空間解析幾何與向量代數(shù)課件

1、數(shù)量關系 ,第七章,第一部分 向量代數(shù),第二部分 空間解析幾何,在三維空間中:,空間形式 點, 線, 面,基本方法 坐標法; 向量法,坐標,方程（組）,空間解析幾何與向量代數(shù),四、利用坐標作向量的線性運算,第一節(jié),一、向量的概念,二、向量的線性運算,三、空間直角坐標系,五、向量的模、方向角、投影,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,向量及其線性運算,第七章,表示法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又稱矢量).,既有大小, 又有方向的量稱為向量,向徑 (矢徑):,自由向量:,與起點無關的向量.,起點為原點的向量.,單位向量:,模為 1 的向量,零向量:,模為 0 的向量,有

2、向線段 M1 M2 ,或 a ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ;,記作,因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱,兩向量共線 .,若 k (3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此 k,個向量共面 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、向量的線性運算,1. 向量的加法,三角形法則:,平行四邊形法則:,運算規(guī)律 :,交換律,結合律,三角形法則可推廣到多個向量相加 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 向量的減法,三角不等式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 向量與數(shù)的乘法, 是一個數(shù) ,規(guī)定 :

3、,可見,總之:,運算律 :,結合律,分配律,因此,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定理1.,設 a 為非零向量 , 則,( 為唯一實數(shù)), 取 ,且,再證數(shù) 的唯一性 .,則,取正號, 反向時取負號,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,則,例1. 設 M 為,解:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、空間直角坐標系,由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則,組成一個空間直角坐標系.,坐標原點,坐標軸,x軸(橫軸),y軸(縱軸),z 軸(豎軸),過空間一定點 o ,坐標面,卦限(八個),zox面,1. 空間直角坐標系的基本概念,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,向徑,在直角坐標系下,坐標軸上的點

4、 P, Q , R ;,坐標面上的點 A , B , C,點 M,特殊點的坐標 :,有序數(shù)組,(稱為點 M 的坐標),原點 O(0,0,0) ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,坐標軸 :,坐標面 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 向量的坐標表示,在空間直角坐標系下,設點 M,則,沿三個坐標軸方向的分向量.,的坐標為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,四、利用坐標作向量的線性運算,設,則,平行向量對應坐標成比例:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2.,求解以向量為未知元的線性方程組,解:,2 3 , 得,代入得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3. 已知兩點,在A

5、B直線上求一點 M , 使,解: 設 M 的坐標為,如圖所示,及實數(shù),得,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,說明: 由,得定比分點公式:,點 M 為 AB 的中點 ,于是得,中點公式:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,五、向量的模、方向角、投影,1. 向量的模與兩點間的距離公式,則有,由勾股定理得,因,得兩點間的距離公式:,對兩點,與,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 求證以,證:,即,為等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,為頂點,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例5. 在 z 軸上求與兩點,等距,解: 設該點為,解得,故所求點為,及,思考:,(1) 如何求在 x

6、oy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程?,(2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?,離的點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,提示:,(1) 設動點為,利用,得,(2) 設動點為,利用,得,且,例6. 已知兩點,和,解:,求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 方向角與方向余弦,設有兩非零向量,任取空間一點 O ,稱 =AOB (0 ) 為向量,的夾角.,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .,與三坐標軸的夾角 , , ,為其方向角.,方向角的余弦稱為其方向余弦.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,方向余弦的性質:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7

7、. 已知兩點,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,計算向量,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例8. 設點 A 位于第一卦限,解: 已知,作業(yè) P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19,角依次為,求點 A 的坐標 .,則,因點 A 在第一卦限 ,故,于是,故點 A 的坐標為,向徑 OA 與 x 軸 y 軸的夾,第二節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,備用題,解: 因,1. 設,求向量,在 x 軸上的投影及在 y,軸上的分向量.,在 y 軸上的分向量為,故在 x 軸上的投影為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2.,設,求以向量,行四邊形的對角線的長度 .,該平行四邊形

