西安交大復(fù)變函數(shù)課件3 6高階導(dǎo)數(shù)

1、第六節(jié),高階導(dǎo)數(shù),一、問(wèn)題的提出,二、主要定理,三、典型例題,四、小結(jié)與思考,2,一、問(wèn)題的提出,問(wèn)題,:,(1),解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù),?,(2),若有高階導(dǎo)數(shù),其定義和求法是否與實(shí)變函,數(shù)相同,?,回答,:,(1),解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù),.,(2),高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通,過(guò)積分來(lái)表示,這與實(shí)變函數(shù)完全不同,.,解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么,?,3,二、主要定理,定理,.,),(,),2,1,(,d,),(,),(,2,!,),(,:,),(,0,1,0,0,),(,D,z,D,z,f,C,n,z,z,z,z,f,i,n,z,f,n,z,f,C,n,n,而且它的內(nèi)部全含于,

2、線,任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲,的,內(nèi)圍繞,的解析區(qū)域,為在函數(shù),其中,導(dǎo)數(shù)為,階,它的,的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),解析函數(shù),?,?,?,?,?,?,證,0,內(nèi)任一點(diǎn),為,設(shè),D,z,1,的情況,先證,?,n,4,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,z,z,f,z,z,f,z,f,z,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,lim,),(,0,0,0,0,從柯西積分公式得,d,),(,2,1,),(,0,0,?,?,?,?,C,z,z,z,z,f,i,z,f,d,),(,2,1,),(,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,C,z,z,z,z,z,f,i,z,z,f,z,z,f,z,z,f,?,?,?,?,),(,

3、),(,0,0,d,),(,d,),(,2,1,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,C,C,z,z,z,z,f,z,z,z,z,z,f,zi,5,?,?,?,?,?,?,?,C,z,z,z,z,z,z,z,f,i,d,),)(,(,),(,2,1,0,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,C,C,z,z,z,z,z,z,z,zf,i,z,z,z,z,f,i,d,),(,),(,),(,2,1,d,),(,),(,2,1,0,2,0,2,0,I,?,?,?,?,?,?,?,?,?,C,z,z,z,z,z,z,z,zf,I,d,),(,),(,),

4、(,2,1,0,2,0,?,?,?,?,?,?,?,?,C,s,z,z,z,z,z,z,f,z,d,),(,2,1,0,2,0,),(,上解析,在,因?yàn)?C,z,f,上連續(xù),所以在,C,6,),(,上有界,在,故,C,z,f,),(,0,M,z,f,M,?,?,?,使得,于是,D,?,0,z,C,0,上各點(diǎn)的最短距離,到曲線,為從,設(shè),C,z,d,d,適當(dāng)?shù)匦?并取,z,?,2,1,d,z,?,?,滿足,0,d,z,z,?,?,則,1,1,0,d,z,z,?,?,0,0,z,z,z,z,z,z,?,?,?,?,?,?,?,2,d,?,2,1,0,d,z,z,z,?,?,?,?,3,d,ML,z

5、,I,?,?,?,7,3,d,ML,z,I,?,?,?,.,的長(zhǎng)度,為,這里,C,L,0,?,?,z,如果,0,?,I,那末,z,z,f,z,z,f,z,f,z,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,lim,),(,0,0,0,0,d,),(,),(,2,1,2,0,?,?,?,?,C,z,z,z,z,f,i,再利用以上方法求極限,z,z,f,z,z,f,z,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,),(,lim,0,0,0,.,d,),(,),(,2,!,2,),(,3,0,0,?,?,?,?,?,?,C,z,z,z,z,f,i,z,f,可得,8,至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍

6、然是解,析函數(shù),.,依次類推,利用數(shù)學(xué)歸納法可證,.,d,),(,),(,2,!,),(,1,0,0,),(,?,?,?,?,?,C,n,n,z,z,z,z,f,i,n,z,f,證畢,高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,:,不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo),來(lái)求積分,.,9,三、典型例題,例,1,解,?,?,?,?,?,?,?,C,z,C,z,z,e,z,z,z,r,z,C,.,d,),1,(,),2,(,;,d,),1,(,cos,),1,(,.,1,:,2,2,5,為正向圓周,其中,計(jì)算下列積分,1,),1,(,cos,),1,(,5,處不解析,內(nèi),在,函數(shù),?,?,?,z,C,z,z,cos,內(nèi)處處

7、解析,在,但,C,z,?,?,?,?,?,?,C,n,n,z,z,z,z,f,i,n,z,f,d,),(,),(,2,!,),(,1,0,0,),(,根據(jù)公式,10,?,?,?,C,z,z,z,d,),1,(,cos,5,1,),4,(,),(cos,)!,1,5,(,2,?,?,?,?,?,z,z,i,;,12,5,i,?,?,?,),1,(,),2,(,2,2,處不解析,內(nèi)的,在,函數(shù),i,z,C,z,e,z,?,?,?,1,C,2,C,x,y,o,?,?,i,C,i,?,1,C,i,C,為中心作一個(gè)正向圓周,內(nèi)以,在,2,C,i,為中心作一個(gè)正向圓周,以,?,),1,(,2,1,2,2,

