度量的認(rèn)知過程

1、薂 度量的認(rèn)知過程（摘自小學(xué)數(shù)學(xué)研究，高等教育出版社，第8 章）螈膈度量的認(rèn)知過程莂生活中有六種常用的量，是可以用感官和工具來測定的，包括長度、重量、容量、角度、面積、體積。這些量的測定有兩種，一種是定性分析，一種是定量分析。定性分析就是回答 “誰長？誰短？”，而定量分析是回答 “他們各有多長？” 。兒童在測定量的時候常常會經(jīng)歷直接比較和間接比較這兩個階段。從思維上講，這兩個階段既是區(qū)分的，又不是完全割裂的。蝕長度的度量是可以用感官和工具來測定的，從思維發(fā)展來說，長度度量的幾個階段：芇第一個階段，長度的初步感知；袈第二個階段，長度的直接比較；蒃第三個階段，長度的間接比較；肅第四個階段，用統(tǒng)一的

2、單位來比較；羀第五個階段，長度單位概念體系的形成。莄首先要幫助學(xué)生形成對長度的初步感知。實(shí)際上小學(xué)生在生活中很早就有了“長”與“短”的經(jīng)驗(yàn)。小學(xué)生能夠通過視覺來比較物體的長短，這也就是定性分析。蒄例如比較圖中操場上旗桿的長短和四位小朋友的身高。在左邊的圖中，提出的問題是，哪一面旗子最高？在右邊的圖中， 提出的問題是誰最高？誰最矮？按身高將名次排出來。膁視覺是人先天就有的，它是人了解周圍客觀世界的一種重要的手段，視覺對促進(jìn)人的多元智能的發(fā)展起著重要的作用。 運(yùn)用視覺判斷得出物體的長短是定性比較。莀這里，學(xué)生已經(jīng)能夠通過視覺比較出對象的長短，說明他們已經(jīng)初步形成了長度的概念。肅學(xué)生初步形成長度的概

3、念以后，接下來我們要創(chuàng)造條件，讓學(xué)生能夠進(jìn)行長度的直接比較，圖中有三根長短不一的跳繩，現(xiàn)在的問題是哪根最長？哪根最短？教師要幫助學(xué)生注意， 在比較的時候要將三根跳繩的一端都對齊。 現(xiàn)在這三位小朋友可以說誰的跳繩最長，誰的跳繩最短了，這就是直接比較。再例如，讓學(xué)生拿出所有的鉛筆， 比一比哪一根最長？拿出所有的書， 看哪本最厚？明信片是橫長還是豎長呢， 學(xué)生通過折疊以后就可以比較出， 是橫的一邊長還是豎的一邊長。節(jié)上述活動都是直接比較。艿間接比較的關(guān)鍵是找到量具，找量具的過程可以分成兩個階段：蝿第一階段就是找身邊的東西，例如腳步， 腳底、“ ”（大拇指和食指張開后的長）或小木棍來量物體的長度。裊用

4、腳步可以量教室、量走廊、量體操房，量校舍，量校園的長度；莃用腳底可以量門寬，櫥寬，走廊寬；螞用“”可以量課桌，圖畫，窗臺，黑板，飯桌等。膈少部分學(xué)生由于生活當(dāng)中已經(jīng)有了用尺來量東西的經(jīng)驗(yàn)，例如他看見過他的父母是用尺來量東西的， 他會直接用尺來量， 但他對尺的含義與刻度往往沒有深入的理解。薅由于學(xué)生各人的腳步、腳底、 “ ”或找到的小木棍長短是不一樣的，所以對同一物體量得的數(shù)據(jù)是不一樣的， 學(xué)生就會提出疑問： 為什么不一樣？上面這幅圖是教師讓同學(xué)用“ ”來量講臺，最后量出的結(jié)果是不一樣的，學(xué)生就產(chǎn)生了疑問，為什么不一樣？這時候教師就可以很自然地引導(dǎo)學(xué)生去找統(tǒng)一的度量工具。蒞找量具的第二個階段在這

