傳染病模型及其應(yīng)用

1、本 科 畢 業(yè) 論 文 題 目 傳染病模型及其應(yīng)用 院 部 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師 評(píng)閱教師 班 級(jí) 姓 名 學(xué) 號(hào) 2013年 5月 1日目 錄摘要IAbstract:I1 引言12 模型建立12.1 SARS模型的基本假設(shè)22.2 模型一，SIR模型22.3 模型二，基于SIR的改進(jìn)模型33.模型求解43.1 SIR模型的求解43.2改進(jìn)SIR模型求解54結(jié)果分析65模型的改進(jìn)與推廣6結(jié)束語(yǔ)6參考文獻(xiàn)6致謝8摘要：用數(shù)學(xué)模型幫助發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播機(jī)理來(lái)預(yù)測(cè)傳染病的發(fā)展趨勢(shì)已成為控制和預(yù)防傳染病的主流方法，“非典”給我國(guó)社會(huì)的發(fā)展和人民身體的健康帶來(lái)了不可估量的損

2、失,如何進(jìn)行有效的防治,一直是我國(guó)理論專(zhuān)家和實(shí)踐工作者普遍關(guān)心的問(wèn)題，本文以經(jīng)典的傳染病模型（SIR模型）為參考，在其基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，將總?cè)丝趧澐譃橐韵挛孱?lèi)：健康人、疑似患者、病人、感染后治愈、感染后不治身亡.以此建立一個(gè)新的SARS模型，該模型描述了各類(lèi)人數(shù)隨時(shí)間變化的變化規(guī)律.通過(guò)數(shù)值模擬，以及插值的方法，運(yùn)用Matlab軟件，分別求解出疑似患者和病人的日接觸率，日治愈率和日死亡率.通過(guò)曲線擬合發(fā)現(xiàn)與實(shí)際數(shù)據(jù)非常吻合.本文最后還通過(guò)對(duì)參數(shù)隔離的擾動(dòng)方式發(fā)現(xiàn)隔離措施對(duì)整個(gè)“非典”疫情的控制起著關(guān)鍵性的作用:隔離強(qiáng)度越大,采取隔離措施的時(shí)間越早,累計(jì)患病人數(shù)就越少,疫情就能越早受到控制.關(guān)鍵字

3、：SIR模型；數(shù)值模擬；插值；參數(shù)隔離擾動(dòng)Abstract: SARS to Chinas social development and peoples physical health has brought immeasurable loss, how effective prevention and treatment, has long been the theoretical experts and practitioners are generally concerned about the problem, this paper, the classic epidemic mode

4、l (SIR model) as a reference, based on its improvement, the total population is divided into the following five categories: healthy people, suspected patients, patients cured after infection after infection and died. in order to establish a new model of SARS, the model describes the various types of

5、 time-dependent changes in the number of law by numerical simulation, and interpolation methods, the use of matlab software, respectively, to solve the suspected contact with patients and patients on the rate cure rate and daily mortality ., by the curve fitting the actual data found in good agreeme

6、nt with this paper and finally through the parameter perturbation method that isolated quarantine measures for the entire SARS epidemic control plays a key role: the greater the intensity of isolation, quarantine measures taken sooner , the less the cumulative number of patients, the sooner the epid

7、emic under control.Key words: SIR model；numerical simulation；interpolation； parameters of isolated disturbances1 引言人類(lèi)歷史上曾多次遭受危害及其嚴(yán)重的傳染病的威脅。近幾年發(fā)生的一些傳染病，如非典型性肺炎（SARS），高致病性禽流感（H5N1），甲型（H1N1）流感等，均對(duì)生命健康和社會(huì)生活造成了很大影響1。特別是在2002年冬到2003年春天，SARS傳染病突然侵襲了大半個(gè)中國(guó),給國(guó)民經(jīng)濟(jì)和人民的正?；顒?dòng)都造成了很大的影響，由于人們對(duì)此種傳染病的傳播機(jī)理還不太清楚，因而一度引起了人

8、們心理上的恐慌。因此，預(yù)防和控制傳染病的研究就顯得極其重要。其實(shí)對(duì)傳染病的描述和預(yù)測(cè)是人們由來(lái)已久的話題，最早使用的完全是總結(jié)經(jīng)驗(yàn)型的統(tǒng)計(jì)方法。在漫長(zhǎng)的研究過(guò)程中，人們不斷地吸收最新數(shù)學(xué)和物理成果，使統(tǒng)計(jì)方法不斷得到改進(jìn)，因此這種曾在歷史上起過(guò)很大作用的方法直到今天仍然是重要的研究手段2。目前，對(duì)傳染病的研究有4 種方法：描述性研究3、分析性研究4、實(shí)驗(yàn)性研究5和理論性研究6。在理論性研究中，數(shù)學(xué)模型起著極其重要的作用。它把傳染病的主要特征通過(guò)假設(shè)、參數(shù)、變量和它們之間的聯(lián)系清晰地揭示出來(lái)。數(shù)學(xué)模型的分析結(jié)果能提供許多強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)和概念。用數(shù)學(xué)模型幫助發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播機(jī)理，預(yù)測(cè)傳染病的流行