8、的對角線的長度各為,對角線的長為,解：,為邊的平,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,*三、向量的混合積,第二節(jié),一、兩向量的數(shù)量積,二、兩向量的向量積,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,數(shù)量積 向量積 *混合積,第七章,一、兩向量的數(shù)量積,沿與力夾角為,的直線移動,1. 定義,設向量,的夾角為 ,稱,數(shù)量積,(點積) .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,故,2. 性質,為兩個非零向量,則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 運算律,(1) 交換律,(2) 結合律,(3) 分配律,事實上, 當,時, 顯然成立 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 證明三角形余弦定理,證

9、:,則,如圖 . 設,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,4. 數(shù)量積的坐標表示,設,則,當,為非零向量時,由于,兩向量的夾角公式, 得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 已知三點, AMB .,解:,則,求,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,為 ) .,求單位時間內流過該平面域的流體的質量P (流體密度,例3. 設均勻流速為,的流體流過一個面積為 A 的平,面域 ,與該平面域的單位垂直向量,解:,單位時間內流過的體積,的夾角為,且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、兩向量的向量積,引例. 設O 為杠桿L 的支點 ,有一個與杠桿夾角為,符合右手規(guī)則,機動 目錄 上頁 下頁

10、 返回 結束,1. 定義,定義,向量,方向 :,(叉積),記作,且符合右手規(guī)則,模 :,向量積 ,引例中的力矩,思考: 右圖三角形面積,S,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 性質,為非零向量, 則,3. 運算律,(2) 分配律,(3) 結合律,(證明略),證明:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,4. 向量積的坐標表示式,設,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,向量積的行列式計算法,( 行列式計算見 P339P342 ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 已知三點,角形 ABC 的面積,解: 如圖所示,求三,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一點 M 的線速度,例5.

11、 設剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉,導出剛體上,的表示式 .,解: 在軸 l 上引進一個角速度向量,使,其,在 l 上任取一點 O,作,它與,則,點 M離開轉軸的距離,且,符合右手法則,的夾角為 ,方向與旋轉方向符合右手法則 ,向徑,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,*三、向量的混合積,1. 定義,已知三向量,稱數(shù)量,混合積 .,幾何意義,為棱作平行六面體,底面積,高,故平行六面體體積為,則其,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 混合積的坐標表示,設,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 性質,(1) 三個非零向量,共面的充要條件是,(2) 輪換對稱性 :,(可用三階行列式推出),

12、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例6. 已知一四面體的頂點,4 ) , 求該四面體體積 .,解: 已知四面體的體積等于以向量,為棱的平行六面體體積的,故,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例7. 證明四點,共面 .,解: 因,故 A , B , C , D 四點共面 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內容小結,設,1. 向量運算,加減:,數(shù)乘:,點積:,叉積:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,混合積:,2. 向量關系:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,1. 設,計算,并求,夾角 的正弦與余弦 .,答案:,2. 用向量方法證明正弦定理:,機動 目錄 上頁 下頁 返

13、回 結束,證: 由三角形面積公式,所以,因,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,作業(yè) P310 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,備用題,1. 已知向量,的夾角,且,解：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,在頂點為,三角形中,求 AC 邊上的高 BD .,解：,三角形 ABC 的面積為,2.,而,故有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,四、二次曲面,第三節(jié),一、曲面方程的概念,二、旋轉曲面,三、柱面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,曲面及其方程,第七章,一、曲面方程的概念,求到兩定點A(1,2,3) 和B(2

14、,-1,4)等距離的點的,化簡得,即,說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.,引例:,顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.,解:設軌跡上的動點為,軌跡方程.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定義1.,如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:,(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此方程;,則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.,兩個基本問題 :,(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程,求曲

