理論力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)

1、理論力學(xué)多媒體課件,第十五章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),理論力學(xué),理論力學(xué),機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng)，汽車行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。,利：振動(dòng)給料機(jī) 弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度 振動(dòng)篩 引起噪聲，影響勞動(dòng)條件 振動(dòng)沉拔樁機(jī)等 消耗能量，降低精度等。,3. 研究振動(dòng)的目的：消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng)為人類服務(wù)。,2. 振動(dòng)的利弊：,1. 所謂振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。,當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),本

2、章重點(diǎn)討論單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)。,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),第十五章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 計(jì)算固有頻率的能量法 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng) 單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng) 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 隔振,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),1.自由振動(dòng)微分方程,l0 彈簧原長(zhǎng)； k 彈簧剛度系數(shù)；,st 彈簧的靜變形；,取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x 向下為正，則有：,恢復(fù)力：物體偏離平衡位置后受到的與偏離距離成正比且與偏離方向相反的合力,理論力學(xué),當(dāng)前位置

3、：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),只在恢復(fù)力作用下維持的振動(dòng)稱為無阻尼自由振動(dòng),令 ，則,無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。二階齊次線性常系數(shù)微分方程，其通解為,理論力學(xué),無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),2. 無阻尼自由振動(dòng)的特點(diǎn),（1）固有頻率,無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是一種周期振動(dòng),f 稱為振動(dòng)的頻率，單位為1/s或Hz,w0 稱為圓頻率（固有頻率），表示每2p秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，單位為rad/s，只與系統(tǒng)的質(zhì)量m和剛度系數(shù)k有關(guān)。,當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由

4、度系統(tǒng)的自由振動(dòng),只要知道重力作用下的靜變形，就可求得系統(tǒng)的固有頻率。,（2）振幅與初相位,A相對(duì)于振動(dòng)中心O的最大位移，稱為振幅。 0 t + q 決定了質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí) t 的位置，稱為相位。 q 決定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始位置，稱為初相角。,振幅A和初相角q 兩個(gè)待定常數(shù)由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),例 題 15.1 提升重物系統(tǒng)中，鋼絲繩的橫截面積A2.89104m2，材料的彈性模量E200GPa。重物的質(zhì)量m6000kg，以勻速 v 0.2

5、5m/s 下降。當(dāng)重物下降到 l 25m 時(shí)，鋼絲繩上端突然被卡住。,求：（1）重物的振動(dòng)規(guī)律； （2）鋼絲繩承受的最大張力。,解：（1）重物的振動(dòng)規(guī)律 鋼絲繩重物系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，彈簧的剛度為,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),設(shè)鋼絲繩被卡住的瞬時(shí)t0，這時(shí)重物的位置為初始平衡位置；以重物在鉛垂方向的位移x作為坐標(biāo)，則系統(tǒng)的振動(dòng)方程為,方程的解為,利用初始條件,求得,重物的運(yùn)動(dòng)方程為,理論力學(xué),（2）鋼絲繩承受的最大張力。,取重物為研究對(duì)象,靜平衡位置,當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),理論力學(xué),

6、當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),例題15.2 均質(zhì)等截面懸臂梁，長(zhǎng)度為 l，彎曲剛度為EI。梁的自由端放置一質(zhì)量為m的物塊，其靜撓度為dst。若不計(jì)梁的質(zhì)量，物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律。,解：此無重彈性梁相當(dāng)于一個(gè)彈簧，其靜撓度相當(dāng)于彈簧的靜伸長(zhǎng)，則梁的剛度系數(shù)為,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),分析物塊運(yùn)動(dòng)到任意位置(坐標(biāo)為x)時(shí)的受力，有,設(shè) ，則,上述振動(dòng)微分方程的解為,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),初始條件為,振幅為,初相角

7、為,系統(tǒng)的自由振動(dòng)規(guī)律為,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),3. 彈簧的并聯(lián)與串聯(lián),（1）彈簧并聯(lián),并聯(lián),則此并聯(lián)系統(tǒng)的固有頻率為,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),串聯(lián),（2）彈簧串聯(lián),則此串聯(lián)系統(tǒng)的固有頻率為,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),（3）多個(gè)彈簧的并聯(lián)和串聯(lián),n個(gè)彈簧并聯(lián)后的等效剛度系數(shù),n個(gè)彈簧并聯(lián)系統(tǒng)的固有頻率,n個(gè)彈簧串聯(lián)后的等效剛度系數(shù),n個(gè)彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的固有頻率,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由

8、度系統(tǒng)的自由振動(dòng),例題15.3 圖示系統(tǒng)中有四根鉛直彈簧，它們的剛度系數(shù)分別為 k1 、 k2 、 k3 、 k4 且k1 =2 k2 =3 k3=4 k4 。假設(shè)質(zhì)量為m的物塊被限制在光滑鉛直滑道中作平動(dòng)。試求此系統(tǒng)的固有頻率。,解：（1）計(jì)算3、4的等效剛度,（2）計(jì)算2、3、4的等效剛度,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),（3）計(jì)算系統(tǒng)的等效剛度,（4）計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),4.其他類型的單自由度振動(dòng)系統(tǒng),工程上很多振動(dòng)系統(tǒng)都可以用相同形式的運(yùn)動(dòng)微分方程表示,扭

9、振系統(tǒng),由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程有,令 ，則,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),例題15.4 圖示結(jié)構(gòu)中，不計(jì)質(zhì)量的桿OA在水平位置處于平衡，若k、m、a、l 等均為已知。求：系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率。,解：取靜平衡位置為其坐標(biāo)原點(diǎn)，由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有,在靜平衡位置處，有,考慮到微轉(zhuǎn)角，則,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),在靜平衡位置處，有,考慮到微轉(zhuǎn)角，則,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),計(jì)算固有頻率的能量法,物塊的動(dòng)能為,取靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)，有,在靜平衡位置處，有,理論

