高等數(shù)學(xué)下冊期末測試題含答案

1、綜合測試題 ( 下冊 )a 卷一、填空題（每空4 分，共20 分）1、 曲線 xcost, ysin t, ztan t在點（ 0 ， 1， 1）處的一個切向量與ox 軸正向夾2角為銳角，則此向量與oz 軸正向的夾角是 _ .2、 設(shè)d : x1,0y1( x3y) yd= _ .，則d3、 設(shè): x2y2z2a2 ，則曲面積分(x2y2z2 )ds=_.4、 周期為 2的函數(shù) f (x) ，它在一個周期上的表達式為f ( x)1x 0，設(shè)10 x它的傅立葉級數(shù)的和函數(shù)為s( x) ，則 s(5) =.25、 微分方程dyye x 的通解為 _.dx二、選擇題（每題4 分，共20 分）1、函數(shù)

2、 f (x, y) 在 ( x0 , y0 ) 點可微是函數(shù)f ( x, y) 在 ( x0 , y0 ) 點連續(xù)且可導(dǎo)的(a)充分非必要條件(b)必要非充分條件(c)充要條件(d)無關(guān)條件2、設(shè)空間區(qū)域1 : x2y2z2r2 , z0;2 : x2y2z2r2 , x0, y0, z0 ，則(a)xdv 4xdv(b)ydv4ydv1212(c)zdv4zdv(d)xyzdv4xyzdv12123、設(shè) l 為 x2y21一周，則?x2dsl(a)等于 0(b)等于(c)等于 2(d)等于 14、如果冪級數(shù)cn xn和ncn xn 1的收斂半徑分別是r1 和 r2 ，則 r1 與 r2的大小

3、關(guān)系n 0n1是(a)r1 大于 r2(b)r1小于 r2(c)r1 等于 r2(d)不能確定5、微分方程 y5y6yxe2 x 的特解形式是(a) ae2 xbxc(b)( axb)e2 x(c)x2 ( axb)e2x(d)x( axb)e2 x三、解答題1、（ 11分）函數(shù) zz( x, y) 由方程 f ( xz , yz ) 0所確定 ，其中 f 具有一階偏導(dǎo)yx數(shù)，計算 xxyzxy2 、（ 9分）計算曲線積分?(2 x3yx2 y)dx( x2 yxy2 )dy ，其中l(wèi)為圓周lx2y22 的順時針方向3、（ 12 分）在曲面 z2 x24 y2上求一點，使它到平面x 2 y 3

4、z 1的距離最短4、（ 9 分）計算曲面積分xdydzydzdxzdxdy ，其中是曲面z1x2y2 在xoy 面上方部分的上側(cè)5、（ 10 分）求冪級數(shù)(1)n 1 nx n1 的收斂區(qū)間與和函數(shù)s(x)n 16、（ 9 分）求微分方程y4 y x cos x 的通解 .綜合測試題 ( 下冊 )a 卷答案一、填空題1、 32、 23、4 a44、15、 y e x( x c )43二、選擇題1、 a2、 c3、 b4、 c5、 d三、解答題1、解： fxf1f2 (z2), fyf1(z2 )f2 , fzf1( 1 )f2 ( 1 )xyyx由隱函數(shù)計算公式得zy( zf2x2 f1 )x

5、x( xf1yf2 )zx( zf1y2 f2 )yy( xf1yf2 )則 x xy zy( zf2x2 f1)x( zf1 y2 f2 )z xyxy( xf1yf2 )2、解：由格林公式原式 =(1y23 x2 )dxdyd22(2r 2 ) rdr=d00= 2 (r 21 r 4 )0 22 .43、解：設(shè)曲面上(x, y, z) 點到平面距離為d，則 14d 2( x2 y 3z1)2 且z22 x24 y 2 即 x24 y2z22 0令 f ( x 2y 3z 1)2(x24 y2z22)fx2(x 2 y 3z 1)2x0fy4(x2y3z1)8 x0fz6(x2 y3z1)

6、2x0z2x24 y2得唯一解x2, y1, z6.141414由實際問題知最小值存在，即為點(2,1 ,6) .1414144、解：補上一塊1 : z0, x2y21取下側(cè)，且xdydzydzdxzdxdy 01由高斯公式原式 = 3dxdydz0 3(1x2y2 )dxdy3.x2 y212其中是由,1 所圍立體 .5、解： r limanlimn1，在 x1 時，級數(shù)發(fā)散 .則收斂區(qū)間為 ( 1,1).nan1nn1令 s( x)(1)n 1nxn 1n1x1( 1)n 1 xnx則s( x)dx( 1)n 1 nxn 1dx00n11xn 1s( x)(x)(11.x1x) 26、解：

7、特征方程r 240， 解得特征根r2i.對應(yīng)的齊次方程的通解yc1 cos2xc2 sin 2x .因為0,1,ii不是特征根方程的特解形式為y*( axb)cos x(cxd )sin x將其代入原方程解得a1 , b 0, c0, d2.39所以y*1 xcos x2 sin x ,39方程的通解yc1 cos 2xc2 sin 2x1 x cos x2 sin x .39綜合測試題（下冊） b 卷一、填空題 （每題3 分，總計18 分）1、函數(shù) f (x, y)2x2axxy 22 y 在點 (1, 1) 處取得極值，則常數(shù)a _.2、若曲面 x22y 23z221 的切平面平行于平面x