15、面方程.,(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀,( 必要時需作圖 ).,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,故所求方程為,例1. 求動點到定點,方程.,特別,當M0在原點時,球面方程為,解: 設軌跡上動點為,即,依題意,距離為 R 的軌跡,表示上(下)球面 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 研究方程,解: 配方得,此方程表示:,說明:,如下形式的三元二次方程 ( A 0 ),都可通過配方研究它的圖形.,其圖形可能是,的曲面.,表示怎樣,半徑為,的球面.,球心為,一個球面, 或點, 或虛軌跡.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定義2. 一條平面曲線,二、旋轉曲面,繞其

16、平面上一條定直線旋轉,一周,所形成的曲面叫做旋轉曲面.,該定直線稱為旋轉,軸 .,例如 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:,故旋轉曲面方程為,當繞 z 軸旋轉時,若點,給定 yoz 面上曲線 C:,則有,則有,該點轉到,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考：當曲線 C 繞 y 軸旋轉時，方程如何？,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例3. 試建立頂點在原點, 旋轉軸為z 軸, 半頂角為,的圓錐面方程.,解: 在yoz面上直線L 的方程為,繞z 軸旋轉時,圓錐面的方程為,兩邊平方,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例4. 求坐標面

17、 xoz 上的雙曲線,分別繞 x,軸和 z 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.,解:繞 x 軸旋轉,繞 z 軸旋轉,這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.,所成曲面方程為,所成曲面方程為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、柱面,引例. 分析方程,表示怎樣的曲面 .,的坐標也滿足方程,解:在 xoy 面上，,表示圓C,沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓,故在空間,過此點作,柱面.,對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面,在圓C上任取一點,其上所有點的坐標都滿足此方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,定義3.,平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成,的軌跡叫做柱面

18、.,表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;,準線為xoy 面上的拋物線.,z 軸的橢圓柱面.,z 軸的平面.,表示母線平行于,(且 z 軸在平面上),表示母線平行于,C 叫做準線, l 叫做母線.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一般地,在三維空間,柱面,柱面,平行于 x 軸;,平行于 y 軸;,平行于 z 軸;,準線 xoz 面上的曲線 l3.,母線,柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.,母線,準線 yoz 面上的曲線 l2.,母線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,四、二次曲面,三元二次方程,適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅,就幾種常見標準型的特點進行介紹 .,研究二次曲面

19、特性的基本方法: 截痕法,其基本類型有:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為二次曲面.,(二次項系數(shù)不全為 0 ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,1. 橢球面,(1)范圍：,(2)與坐標面的交線：橢圓,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,與,的交線為橢圓：,(4) 當 ab 時為旋轉橢球面;,同樣,的截痕,及,也為橢圓.,當abc 時為球面.,(3) 截痕:,為正數(shù)),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 拋物面,(1) 橢圓拋物面,( p , q 同號),(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）,特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉拋物面.,( p , q 同號),機動 目錄

20、上頁 下頁 返回 結束,3. 雙曲面,(1)單葉雙曲面,橢圓.,時, 截痕為,(實軸平行于x 軸；,虛軸平行于z 軸）,平面,上的截痕情況:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,雙曲線:,虛軸平行于x 軸）,時, 截痕為,時, 截痕為,(實軸平行于z 軸;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,相交直線:,雙曲線:,(2) 雙葉雙曲面,雙曲線,橢圓,注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:,雙曲線,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,P18 目錄 上頁 下頁 返回 結束,圖形,4. 橢圓錐面,橢圓,在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .,可以證明, 橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上.,(橢圓錐面也

21、可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換,得到, 見書 P316 ),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內容小結,1. 空間曲面,三元方程,球面,旋轉曲面,如, 曲線,繞 z 軸的旋轉曲面:,柱面,如,曲面,表示母線平行 z 軸的柱面.,又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 二次曲面,三元二次方程,橢球面,拋物面:,橢圓拋物面,雙曲拋物面,雙曲面:,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,橢圓錐面:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,斜率為1的直線,平面解析幾何中,空間解析幾何中,方 程,平行于 y 軸的直線,平行于 yoz 面的平面,圓心在(0,0),半