5、里就是讓學(xué)生找到或發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一的度量單位，也就是厘米尺、卷尺，用厘米尺和卷尺來量東西。螀學(xué)生在這里還要認(rèn)識 “尺”，對尺上的刻度進(jìn)行分析和理解。 這里學(xué)生首次間接比較的關(guān)鍵是找到量具，找量具的過程可以分成兩個階段：蚈第一階段就是找身邊的東西，例如腳步， 腳底、“ ”（大拇指和食指張開后的長）或小木棍來量物體的長度。莆用腳步可以量教室、量走廊、量體操房，量校舍，量校園的長度；膂用腳底可以量門寬，櫥寬，走廊寬；膂用“”可以量課桌，圖畫，窗臺，黑板，飯桌等。肇少部分學(xué)生由于生活當(dāng)中已經(jīng)有了用尺來量東西的經(jīng)驗(yàn)，例如他看見過他的父母是用尺來量東西的， 他會直接用尺來量， 但他對尺的含義與刻度往往沒有深入的理

6、解。肆由于學(xué)生各人的腳步、腳底、 “ ”或找到的小木棍長短是不一樣的，所以對同一物體量得的數(shù)據(jù)是不一樣的， 學(xué)生就會提出疑問： 為什么不一樣？上面這幅圖是教師讓同學(xué)用“ ”來量講臺，最后量出的結(jié)果是不一樣的，學(xué)生就產(chǎn)生了疑問，為什么不一樣？這時候教師就可以很自然地引導(dǎo)學(xué)生去找統(tǒng)一的度量工具。芃找量具的第二個階段在這里就是讓學(xué)生找到或發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一的度量單位，也就是厘米尺、卷尺，用厘米尺和卷尺來量東西。芁學(xué)生在這里還要認(rèn)識 “尺”，對尺上的刻度進(jìn)行分析和理解。 這里學(xué)生首次形成了長度單位的概念，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)展，逐步建立長度單位的概念體系。螁我們可以發(fā)現(xiàn)，原來對課桌椅，不同的學(xué)生用“”去量，得到的結(jié)

7、果是不同的，現(xiàn)在不同的學(xué)生用厘米尺或卷尺去量，量出來是一樣的，都是 60 厘米，這個例子就生動地讓孩子們知道，要用統(tǒng)一的度量單位去量物體的長短。螆芅形成了長度單位的概念，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的發(fā)展，逐步建立長度單位的概念體系。荿我們可以發(fā)現(xiàn)，原來對課桌椅，不同的學(xué)生用“”去量，得到的結(jié)果是不同的，現(xiàn)在不同的學(xué)生用厘米尺或卷尺去量，量出來是一樣的，都是 60 厘米，這個例子就生動地讓孩子們知道，要用統(tǒng)一的度量單位去量物體的長短。膀薇肂螂面積蕿面積的概念很早就形成了。在古代埃及，尼羅河每年泛濫一次，洪水給兩岸帶來了肥沃的淤泥，但也抹掉了田地之間的界限標(biāo)志。水退了，人們需要重新劃出田地的界限，這就必須丈量和

8、計(jì)算田地。于是，逐漸有了面積的概念。芇膃一、面積的含義袀物體的表面是有大小的，面積是對一個物體的表面多少的測量。聿物體的表面或圍成的圖形表面的大小通常叫做它們的面積 。肈在這里，“面”是“有長有寬而沒有厚度”的一種“形跡”，而這種形跡并不一定必須是“平面”的。芅對立體物體表面多少的測量，一般稱表面積 ；面積 一般是指對一個平面圖形的表面多少的測量。節(jié)例如，下面的圖形所圍成的區(qū)域所覆蓋的表面的大小分別是矩形、圓、梯形、三角形的面積。而圖 2 中的陰影部分就是圓環(huán)所圍成的區(qū)域，其所占區(qū)域的大小度量就是它的面積。蒈螈圖 3肂人們規(guī)定， 將邊長為1 米的正方形的面積設(shè)定為1 平方米 。于是，對于邊長為

9、a 米、 b米的矩形，總可以將其剖分為若干個邊長為1 米的正方形，進(jìn)而，這個矩形就由ab 個單位正方形組成，從而，這個矩形的面積為ab 平方米。如果利用米作為單位，不能度量盡矩形的邊，那么，還可以用更小的單位作為面積單位，即用101 米（即 1 分米）、 1001 米（即厘米）替代米作為單位，繼續(xù)度量矩形的邊，進(jìn)而，用平方分米、平方厘米作為面積單位，將矩形分割為若干個面積單位。莁這個過程實(shí)際上論證了“邊長相等的兩個矩形的面積的比，等于它們不相等邊的長度的比”。袇于是，由此可以得出：邊長為a、 b 的矩形的面積為ab。芄羅膅aaa袁圖 4羀對于長為a、高為 h 的平行四邊形，利用割補(bǔ)的方法（如圖

