梯形常用輔助線例析

1、梯形常用輔助線例析河南李豐先由于梯形兩腰具有不平行性的特殊性，所以在解決梯形有關(guān)問題時(shí)，常常通過作輔助線 的方法將其分割為三角形、平行四邊形、矩形等，從而把梯形問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的問題。 梯形常用的輔助線做法有平移一腰、平移一條對(duì)角線、作高、延長兩腰等。如圖例1如圖所示，等腰梯形 ABCD中，AD/ BC, BD平分/ ABC試說明AB=AD.若AD=2，/ C=60求梯形ABCD的周長解：t BD平分/ ABCD= / DBCt AD / BC/ DBC= / ADB/ ABD= / ADB(1) AB=AD過D作DE / AB交BC于 Et AD / BC,AB=CD, /-Z ABC=

2、/ C=600t DE / AB, /Z DEC= Z ABC=600/Z DEC=Z C=600DEC是等邊三角形，故 EC=CD= DEtAD / BC，DE/ AB/四邊形ABED是平行四邊形，由知AB=AD/ 四邊形 ABED 是菱形，/ AB= BE = DE = AD =2/ EC=CD= DE =2/梯形 ABCD 的周長=AD+DC+BC+AB=AD+DC+CE+EB+AB=10點(diǎn)撥：本題通過平移一腰，將梯形切割為一個(gè)平行四邊形（菱形）和一個(gè)等邊三角形，這 是一種常用的方法，是梯形、平行四邊形、三角形的綜合。例2如圖鐵路基橫斷面為等腰梯形 ABCD，已知路基底寬AB=6m斜坡B

3、C與下底CD的夾角為45, 底CD的寬解：作AE丄CD于E，BF丄CD于F,/ BF / AE又 t AB / CD/四邊形ABFE為矩形，且AB=EF t四邊形ABCD是等腰梯形 BC=ADBCF與厶ADE重合故 CF=DE又tZ C=450 故 BF=CF=DE / CD=CF+EF+DE=2+6+2+10 (m)點(diǎn)撥：梯形的鐵塔、梯形的路基、梯形的橫斷面都是現(xiàn)實(shí)生活中常見的形狀，常常從同 一底的兩個(gè)頂點(diǎn)向另一底作垂線，這樣可以把梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形，使問 題得以解決。積交例3女口圖等腰梯形 ABCD中，AD/ BC，AB=CD 對(duì)角線AC丄BD，AD=4 cm，BC=10

4、cm求梯形ABCD的面 解：過點(diǎn)D作DF / AC交BC的延長線于F,作DE丄BCBC于E四邊形 ACFD是平行四邊形二DF=AC,CF=AD=4 AC 丄 BD,AC / DF/ BDF= / BOC=90 AC=BD 二 BD=DF / BF=BC+CF=141二 DE= 2 BF=71 2/. S 梯形 ABCD = 2( 4+10 )x 7=49 (CM )點(diǎn)撥：過梯形的一個(gè)頂點(diǎn)平移一條對(duì)角線，可以把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，從而使問題得到解決例4如圖，已知等腰梯形 ABCD的中位線EF的長為6, 腰AD的長為5,求該等腰梯形的周長解：過點(diǎn)F作MN/ AD交AB于M，交DC的延長線于N MN / AD，DN / AM四邊形AMND為平行四邊形，二AD=MN，DN=AM又 CF=FB，Z N= / FMB，/ B=Z FCN FMB與厶FNC關(guān)于點(diǎn)F成中心對(duì)稱 BM=CN,FM=FN 又 ED=EA,且 AD=MN DE平行且等于FN同理可得EF=AM=AB MB 2EF=DC+CN+ABMB=DC+AB周長=DC+ AB+AD+BC=2EF+2AD=EF+AD