9、趨勢(shì)已成為共識(shí)?？v觀傳染病的數(shù)學(xué)模型研究，我們可把它們分為兩類(lèi)：決定性模型7和網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)模型8。目前隨著人工智能計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)模型成為了新的研究熱點(diǎn)9-12，但是決定論模型仍然具有非常重要的學(xué)術(shù)地位。本文主要就決定性模型介紹了SIR模型及SIR模型的改進(jìn)。2 模型建立在建模之前，需要對(duì)SARS傳染病的傳播規(guī)律進(jìn)行具體的分析。首先，在不考慮城市流動(dòng)人口和被隔離人口的情況下，我們將北京市總?cè)丝趧澐譃橐韵挛孱?lèi)：人群中染病后不治身亡者、人群中染病后恢復(fù)并獲得免疫力者、人群中染病者、人群中染病后處在潛伏期者，并且。在SARS病毒在北京的傳播初期，病毒的高傳染性并未顯現(xiàn)，而且人們也沒(méi)有意識(shí)到

10、它的嚴(yán)重性，因而沒(méi)有采取任何防護(hù)措施，小部分人開(kāi)始被傳染并處于潛伏期。當(dāng)潛伏期過(guò)后，病毒開(kāi)始爆發(fā)，此時(shí)的患者與人群接觸，導(dǎo)致新一批的人被感染并處于潛伏期。當(dāng)發(fā)病過(guò)后，部分患者得不到及時(shí)的醫(yī)治而死亡。傳染病傳播的過(guò)程反復(fù)無(wú)常，難以控制，以至于在較短時(shí)間內(nèi)感染人數(shù)會(huì)迅速增多。并且，隨著時(shí)間的推移，發(fā)病人數(shù)也將不斷增加，死亡人數(shù)迅速增加。這使得人們對(duì)于病毒開(kāi)始感到恐慌，造成社會(huì)的負(fù)面影響。這引起了政府及相關(guān)部門(mén)的重視，并開(kāi)始采取措施。雖然疫情得到了控制，但由于當(dāng)時(shí)沒(méi)有有效的抗病毒藥物，因此疫情只能通過(guò)患者自主愈合和死亡。在該期間內(nèi)，每天的發(fā)病和死亡人數(shù)都在不斷減少，并最終降為零。根據(jù)上述對(duì)SARS傳

11、播機(jī)制的分析結(jié)論，建立如下SARS傳播機(jī)制的流程圖。健康人s疑似病人i1治愈r死亡e病人i2潛伏期者i1k2.1 SARS模型的基本假設(shè)1）本文主要考察的是北京地區(qū)的疫情變化，且考察的時(shí)間相對(duì)較短，故我們視人口總量不變，不考慮人口的出生率和自然死亡率，即為一常數(shù)N.2）將SARS的傳播途徑視為與病人的有效接觸，每個(gè)健康人變成病人的途徑只能是與病人的有效接觸.3）不考慮氣候條件對(duì)SARS傳播的影響.4）為了使模型簡(jiǎn)化，假設(shè)處于同一群體的每個(gè)個(gè)體與病人的日接觸率及有效接觸率相同.5）假設(shè)SARS疫情的爆發(fā)有個(gè)初始時(shí)間.2.2 模型一，SIR模型在建立改進(jìn)的SIR模型之前，先對(duì)基本的SIR模型進(jìn)行描

12、述?；趨⒖嘉墨I(xiàn)3中的5.1傳染病模型的模型三（SIR），為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，考慮、為常數(shù)，于是我們得到了類(lèi)似于3中5.1傳染病模型的方程組：2.3 模型二，基于SIR的改進(jìn)模型以上一節(jié)基本的SIR模型為基礎(chǔ)。首先，根據(jù)人群分類(lèi)情況可得：，表示總的具備傳染力的人數(shù)比例.設(shè)每個(gè)疑似病人每天有效接觸的平均人數(shù)為；每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)為；疑似病人中實(shí)際感染了SARS病毒的比例為.則實(shí)際具備感染能力的疑似病人人數(shù)為：，那么實(shí)際具備感染能力的疑似病人每天感染的健康人人數(shù)為：.病人人數(shù)為：，每個(gè)病人每天感染的健康人人數(shù)為：.則健康人數(shù)每天的增量為：，上式中表示那些為當(dāng)成是疑似病人但實(shí)際上為感染病毒，經(jīng)

