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1、第五節(jié)齊次線性方程組,齊次線性方程組(4.2)有非零解的充要條件 齊次線性方程組解的性質(zhì) 基礎(chǔ)解系 解的結(jié)構(gòu) 練習(xí)題,1. 齊次線性方程組(4.2)有非零解的充要條件,或向量形式,定理8 以下命題等價(jià)(即互為充要條件):,(1) AX=0(4.2) 有非零解;,(4) 秩 An.,推論：齊次線性方程組 (4.2) 只有零解,證明 由矩陣、向量的運(yùn)算、,于是, 以上4個(gè)命題相互等價(jià).,(2)-3)-(4)-(3)-(2)-(1),線性相關(guān)定義,得(1)推(2),2. 齊次線性方程組解的性質(zhì),（可推廣至有限多個(gè)解）,(解向量的和,數(shù)乘仍是 解),性質(zhì)1,證明 由題設(shè)知,齊次線性方程組的解的集合V稱

2、為齊次線方程組的解空間(space of solution)。,3. 基礎(chǔ)解系,(1) 向量組,線性無(wú)關(guān) ;,(2),(3) AX=0 的任一解都可以由,線性表示。,則稱向量組(I)是齊次線性方程組,的一個(gè)基礎(chǔ)解系。,定義12 設(shè)A是一個(gè)sn矩陣,如果:,都是AX=0的解；,含有n-r個(gè)向量。,證明分幾步:,1. 用初等行變換將系數(shù)陣A化為階梯形矩陣; 個(gè)解。,(1) 基礎(chǔ)解系不是唯一的。,(2) 當(dāng),時(shí)，解集合(解空間)是,定理9 假設(shè)A是一個(gè),則齊次線性方程組AX=0,存在基礎(chǔ)解系, 且基礎(chǔ)解系,注：,定義：齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系又稱為解空間的基。,試求齊次線性方程組,例 設(shè)A=,秩A=3 ,基礎(chǔ)解系含 53=2個(gè)向量,是原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系

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