10、力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),物塊在平衡位置處，其動(dòng)能最大,物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢(shì)能最大,無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,計(jì)算固有頻率的能量法,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),計(jì)算固有頻率的能量法,解：設(shè)OA桿作自由振動(dòng)時(shí)， 其擺角 的變化規(guī)律為,系統(tǒng)的最大動(dòng)能為,系統(tǒng)的最大勢(shì)能為,由機(jī)械能守恒定律有,例題15.5 由能量法解 例題15.4,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),計(jì)算固有頻率的能量法,理論力學(xué),（用第二類拉格朗日方程解）,由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：,解：取擺角 為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)的動(dòng)能,系統(tǒng)的勢(shì)

11、能,拉格朗日函數(shù)為,當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),計(jì)算固有頻率的能量法,當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),計(jì)算固有頻率的能量法,微振動(dòng)固有頻率為,理論力學(xué),例15.7 用能量法求固有頻率,解：設(shè)擺角 的變化規(guī)律為,系統(tǒng)的最大動(dòng)能為,取平衡位置處為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為,考慮到微轉(zhuǎn)角，則,計(jì)算固有頻率的能量法,當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),理論力學(xué),計(jì)算固有頻率的能量法,當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),由機(jī)械能守恒定律有,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),阻尼振動(dòng)過程中的阻力

12、。 干摩擦力，潤(rùn)滑表面阻力，液體或氣體等介質(zhì)的阻力、材料內(nèi)部的阻力。,當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，由介質(zhì)粘性引起的阻力近似地與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。,c粘性阻力系數(shù)（阻力系數(shù)）,1. 阻尼,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),2. 振動(dòng)微分方程,取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，在建 立此系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程時(shí)， 可以不再計(jì)入重力的影響。,物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為,彈性恢復(fù)力,粘性阻尼力,令,阻尼系數(shù),理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),本征方程,本征根,本征根為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，通解的形式不同，運(yùn)動(dòng)規(guī)

13、律有很大的不同。,設(shè)其解為,振動(dòng)微分方程的通解為,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),3. 欠阻尼狀態(tài),振動(dòng)微分方程的解為,利用初始條件,求得,或,當(dāng) d 0 時(shí)，阻力系數(shù) ，這時(shí)阻尼較小，稱為欠阻尼狀態(tài)。本征方程的兩個(gè)根為共軛復(fù)數(shù)，即：,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),衰減振動(dòng)的周期：,引入阻尼比：,得有阻尼自由振動(dòng)和相應(yīng)的無阻尼自由振動(dòng)間的關(guān)系：,衰減振動(dòng),A2,A1,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),兩個(gè)相鄰振幅之比稱為減縮因數(shù)

14、,振幅,對(duì)上式兩端取自然對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)減縮,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),4.臨界阻尼和過阻尼狀態(tài),當(dāng) d = 0 時(shí)，阻力系數(shù) ，稱為臨界阻力系數(shù)。本征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，即：,振動(dòng)微分方程的解為,C1和C2兩個(gè)積分常數(shù)由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。,物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)無限地趨向平衡位置，運(yùn)動(dòng)已經(jīng)不具備振動(dòng)的特點(diǎn)。,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),當(dāng) d 0 時(shí)，阻力系數(shù) ，稱為過阻尼狀態(tài)。本征

15、方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，即：,振動(dòng)微分方程的解為,C1和C2兩個(gè)積分常數(shù)由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),例題15.8 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，P=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。求阻尼系數(shù)c 。,解：,由于 很小，,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng),受迫振動(dòng)的概念 受迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。 簡(jiǎn)諧激振力： H力幅； 激振力的角頻率 ；j 激振力的初相位。,無阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。,1、振

16、動(dòng)微分方程,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 為特解,3、受迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。,2. 受迫振動(dòng)的振幅,1、簡(jiǎn)諧激振力下，單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,2、受迫振動(dòng)的頻率等于簡(jiǎn)諧激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),(1) 0時(shí),(2) 時(shí)，振幅b隨 增大而增大；當(dāng) 時(shí)，,(3) 時(shí)，振動(dòng)相位與激振力相位反相，差 。,b 隨 增大而減小；,理論力

17、學(xué),單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),3、共振現(xiàn)象,，這種現(xiàn)象稱為共振。,此時(shí)，,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng),將上式兩端除以m ，并令,有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。,理論力學(xué),單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),x1是齊次方程的通解,欠阻尼：,（A、q 積分常數(shù)，取決于初始條件）,振動(dòng)微分方程的全解為,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng),振動(dòng)開始時(shí)，二者同時(shí)存在的過程瞬態(tài)過程。 僅剩下受迫振動(dòng)部分的過程穩(wěn)態(tài)過程（需著重討論部分）,因此：,阻尼對(duì)受迫振動(dòng)的影響,1、振動(dòng)規(guī)律 簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 2、頻率： 有阻尼受迫振動(dòng)的頻率，等于激振力的頻率。 3、振幅,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng),(1),共振頻率,此時(shí)：,理論力學(xué),當(dāng)前位置：理論力學(xué) 動(dòng)力學(xué)第十五章機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ),單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng),相位差： 有阻尼受迫振動(dòng)相位總比激振力滯后一相位角， 稱為相位差。,(1) 總在0至 區(qū)間內(nèi)