22、徑為 3 的圓,以 z 軸為中心軸的 圓柱面,平行于 z 軸的平面,思考與練習,1. 指出下列方程的圖形:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. P318 題3 , 10,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,題10 答案:,在 xoy 面上,第七章,一、空間曲線的一般方程,二、空間曲線的參數(shù)方程,三、空間曲線在坐標面上的投影,第四節(jié),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,空間曲線及其方程,一、空間曲線的一般方程,空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組,例如,方程組,表示圓柱面與平面的交線 C.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,又如,方程組,表示上半球面與圓柱面的交線C.,機動 目

23、錄 上頁 下頁 返回 結束,二、空間曲線的參數(shù)方程,將曲線C上的動點坐標x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):,稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.,例如,圓柱螺旋線,的參數(shù)方程為,上升高度, 稱為螺距 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:,解: (1),根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) ,(2) 將第二方程變形為,故所求為,得所求為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 求空間曲線 :,繞 z 軸旋轉,時的旋轉曲面方程 .,解:,點 M1繞 z 軸旋轉,轉過角度 后到點,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,這就是旋轉曲面滿足的參數(shù)方程 .,例如, 直線,繞 z 軸

24、旋轉所得旋轉曲面方程為,消去 t 和 , 得旋轉曲面方程為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,繞 z 軸旋轉所得旋轉曲面 ( 即球面 ) 方程為,又如, xoz 面上的半圓周,說明: 一般曲面的參數(shù)方程含兩個參數(shù) , 形如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、空間曲線在坐標面上的投影,設空間曲線 C 的一般方程為,消去 z 得投影柱面,則C 在xoy 面上的投影曲線 C為,消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程,消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例如,在xoy 面上的投影曲線方程為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,又如,所圍的立體在

25、 xoy 面上的投影區(qū)域為:,上半球面,和錐面,在 xoy 面上的投影曲線,二者交線,所圍圓域:,二者交線在,xoy 面上的投影曲線所圍之域 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內容小結,空間曲線,三元方程組,或參數(shù)方程,求投影曲線,(如, 圓柱螺線),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,P324 題 1，2，7（展示空間圖形）,P324 題1,(2),(1),答案:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(3),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,P324 題2 (1),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考:,交線情況如何?,交線情況如何?,P324 題2(2),機動 目錄

26、 上頁 下頁 返回 結束,P325 題 7,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,備用題,求曲線,繞 z 軸旋轉的曲面與平面,的交線在 xoy 平面的投影曲線方程.,解：,旋轉曲面方程為,交線為,此曲線向 xoy 面的投影柱面方程為,此曲線在 xoy 面上的投影曲線方程為,它與所給平面的,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第五節(jié),一、平面的點法式方程,二、平面的一般方程,三、兩平面的夾角,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,平面及其方程,第七章,一、平面的點法式方程,設一平面通過已知點,且垂直于非零向,稱式為平面的點法式方程,求該平面的方程.,法向量.,量,則有,故,機動 目錄 上頁 下頁 返

27、回 結束,例1.求過三點,即,解: 取該平面 的法向量為,的平面 的方程.,利用點法式得平面 的方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,此平面的三點式方程也可寫成,一般情況 :,過三點,的平面方程為,說明:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,特別,當平面與三坐標軸的交點分別為,此式稱為平面的截距式方程.,時,平面方程為,分析:利用三點式,按第一行展開得,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、平面的一般方程,設有三元一次方程,以上兩式相減 , 得平面的點法式方程,此方程稱為平面的一般,任取一組滿足上述方程的數(shù),則,顯然方程與此點法式方程等價,的平面,因此方程的圖形是,法向量為,方程.,

28、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,特殊情形, 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示,通過原點的平面;, 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 軸;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 軸的平面;,平行于 z 軸的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 求通過 x 軸和點( 4,