8、圍成的區(qū)域內(nèi)解析,在由,則函數(shù),C,C,C,z,e,z,?,11,1,C,2,C,x,y,o,?,?,i,C,i,?,根據(jù)復(fù)合閉路定理,?,?,C,z,z,z,e,d,),1,(,2,2,?,?,?,?,?,?,2,1,d,),1,(,d,),1,(,2,2,2,2,C,z,C,z,z,z,e,z,z,e,?,?,1,d,),1,(,2,2,C,z,z,z,e,?,?,?,?,1,d,),(,),(,2,2,C,z,z,i,z,i,z,e,i,z,z,i,z,e,i,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,),(,)!,1,2,(,2,2,),1,(,?,?,?,i,e,i,12,

9、1,C,2,C,x,y,o,?,?,i,C,i,?,?,?,2,d,),1,(,2,2,C,z,z,z,e,同理可得,2,),1,(,?,?,?,?,?,i,e,i,?,?,C,z,z,z,e,d,),1,(,2,2,于是,?,?,?,2,),1,(,i,e,i,?,?,?,?,?,2,),1,(,i,e,i,),)(,1,(,2,i,i,ie,e,i,?,?,?,?,?,),1,sin,1,(cos,),1,(,2,2,?,?,?,?,i,.,4,1,sin,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,i,13,例,3,解,),(,.,d,1,為整數(shù),求積分,n,z,z,e,z,n,z,?,

10、?,0,),1,(,?,n,1,上解析,在,?,z,z,e,n,z,由柯西古薩基本定理得,?,?,?,1,;,0,d,z,n,z,z,z,e,1,),2,(,?,n,由柯西積分公式得,?,?,?,1,d,z,n,z,z,z,e,0,),(,2,?,?,?,z,z,e,i,;,2,i,?,?,14,1,),3,(,?,n,?,?,?,?,?,C,n,n,z,z,z,z,f,i,n,z,f,d,),(,),(,2,!,),(,1,0,0,),(,根據(jù)公式,?,?,1,d,z,n,z,z,z,e,0,),1,(,),(,)!,1,(,2,?,?,?,?,?,z,n,z,e,n,i,.,)!,1,(,

11、2,?,?,?,n,i,15,例,4,解,.,3,1,),2,(,;,2,3,),1,(,:,.,d,),2,(,1,3,2,?,?,?,?,?,?,z,z,C,z,z,z,C,其中,求積分,0,2,),2,(,1,3,2,?,?,?,z,z,z,z,和,有兩個(gè)奇點(diǎn),函數(shù),2,3,),1,(,?,?,z,2,?,z,僅包含奇點(diǎn),1,),(,3,z,z,f,?,取,?,?,C,z,z,z,d,),2,(,1,3,2,?,?,?,C,z,z,z,d,),2,(,1,2,3,2,3,1,!,1,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,z,i,;,8,3,i,?,?,?,16,3,1,),2,

12、(,?,?,z,0,2,內(nèi),都含在,和,兩個(gè)奇點(diǎn),C,z,z,?,?,2,0,2,1,和,分別包含,和,作簡(jiǎn)單閉曲線,C,C,2,1,互不包含且互不相交,和,C,C,根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,?,?,C,z,z,z,d,),2,(,1,3,2,?,?,?,?,?,?,2,1,d,),2,(,1,d,),2,(,1,3,2,3,2,C,C,z,z,z,z,z,z,17,?,?,?,?,?,?,2,1,d,),2,(,1,d,),2,(,1,2,3,3,2,C,C,z,z,z,z,z,z,2,3,0,2,1,!,1,2,),2,(,1,!,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

13、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,z,z,z,i,z,i,8,3,8,3,i,i,?,?,?,?,.,0,?,18,例,5,.,),(,0,d,),(,),(,內(nèi)解析,在,證明,都有,內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線,且對(duì)于,內(nèi)連續(xù),在單連通域,設(shè)函數(shù),B,z,f,z,z,f,C,B,B,z,f,C,?,?,(Morera,定理,),證,0,內(nèi)任意一點(diǎn),為,內(nèi)取定一點(diǎn),在,B,z,z,B,依題意可知,d,),(,0,0,的路線無(wú)關(guān),和,的值與連接,z,z,f,z,z,?,?,?,d,),(,),(,0,?,?,z,z,f,z,F,?,?,定義了一個(gè)單值函數(shù),19,參照本章第四節(jié)定理二,可證明,),(

14、,),(,z,f,z,F,?,?,),(,內(nèi)一個(gè)解析函數(shù),是,所以,B,z,F,因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),.,),(,為解析函數(shù),故,z,f,20,四、小結(jié)與思考,高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式,.,它表明,了,解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù),這一異常重,要的結(jié)論,同時(shí)表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本,質(zhì)區(qū)別,.,?,?,?,?,?,C,n,n,z,z,z,z,f,i,n,z,f,d,),(,),(,2,!,),(,1,0,0,),(,高階導(dǎo)數(shù)公式,21,例,6,證,),2,1,(,)!,1,(,1,1,)!,1,(,),0,(,1,1,),(,),(,1,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,n,n,e,n,n,f,z,z,f,z,f,z,n,n,證明,解析且,內(nèi),如果,1,0,d,),(,2,!,),0,(,1,),(,?,?,?,?,?,?,?,r,z,z,z,f,i,n,f,r,z,n,n,因?yàn)??,?,?,?,?,r,z,n,n,z,z,z,f,n,f,d,),(,2,!,),0,(,1,),(,所以,?,?,?,?,?