8、4 y6z250 ，則切點坐標為 _.3、二重積分1dy1y e x3dx 的值為 _.0y4、設(shè) f (x) 是周期為 2(1,1的定義為 f ( x)2,1x0的周期函數(shù)，它在區(qū)間x,0x，1則 f ( x) 的傅里葉級數(shù)在 x1 收斂于.5、級數(shù)nxn 的和函數(shù)為.n16、微分方程 yy2 的通解為 _.x y二、選擇題 （每題 3 分，總計15 分）1、 f x ( x0 , y0 ) 和 f y (x0 , y0 ) 存在是函數(shù)f ( x, y) 在點 ( x0 , y0 ) 連續(xù)的(a)必要非充分的條件；(b)充分非必要的條件；(c)充分且必要的條件；(d)即非充分又非必要的條件

9、.2、設(shè) uln( x 2y 2z2 ) ，則 div ( grad u) (a)1z2 ；(b)2；(c)1z2 ) 2 ；(d)2x 2y 2x 2y 2z2( x 2y 2(x 2y 2z2 ) 23、設(shè) d 是 xoy 面上以 (1, 1), (1, 1), ( 1,1) 為頂點的三角形區(qū)域，d1 是 d 中在第一象限的部分，則積分(x3 ycos3 x sin y)dd(a) 2cos3 x sin y d； (b)2x3 yd ； (c)4(x 3 ycos3x sin y)d； (d)0d1d1d14、設(shè)為曲面 x 2y2r 2 ( r0) 上的 0z1部分，則e x2y2sin

10、( x2y 2 )ds (a) 0；(b)rer sin r 2；(c)4 r ；(d)2re r sin r25、設(shè)二階線性非齊次方程yp( x) yq( x) yf ( x) 有三個特解y1x ， y2ex ，y3e2 x ，則其通解為(a) xc1exc 2 e2 x ；(b)c1 xc 2exc 3e2 x ；(c) x c1 (exe2 x )c 2 ( xex ) ； (d)c1 (exe2 x )c 2 (e2xx)三、計算題 （每題7 分，總計28 分）1、已知 f (x, y, z)2xyz2 及點 a(2,1, 1) 、 b(3, 1,1)，求函數(shù) f ( x, y, z)

11、 在點 a處沿由 a 到 b 方向的方向?qū)?shù)，并求此函數(shù)在點a 處方向?qū)?shù)的最大值 .2、設(shè) zf (xy, xy ) 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求2 z .x y3、將函數(shù) f (x)3展開成 x 的冪級數(shù)，并指出收斂域 .2 xx24、計算ds，其中 l 是螺旋線 x8 cost , y8 sin t, zt 對應(yīng) 0t2 的l x2y2z2弧段 .四、計算題 （每題8 分，總計32 分）1、計算z dv ，其中由不等式 zx 2y 2及 1x2y 2z24 所確定 .2、計算axdydz(za) 2 dxdy ，其中為下半球面 za 2x2y 2的下側(cè)， ax2y2z2為大于零的常數(shù) .3、

12、設(shè) yy( x) 滿足方程 y3y2 y2ex ，且其圖形在點 (0, 1) 與曲線 yx2x 1相切，求函數(shù) y(x) .4、對 p0 ，討論級數(shù)( 1) n的斂散性 .n 1n p n 1綜合測試題（下冊）b 卷答案一、填空題1、 -5 ； 2、 ( 1,2, 2) ； 3、 1 (1e 1 ) ； 4、x61 x二、選擇題1、； 2、； 3、； 4、； 5、三、計算題2； 5、 xy cy1、解：由條件得ff2 x,fx2 y,2 zyzab1, 2,2ab 01,2,2 cos, cos , cos 333cos122, cos, cos333從而ffcosf cosfcos=10lx

13、yza( 2, 1,1)3點 a 的梯度方向是2,2 ,2 2, 4,2lgrad fayxz a所以方向?qū)?shù)的最大值是f22422 22426lzf1yf 2 ,zf 1 xf 22、解：yx2 zyzyf1yf 2f1y f 2f 2x yxyy( f11xf12 )y(f 21xf 22 )f 2f 11(xy) f12xyf22f 23、解： f (x)3111112 x x21 x 2 x 1 x 2 1 x / 21( 1)n xn1 ( 1)nxnxnn 02 n 02n 02n 1收斂域為 ( 1,1) .4、解： dsxt2yt2zt2 dt65dtds652dt65tl x

14、2y2z20 82t 28arctan820658四、計算題zdv2d4 d2r cos r 2 sindr24 sincosd23dr1、解：01r0011 r 421524 sin2d 204182、解：取xoy 為 xoy 面上的圓盤x 2y2a 2 ，方向取上側(cè)，則axdydz(za)2 dxdy1axdydz( za)2 dxdyx2y2z2aa1 axdydz(za)2 dxdyaxdydz(za)2 dxdyxoyxoy1(2 z 3a) dva2dxdyadxy12ddar cosr 2 sind3a2a3a2a22a020314cossindar 3 dra41a4a41a3 .a20a223、解：由條件知yy( x) 滿足 y(0)1,y (0)1.由特征方程 r 23r20r11, r22 , 對應(yīng)齊次方程的通解yc1exc 2e2x ,設(shè)特解為 y*axex ，其中 a 為待定常數(shù)，代入方程，得a2y*2xe x ,從而得通解yc1ex