10、4 所示），可以將其化成邊長依次為 a、 h 的一個矩形，進(jìn)而，平行四邊形的面積為ah。螅同樣地，利用兩個全等的三角形可以拼接成一個平行四邊形，兩個梯形可以拼接成一個平行四邊形，我們同樣可以推導(dǎo)出三角形的面積公式以及梯形的面積公式。如圖5 所示。羂蒅羄羀莂衿芆肅在現(xiàn)實(shí)生活中，面積的測量單位主要包括：平方米、公畝、公頃、平方公里等等，其中的換算關(guān)系如下：蒁平方米 國際標(biāo)準(zhǔn)單位羋公畝 100 平方米羆公頃 10,000 平方米袂平方公里 1,000,000 平方米袃此外，有時也使用面積的市制單位平方市里、平方市尺，其中，一平方市里等于0.25平方公里， 1 平方市尺等于1/9 平方米。螈當(dāng)然，目前

11、，在臺灣還是用臺灣甲、坪，即一個臺灣甲等于9,699.173 平方公尺，一個坪等于 3.3058 平方公尺。而在香港，也使用平方呎（即平方英尺）作為面積單位。螇襖二、面積的歷史沿革羈最原始的面積（areas）公理就是用長乘以寬來計(jì)算矩形面積，而其它多邊形的面積，則是從矩形面積尋找出來的。如膇古埃及人用 acb d 來計(jì)算四邊順次為 a、 b、 c、 d 的四邊形的面積，可能他們把22任意四邊形看成四邊不等的矩形了，從而想到用兩組對邊的平均值來代替矩形的長與寬。他們還用推理來得到三角形面積為ca bd 為 0。2，即讓邊長為 a、b、c、d 的四邊形的一邊2但這些都是近似的計(jì)算公式。蕆我國古代數(shù)

12、學(xué)家（如劉徽）運(yùn)用圖形“割補(bǔ)”術(shù)計(jì)算出如三角形、梯形面積的準(zhǔn)確計(jì)算公式。而古希臘數(shù)學(xué)家在求面積上則運(yùn)用“原子論”學(xué)說及“窮竭法”。羅在數(shù)學(xué)史上，曾有一些著名的面積計(jì)算，如肀 1. 海倫 -秦九韶公式袀海倫公式（約1 世紀(jì)）用已知三角形三邊而求其面積及與之等價的中國秦九韶的（13世紀(jì)）。膇海倫公式又譯作海龍公式、希倫公式、 希羅公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫（ heron ）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)morriskline 在 1908年出版的著作考證，這個公式其實(shí)是阿基米得發(fā)現(xiàn)的，以托希倫二世的名發(fā)表。螃海倫公式意指：邊長分別為a 、b 、 c 的三角形，其

13、面積s 滿足：蒂 ss(sa)( sb)( sc) .芀其中， s 為半周長：s= a b c 。2羈由于任何 n 邊的多邊形都可以分割成 n-2 個三角形，所以，海倫公式可以用來求多邊形的面積。 比如說測量土地的面積的時候， 不用測三角形的高， 只需測三個頂點(diǎn)之間的兩點(diǎn)間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。襖我國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶（約公元1202-1261 年）獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了計(jì)算三角形面積的公式。他在數(shù)書九章一書中寫道：薀以小斜冪并大斜冪減中斜冪, 余半之 . 自乘于上 , 以小斜冪乘大斜冪,減上 ,余四約之 ,為實(shí) :一為多隅 ,開平方得積 。蠆這就是說： 對于邊長依次為a 、b 、c 的三角形