29、3, 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.,解:,因平面通過 x 軸 ,設所求平面方程為,代入已知點,得,化簡,得所求平面方程,(P327 例4 , 自己練習),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,三、兩平面的夾角,設平面1的法向量為,平面2的法向量為,則兩平面夾角 的余弦為,即,兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,特別有下列結論：,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,因此有,例4. 一平面通過兩點,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 設所求平面的法向量為,即,的法向量,約去C , 得,

30、即,和,則所求平面,故,方程為,且,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,外一點,求,例5. 設,解:設平面法向量為,在平面上取一點,是平面,到平面的距離d .,則P0 到平面的距離為,(點到平面的距離公式),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例6.,解: 設球心為,求內切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標面所構成,則它位于第一卦限,且,因此所求球面方程為,四面體的球面方程.,從而,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,內容小結,1.平面基本方程:,一般式,點法式,截距式,三點式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2.平面與平面之間的關系,平面,平面,垂直:,平行:,夾角公式:,機

31、動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,P330 題4 , 5, 8,第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束,作業(yè) P330 2 , 6 , 7 , 9,備用題,求過點,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解: 已知二平面的法向量為,取所求平面的法向量,則所求平面方程為,化簡得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,第六節(jié),一、空間直線方程,二、線面間的位置關系,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,空間直線及其方程,第七章,一、空間直線方程,因此其一般式方程,1. 一般式方程,直線可視為兩平面交線，,(不唯一),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2. 對稱式方程,故有,說明: 某些分母為零時

32、, 其分子也理解為零.,設直線上的動點為,則,此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點向式方程),直線方程為,已知直線上一點,例如, 當,和它的方向向量,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,3. 參數(shù)式方程,設,得參數(shù)式方程 :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例1.用對稱式及參數(shù)式表示直線,解:先在直線上找一點.,再求直線的方向向量,令 x = 1, 解方程組,得,交已知直線的兩平面的法向量為,是直線上一點 .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,故所給直線的對稱式方程為,參數(shù)式方程為,解題思路:,先找直線上一點;,再找直線的方向向量.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、線面間的位置關系

33、,1. 兩直線的夾角,則兩直線夾角 滿足,設直線,兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角),的方向向量分別為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,特別有:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例2. 求以下兩直線的夾角,解: 直線,直線,二直線夾角 的余弦為,(參考P332 例2 ),從而,的方向向量為,的方向向量為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,當直線與平面垂直時,規(guī)定其夾角,線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;,2. 直線與平面的夾角,當直線與平面不垂直時,設直線 L 的方向向量為,平面 的法向量為,則直線與平面夾角 滿足,直線和它在平面上的投影直,機動 目錄 上頁 下頁 返回

34、 結束,特別有:,解: 取已知平面的法向量,則直線的對稱式方程為,直的直線方程.,為所求直線的方向向量.,垂,例3. 求過點(1,2 , 4) 且與平面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,1. 空間直線方程,一般式,對稱式,參數(shù)式,內容小結,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,直線,2. 線與線的關系,直線,夾角公式:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,平面 :,L,L / ,夾角公式：,3. 面與線間的關系,直線 L :,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,作業(yè) P335 3，4，5，7，9,P335 題2, 10,習題課 目錄 上頁 下頁 返回 結束,思考與練習,解：,相交,求此直線方

35、程 .,的方向向量為,過 A 點及,面的法向量為,則所求直線的方向向量,方法1 利用叉積.,所以,一直線過點,且垂直于直線,又和直線,備用題,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,設所求直線與,的交點為,待求直線的方向向量,方法2 利用所求直線與L2 的交點 .,即,故所求直線方程為,則有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,代入上式 , 得,由點法式得所求直線方程,而,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,習題課,一、 內容小結,二、實例分析,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,空間解析幾何,第七章,一、內容小結,空間平面,一般式,點法式,截距式,三點式,1. 空間直線與平面的方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,為直線的方向向量.,空間直線,