)自相矛盾的題目類型。 四 “唯一”性命題， 若命題的結(jié)論是以“唯一”、“ 有且只有一個(gè)”等形式出現(xiàn)時(shí)，可用反證法進(jìn)行證明。 例4、求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。 分析：此題是含有“ 有且只有一個(gè)”的命題，可考慮用反證法進(jìn)行證明。 證明：假設(shè)結(jié)論不成立，則有兩種情況：或者沒有交點(diǎn)，或者不只一個(gè)交點(diǎn)。 a,bab，這與已知矛盾；沒有交點(diǎn)，那么如果直線 P,PP,Pa,b如果直線不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少交于點(diǎn)，這樣經(jīng)過兩點(diǎn)就有兩條直線a,b，這與兩點(diǎn)確定以直線矛盾。 由（1）和（2）可知，假設(shè)錯(cuò)誤， 所以，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)

8、。 點(diǎn)評：此題是證明一個(gè)命題的充要條件，用反證法證明了它的否定，從而獲得結(jié)論正確，也可正面證明，需證明存在性和唯一性。在證明唯一性命題時(shí)，應(yīng)找出除這一個(gè)元素外的其它的所有元素，并逐一推導(dǎo)出矛盾，排除掉。 五 肯定型命題 / 6 4 有些命題結(jié)論是以“都有”“所有” “都是”等形式出現(xiàn)時(shí)，我們在進(jìn)行證明時(shí)，也往往采用反證法。 f(x)f(x)?0f(x?y)?f(x)?f(x)成立。 例5、設(shè)函數(shù)對定義域上任意實(shí)數(shù)都有，且f(x)?0x。 求證：對定義域內(nèi)的任意都有分析：這是一個(gè)肯定型命題，可考慮用反正發(fā)來進(jìn)行證明。 xf(x)?0f(x)?0x部成立，即存在某個(gè)證明：假設(shè)滿足體設(shè)條件的任意有都

9、有， 00?f(x)?0?f(x)?0Qf(x)?0， ， 00xxxxx200000)?()?f?)?f(xQf()?f(0)?ff(x)?0 022222，這與假設(shè)又因?yàn)槊? 盾。f(x)?0x。都有假設(shè)不成立，故對定義域內(nèi)的任意 點(diǎn)評：在反設(shè)命題的結(jié)論時(shí)要注意正確寫出結(jié)論的否定形式是非常重要的。在本體中對xf(x)?0f(x)?0x”的否定是“存在某個(gè)“任意有都有” 00六 證明不等式 對于證明不等式，有時(shí)直接進(jìn)行證明因較抽象、不明朗，一時(shí)還難以找出解題思路，其反面常卻出現(xiàn)的條件較多、較具體，又較容易尋找解題思路，因此也?？紤]用反證法進(jìn)行證明。 ?,?a,b?Rf(x)0a?b?是，試判

10、斷命題“若上的增函數(shù)，例6、已知函數(shù)f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)”的逆命題是否正確，并證明你的結(jié)論。則 分析：先寫出逆命題，然后證明不等式，而直接證明的條件較少，因此應(yīng)用反證法。 f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)a?b?0。”用反證法進(jìn)行，則證明：逆命題為：“若證明： / 6 5 a?b,b?a0?ba 假設(shè)，則?,f(x)是因?yàn)楹瘮?shù)上的增函數(shù)， f(a)?f(?b),f(b)?f(?a)，所以有 f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)，兩式相加得 f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)矛盾， 這與已知a?b?0，逆命題成立。 故只有點(diǎn)評：反正法常用于直接證明較困難的不等式，也是不等式證明的一種常用方法。 以上我們介紹了反證法的經(jīng)常應(yīng)用的幾種類型，由此可以看出它有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，正難則反是反證法的特點(diǎn)，因?yàn)槿绻梢粋€(gè)命題直接得到的結(jié)論很少、較抽象、較困難