陜西省西安市第三十一中學(xué)高中數(shù)學(xué) 26向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用同步教學(xué)例題講解 北師大版必修4

1、向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 由于向量具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個交匯點，從 而使它成為解決數(shù)學(xué)問題的重要工具因此，在教學(xué)中除了讓學(xué)生掌握“平面向量”本身的內(nèi)容外，還要重視培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用向量解決其它問題的意識和能力本文舉例說明向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 1 在平面幾何中的應(yīng)用 例1 求證：平面四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和 以上兩式平方后相加并整理得 222222 CD=ABDABCACDB 例2 求證：三角形的三條高交于一點 證 如圖，在ABC中，設(shè)高AD、BE相交于O，于是只要證COAB就可以了 AOBC， b=0cb)=0，即aa( ac =0bacb 同理 兩式

2、相加得 cba，即cbca =0()=0- 1 - c0，ab0， ab與c垂直， 即COAB 2 在平面解析幾何中的應(yīng)用 l的方程的直線 ，求過點A且垂直于AB，A(a，a)B(b，b) 例3已知2121l上任一點，則是 C(x，y) 解 設(shè) (ba)(xa)(ba)(ya)=0 221112 l的方程 這就是直線 2OAOB，OMAB，求0)上原點以外的兩動點，已知y=4px(p為拋物線 例4 設(shè)點A和B 的軌跡方向，并說明它表示什么曲線M點 2 16pyy y0，y=BABA ，yy BA- 2 - yy=4py/x BA 將、代入并化簡即得 22 y4px=0 x因為A、B是原點外的兩

3、點，所以x0，故點M的軌跡是以(2p，0)為圓心，2p為半徑的 圓(不含點O(0，0) 3 在立體幾何中的應(yīng)用 例5 如圖，已知平行六面體ABCDABCD的底面是菱形，且1111 CCB=CCD=BCD=60()證明CCBD；()略；()當(dāng)CD/CC的值為多少時，能使1111 AC平面CBD？請給出證明 11 CCB=CCD=BCD=60， 11 ee=ee=ee=cos60=1/2 123132 ，)=0ee =mn(ee1323- 3 - =memene， 312 顯然AC平面CBD的充要條件是CABD且CADC 11111 =(memene)(meme) 11232 ， =0 =(mem

4、ene)(neme) 23213 m)(n3m/2) =(n BD時，AC平面CCD/CCn當(dāng)且僅當(dāng)m=n(m0，0)，即=1111 四面體的對棱兩兩垂直離都相等，證明這個6 例 若四面體對應(yīng)棱的中點間的距 - 4 - r)=0 r(r 231 0，r r0，r 231 即SABC(rr) r231 同理可證SBAC，SCAB 4 在三角中的應(yīng)用 證明兩角差的余弦公式cos()=coscossinsin例7 證 在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，并以O(shè)x為始邊作角，角，終邊交圓O于P、1 P，則 2 2k() cos=cos() =(cos，sin)(cos，sin) sinsin =coscos cos()=coscossinsin 5 在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用 3 |z|=1，滿足|zi)，()求arg及|z；()當(dāng)復(fù)數(shù)z=i(1z 例 8已知復(fù)數(shù)111 的最大值|求 |zz1- 5 - ()|z|=1， 1 例9 設(shè)復(fù)數(shù)z，z，z對應(yīng)的點為A，B，C，已知zzz=0，|z|=|z|=|z|=1，求證331232112ABC是正三角形 2cosBOC，1=11 1/2，BOC=120 cosBOC= 同理AOC=AOB=120， OA=OB