14、，小邊平方加上大邊平方的和，減去中邊平方，將所得的差除于2 ，然后將所得商平方，再用小邊平方乘大邊平方去減，所得差除于a2c 2( a 2c2b2 )24，開平方后就可得到三角形面積為2。4a 2c2( a2c2b2 ) 2蒄秦九韶把這個公式2稱為三斜求積公式，實(shí)質(zhì)上與海倫公式是4一樣的。 由于這兩個公式形式不同而實(shí)質(zhì)相同，而且兩人又是獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，所以人們稱它們?yōu)椤?海倫 -秦九韶公式 ”。裊此外，秦九韶還給出一些經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，如筑土問題中的“堅(jiān)三穿四壤五，粟率五十，墻法半之 ”等，即使對現(xiàn)在仍有使用價值。袃 2. 圓內(nèi)接四邊形的求積公式腿在古印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（brahmagupta， 598

15、-665）的著作中，出現(xiàn)了有圓內(nèi)接四邊形的求積公式膄 a(sa)( sb)(sc)(sd ) .蚃其中 a、 b、c、 d 為四邊形的四條邊，s 為四邊形的半周長。肁但是，當(dāng)時的他并未注明圓內(nèi)接四邊形，也未給出證明。實(shí)際上，這一公式僅適合于圓內(nèi)接四邊形，婆羅摩笈多并未認(rèn)識到這一點(diǎn)，12 世紀(jì)的婆什迦羅曾經(jīng)對婆羅摩笈多的四邊形公式提出過質(zhì)疑。后來, 馬哈維拉由這一公式出發(fā)，將三角形視為有一邊為0 的四邊形，從而獲得海倫公式。薈 3. 月形定理裊古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底（hippo crates ，公元前 460 年左右）將兩個月牙形的面積之和轉(zhuǎn)化成一個直角三角形的面積，稱這為月形定理。螄 4. 阿

16、基米得窮竭法膀阿基米得用窮竭法求得了拋物弓形、螺線等曲邊圖形的面積。阿基米得的求積術(shù)導(dǎo)致二千多年后積分術(shù)的發(fā)現(xiàn)。羇 5. 割圓術(shù)蚅我國劉徽（約3 世紀(jì)）用割圓術(shù)求圓的面積方法，成為我國第一位應(yīng)用極限方法解決數(shù)學(xué)問題的人。螅 6. 印度圓蒂印度人常用直觀的方法去研究幾何圖形（ 12 世紀(jì)前） 他們用 “印度圓” 的方法求圓面積：莇取兩個相等的圓，把它們等分成相同的分?jǐn)?shù)的全等扇形，然后把它們沿半徑剖開（但扇形的圓弧仍然連著） 、展平成鋸齒條形，然后把它們互相嵌入（如圖）即成一個近似的矩形。份數(shù)分得愈多，其結(jié)果愈接近矩形，這個矩形的高為圓半徑r，底為圓周長c，面積為rc，從而得圓面積為srcr 2

17、。2莆在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，至今還常用這模型作為講圓面積計(jì)算公式的直觀教具。著名的德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒（ 1571-1630）為了得圓面積公式而進(jìn)一步把圓看作無數(shù)個頂點(diǎn)在圓心、底在圓周上的三角形之和。他把圓看成了無數(shù)個“微小”三角形面積之和，這已經(jīng)具有了積分學(xué)的萌芽。薃 7. 曲面面積薀除了平面圖形的面積外，阿基米得還證明了有關(guān)曲面面積的一個結(jié)論：肀球的外切正圓柱的全面積與該球面面積之比3:2。膆自 17 世紀(jì)微積分學(xué)創(chuàng)立以來，由于有了明確的面積定義，圖形面積逐漸得到一套求積的科學(xué)方法。蚄在數(shù)學(xué)上 , 人類研究面積問題的發(fā)展脈絡(luò)是：羃首先規(guī)定邊長為1 的正方形的面積為1，并將其作為不證自明的公理。蕿然后，用這樣的所謂單位正方形來度量其它平面幾何圖形。較為簡單的正方形和長方形的面積是很容易得到的，利用割補(bǔ)法可以把平行四邊形的面積問題轉(zhuǎn)化為長方形的面積問題，進(jìn)而又可以得到三角形的面積。于是，多邊形的面積就可以轉(zhuǎn)化為若干三角形的面積。大家一定很熟悉圓的面積公式，即 r 2，其中r 是圓的半徑，但得到這個公式卻不是很容易的，實(shí)際上， 圓面積的嚴(yán)格定義要用到極限的概念。對面積的深入研究導(dǎo)致了近代測度理論的誕生和發(fā)展