13、過(guò)隔離被放回來(lái)的人.病人中每天被治愈出院的人數(shù)占病人總數(shù)的比例為，病人中每天死亡的人數(shù)占病人總數(shù)的比例為，則死亡人數(shù)與治愈人數(shù)的變化量分別為：、，則結(jié)合以上幾式可得出具備傳染力的人數(shù)增量為：，綜上，可建立方程組模型：3.模型求解3.1 SIR模型的求解對(duì)于模型一，我們同樣無(wú)法求出和的解析解，通過(guò)將上式消去，可得下列轉(zhuǎn)化方程：其解為：其中，;1）模型的數(shù)值模擬解由于參考文獻(xiàn)35.1節(jié)中對(duì)于上式的分析太不直觀，因而只能得到i關(guān)于s的函數(shù).而和的表達(dá)式卻很難求出。因此，我們通過(guò)參考文獻(xiàn)4的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解。首先，我們假定北京市的人口總量為，。隨后，利用matlab軟件處理參考文獻(xiàn)4中的數(shù)據(jù)給出的累計(jì)治愈

14、出院人數(shù)、累計(jì)死亡人數(shù)、現(xiàn)有的疑似病例數(shù)和累計(jì)已確診病例數(shù)的具體數(shù)字，得到日死亡率=0.，日治愈率=0.，日感染率=0.。從而，得到i關(guān)于時(shí)間t的函數(shù);最后，以累計(jì)已確診病例數(shù)和北京市人口總數(shù)N之差得到的健康人總數(shù)，由此得到一組健康人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比例值。將其作為擬合對(duì)象，多項(xiàng)式擬合次數(shù)為6次，得：;可得隨時(shí)間t變化的趨勢(shì)圖（如圖1）.再將的擬合函數(shù)帶入的解析式中，得到關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)趨勢(shì)圖（如圖2）圖1 圖2對(duì)圖2分析可知，患病人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例隨著時(shí)間的推移在不斷減小, 并最終在t=50時(shí)降為0, 即至此，SARS病情得到良好控制。最后，我們發(fā)現(xiàn)圖2中的病人人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例隨著時(shí)間的推移始

15、終是降低的，即嚴(yán)格的單調(diào)遞減，這與實(shí)際情況不相符合，其原因在于擬合是通過(guò)高次多項(xiàng)式擬合的結(jié)果, 所以會(huì)存在一定的偏差.3.2改進(jìn)SIR模型求解對(duì)于模型二，我們無(wú)法求出s(t)和i(t)的解析解.于是，本文根據(jù)在網(wǎng)上所收集到的從03年4月份到六月份的病人數(shù)，疑似病人數(shù)，死亡人數(shù)和治愈出院人數(shù)為基礎(chǔ)4，求解該模型.下圖為用Matlab所畫(huà)的實(shí)際數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖：圖3由圖3可以觀察出四類(lèi)數(shù)據(jù)的走勢(shì)情況.本文運(yùn)用插值擬合的方法，對(duì)四類(lèi)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行擬合，從而得到兩個(gè)日接觸率的值、以及日治愈率和日死亡率、.4結(jié)果分析通過(guò)對(duì)上述模型的觀察可以發(fā)現(xiàn)，病人數(shù)量與三個(gè)參數(shù)日感染率、日死亡率和日治愈率的值呈現(xiàn)相關(guān)性變化

16、，當(dāng)增大日死亡率和日治愈率時(shí)，病人的數(shù)量會(huì)減緩增加，但是其變化并不明顯.而當(dāng)增大日感染率時(shí)，病人人數(shù)的增加將被顯著的抑制.于是我們得出隔離措施對(duì)整個(gè)“非典”疫情的控制起著關(guān)鍵性的作用:隔離強(qiáng)度越大,采取隔離措施的時(shí)間越早,累計(jì)患病人數(shù)就越少,疫情就能越早受到控制.5模型的改進(jìn)與推廣模型二通過(guò)從一個(gè)景點(diǎn)的微分方程模型入手，建立了針對(duì)SARS特點(diǎn)的微分方程數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的處理，得到了SARS傳播的日感染率、日死亡率和日治愈率的值，它們是不同時(shí)刻各值的平均值，當(dāng)所給數(shù)據(jù)間有很大擺動(dòng)時(shí)，就會(huì)使模型結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差.可以通過(guò)對(duì)不同時(shí)刻的這些參數(shù)進(jìn)行線性擬合，可以得到三個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)、，這樣就

17、可以隨時(shí)間調(diào)整它們的值，可以使得模型更好地預(yù)測(cè)SARS的傳播.結(jié)束語(yǔ)通過(guò)本次對(duì)北京市的病毒傳播的分析，建立的相關(guān)模型，對(duì)于以后類(lèi)似的相關(guān)傳染病的傳播與分析起到相當(dāng)大的幫助作用，為未來(lái)人們預(yù)防以及控制傳染病病毒起到非常大的幫助作用。參考文獻(xiàn)1 黃良英,丘修峰,周昌隆SARS傳播的數(shù)學(xué)模型的建立與分析J南昌大學(xué)學(xué)報(bào).2 余雷,薛惠鋒,李剛傳染病傳播模型研究J計(jì)算機(jī)仿真，2007，24(04)：57-603 張發(fā),李璐,宣慧玉傳染病傳播模型綜述J系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2011，31(09)：1736-17444 劉華,吳承強(qiáng)兩類(lèi)疾病同時(shí)存在的傳染病模型的定性分析J福州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，

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