電大第三版常微分方程答案小抄參考

1、習(xí)題1.21=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 兩邊積分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0時(shí)，y=0原方程的通解為y= cex,x=0 y=1時(shí) c=1特解為y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx兩邊積分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時(shí) c=e特解：y=3= 解：原方程為：=dy=dx 兩邊積分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程

2、為： dy=-dx兩邊積分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程為： =-令=u 則=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程為： =+-則令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程為：=兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0時(shí)，y=0.所以原方程的通解為sinycosx=c.8 +=0

3、 解：原方程為：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程為：=ln令=u ,則=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解：原方程為：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,則=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解：令x+y=u,則=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程為：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+

4、x=c xy-y+y-x-x=c14: =解：原方程為：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程為：=（x+4y）+3令x+4y=u 則=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 證明： 令xy=u,則x+y= 則=-，有： =f(u)+1 du=

5、dx 所以原方程可化為變量分離方程。1） 令xy=u 則=- (1)原方程可化為：=1+（xy） (2)將1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲線，使它的切線坐標(biāo)軸間的部分初切點(diǎn)分成相等的部分。解：設(shè)（x +y ）為所求曲線上任意一點(diǎn)，則切線方程為：y=y(x- x )+ y 則與x軸，y軸交點(diǎn)分別為： x= x - y= y - x y 則 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲線上任意一點(diǎn)切線與該點(diǎn)的向徑夾角為0的曲線方程，其中 = 。解：由題意得：y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 則y=tgx 所以 c=1 y=x.19.證明曲線上的切線

6、的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。 證明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點(diǎn)，則y=kx 則：y=kx +c 即為所求。 常微分方程習(xí)題2.11.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得：3 解：原式可化為： 12解1516解： ，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為 令方程組則有令當(dāng)當(dāng)另外 19. 已知f(x).解：設(shè)f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導(dǎo)得20.求具有性質(zhì) x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0

7、)=0. x(t)=) 兩邊積分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當(dāng)t=0時(shí) x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t習(xí)題2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化為：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5+=解：原方程可化為：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （

8、*）中 得：是原方程的解.13這是n=-1時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以，令 p(x)= q(x)=-1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊同乘以 令 這是n=2時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 p（x）= q(x)=由一階線性方程的求解公式 = =15 這是n=3時(shí)的伯努利方程。兩邊同除以 令 = p(y)=-2y q(y)= 由一階線性方程的求解公式 =16 y=+p(x)=1 q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于t0,使得又是齊線性方程組的基本解組非齊線性方程組的解又對(duì)于非齊線性方程組的滿足初始條件的解x(t)，都存在固定的常數(shù)使得從而故上面方程的每一個(gè)

9、解在上有界b) 時(shí)，當(dāng)tn時(shí)由a)的結(jié)論故時(shí)，原命題成立 11、給定方程組 （5.15）這里a(t)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，設(shè)是（5.15）的一個(gè)基解矩陣，n維向量函數(shù)f(t,x)在，上連續(xù)，試證明初值問(wèn)題： （*）的唯一解是積分方程組 （*）的連續(xù)解。反之，（*）的連續(xù)解也是初值問(wèn)題（8）的解。證明：若是（*）的唯一解則由非齊線性方程組的求解公式即（*）的解滿足（*）反之，若是（*）的解，則有兩邊對(duì)t求導(dǎo)：即（*）的解是（*）的解習(xí)題5.31、 假設(shè)a是nn矩陣，試證：a) 對(duì)任意常數(shù)、都有exp(a+a)=expaexpab) 對(duì)任意整數(shù)k,都有(expa)=expka (當(dāng)k是負(fù)整數(shù)時(shí)，規(guī)定

10、(expa)(expa)證明：a) （a）（a）（a）（a） exp(a+a)= expaexpab) k0時(shí)，(expa)expaexpaexpa exp（a+a+a） expka k0 (expa)(expa)=exp(-a) = exp(-a)exp(-a)exp(-a) exp(-a)(-k) expka 故k，都有(expa)=expka2、 試證：如果是=ax滿足初始條件的解，那么expa(t-t)證明：由定理8可知(t)-1(t0) (t) 又因?yàn)?t)= expat , -1(t0)=( expat0)-1= exp(-at0), f(s)=0,又因?yàn)榫仃?（at）（- at0

11、）=（- at0）（at）所以 expa(t-t)3、 試計(jì)算下面矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量a） b）c） d） 解：a）det（ea）=(5)(+1)=0=5, =1對(duì)應(yīng)于=5的特征向量u=, ()對(duì)應(yīng)于=1的特征向量v=, ()b) det（ea）=(+1)(+2)(2)01，2，2對(duì)應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ）對(duì)應(yīng)于2的特征向量u2， （ ）對(duì)應(yīng)于2的特征向量u3， （ ）c）det（ea）=(+1)2(3)0 1（二重），3對(duì)應(yīng)于1（二重）的特征向量u， （ 0 ）對(duì)應(yīng)于3的特征向量v, （ ）d) det（ea）=(+3)(+1)(+2)=0 1，2，3 對(duì)應(yīng)于1的特征向量u1， （ 0 ） 對(duì)應(yīng)于2的特征向量u2， （ ） 對(duì)應(yīng)于3的特征向量u3， （ ）4、 試求方程組=ax的一個(gè)基解矩陣，并計(jì)算ex