高中數(shù)列求和公式

1、和 的 基 本 方 法 和 技 巧利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法n(ai an)1、等差數(shù)列求和公式:Snn(n 1)d22、等比數(shù)列求和公式:Snna1 a1 (1(q 1)aianq1 q (q 1)3、n1Sn kn(nk 121)自然數(shù)列4、nSn k1 2k 1-n(n61)(2n 1)自然數(shù)平方組成的數(shù)列例1已知log3xlog 2 31，求 x xx3的前n項(xiàng)和.解：由log 3 xlog 3 xlog 2 3log 3 2由等比數(shù)列求和公式得Snx2 x3xn (利用常用公式)例 2設(shè)1+2+3+n.n N,求f(n)Sn(n 32)Sn 1的最大值.解

2、：由等差數(shù)列求和公式得Sn1 n(n 1), Sn (n 1)(n 2)(利用常用公式)2 2Snf(n) (n 32)Sn 1 _ n2 34n 641 _ 1n 34 64 _ (亦窗 50 nVn150當(dāng)妬孚，即n= 8時(shí)，f(n)V81max50、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.錯(cuò)位相減法：如果數(shù) 列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相 減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）.例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3（2n

3、1）xn 1解：由題可知， （2n n1)x1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn 1的通項(xiàng)之積設(shè) xSn 1x 3x25x37x4(2n1)xn -.（設(shè)制錯(cuò)位）一得（1 X）Sn2x 2x22x3 2x42xn 1（2n 1）xn （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1X)Sn1 nC 1 x2x 1 x(2n 1)xn.Q (2n 1)xn 1 (2n 1)xn(1 x)Sn72(1 x)例4求數(shù)列etf,繹，前n項(xiàng)的和.2 22 232ni 2n尹4尹12*3,解：由題可知,的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列丄的通項(xiàng)之積2nISn2一得(1 -1)S662n歹2n2n2

4、（設(shè)制錯(cuò)位）爲(wèi)洛（錯(cuò)位相減）2 n二 Sn 4 齊練習(xí)：*提示：不要覺得重復(fù)和無(wú)聊，乘公比錯(cuò)位相減的關(guān)鍵就是熟練! 通項(xiàng)為an bn,an是自然數(shù)列，bn是首項(xiàng)為1, q為2的等比數(shù)列 an是正偶數(shù)數(shù)列， an是正奇數(shù)數(shù)列， an是正偶數(shù)數(shù)列， an是正奇數(shù)數(shù)列， an是自然數(shù)列，bn是首項(xiàng)為3, q為3的等比數(shù)列二、分組法求和1、2、3、4、5、6、bn是首項(xiàng)為 bn是首項(xiàng)為 bn是首項(xiàng)為 bn是首項(xiàng)為1,1,3,3,q為2的等比數(shù)列 q為2的等比數(shù)列 q為3的等比數(shù)列 q為3的等比數(shù)列有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分

5、別求和，再將其合并即可.1 1 1例5求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1 1, 4，P 7, ，F(xiàn) 3n 2，a aa1 1解：設(shè) Sn (1 1) ( 4) ( 7)aa將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得點(diǎn))(1a1 1Sn(1- ra a當(dāng)a= 1時(shí)，Sn(3n1)n _ (3n 1)n3n 2)(分組)（分組求和）1n a_11 a例6求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè) ak k(k 1)(2k1) 2k3 3k2當(dāng)a 1時(shí)，Sn(3n 1)n _ aa(3n 1)n2nn32 Sn k(k 1)(2k1) =(2k 3kk 1k 1k)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得k2（分組）=2(13 233、

6、n )22n2)(1 2n)n2(n 1)22n(n 1)(2n1)n(n 1)2（分組求和）n(n 1)2(n2)四、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1) an 1 -=升級(jí)分母是 n(n+2)呢？-重點(diǎn)掌握這個(gè)型n(n 1) n n 1裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那 么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：nn1+k211) n1k211如亠).k(n n k)；1 1k 1 (k 1)knJ :一11n(n k)11 、)，: k 1 k 12 n(n 1)2Tn TnTn1(n(n 1)( n 2) 2J1 Tn):(n 1)( n 2) (n 1)!法町牯2(需E)vn Vn Vn 11 1 1 (k 1)k k 1 k1 1n! (n 1)!例7求數(shù)列L，L L，1 J2 a/2 J3的前n項(xiàng)和.解：設(shè)an（裂項(xiàng)）則Sn1TT=(J2 d) (J3V2)例8在數(shù)列an中,an解:二 bl73,(裂項(xiàng)求和)J nn 1，又bnan-一，求數(shù)列