完整版初中圓題型總結20200930180920

1、圓的基本題型縱觀近幾年全國各地中考題，圓的有關概念以及性質等一般以填空題， 選擇 題的形式考查并占有一定的分值；一般在 10分-15分左右，圓的有關性質，如 垂徑定理，圓周角，切線的判定與性質等綜合性問題的運用一般以計算證明的形 式考查；利用圓的知識與其他知識點如代數函數， 方程等相結合作為中考壓軸題 將會占有非常重要的地位，另外與圓有關的實際應用題，閱讀理解題，探索存在 性問題仍是熱門考題，應引起注意下面究近年來圓 的有關熱點題型，舉例解析 如下。一、圓的性質及重要定理的考查基礎知識鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關 系.（3）圓周角定理及推論（4）圓內接四邊形

2、性質【例11 （江蘇鎮(zhèn)江）如圖，AB為。O直徑，CD為弦，且CD AB，垂足為H .（1）OCD的平分線CE交。O于E，連結0E .求證：E為弧ADB的中點；（2）如果的半徑為1，CD .3，求0到弦AC的距離;填空：此時圓周上存在【解析1 (1) QOC0E，又 0CE DCE，0E / CD .EBDCE .又CD AB， A0EB0E 90.E為弧ADB的中點.(2)Q CD AB，AB 為O 0的直徑，CD .3，CH -CD .又 0C 1， sin COB 兇 d 3 .22OC 12COB 60o，BAC 30o.11作 OP AC 于 P，貝U OP OA .22【點評】 本題

3、綜合考查了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數求解問題的 能力.運用垂徑定理時，需添加輔助線構造與定理相關的“基本圖形”.幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距，本題的弦心距就是指線段 0D的長.在圓中 解有關弦心距半徑有關問題時，常常添加的輔助線是連半徑或作出弦心距，把垂 徑定理和勾股定理結合起來解題.如圖，O 0的半徑為r ,弦心距為d,弦長a之間2的關系為r2 d2 -.根據此公式,在a、r、d三個量中,知道任何兩個量就可2以求出第三個量.平時在解題過程中要善于發(fā)現并運用這個基本圖形.【例2】（安徽蕪湖）如圖，已知點E是圓0上的點，.B、C分別是劣弧AD的三等分點，BOC 46,則AED的度數

4、為.【解析】由B、C分別是劣弧AD的三等分點知，圓心角/ AOBM BOCh COD,又 BOC 46，所以/ AOD=138.根據同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。從而有AED = 69o.點評 本題根據同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關系。CE分別是BC AB上的高,【強化練習】【1】.如圖，O0是ABC勺外接圓， BAC 60，AD且AD CE交于點H,求證：AH=AO，求AB2+ cD的值。1oe=2Cd【2】(第25題)如圖，O O是厶ABC的外接圓，弦BD交AC于點E,連接CD，且AE=DE , BC=CE.(1) 求/ ACB的度數；(2) 過點0作OF丄AC于點F,延長F0交BE

5、于點G, DE=3 , EG=2，求AB的長.二、直線與圓的位置關系基礎知識鏈接：1、直線與圓的位置關系有三種：如果一條直線與一個圓沒有公共點，那么就說這條直線與這個圓相離如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么就說這條直線與這個圓相切，此時這條直線叫做圓的 切線,這個公共點叫做切點如果一條直線與一個圓有兩個公共點，那么就說這條直線與這個圓 相交，此時 這條直線叫做圓的割線,這兩個公共點叫做交點2、直線與圓的位置關系的判定；3、 弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；4、和圓有關的比例線段(1) 相交弦定理圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等；(2) 推論 如果弦與直徑垂直相交

6、，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段 的比例中項；(3) 切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交 點的兩條線段長的比例中項；(4) 推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條 線段長的積相等。5、三角形的內切圓(1)有關概念：三角形的內切圓、三角形的內心、圓的外切三角形、多邊形的內切圓、圓的外切多邊形；6圓的切線的性質與判定。3=AC - BCJLGNe 0CAC 図、X業(yè)0也=-衛(wèi) = UnX1)E祐0 OE阮且應VOE * mE，dE【例1】(甘肅蘭州)如圖，四邊形ABCD內接于。0, BD是。O的直徑，AE CD ,垂足為E , DA平分

7、BDE .(1)求證：AE是。0的切線;(2)若 DBC 30, DE 1cm，求 BD 的長.AOCED【解析】(1)證明：連接OA, QDA平分BDE ,BDAEDAQOA OD,ODAOAD .OADEDA .OA / CE .Q AE DE ,AED 90,OAEDEA 90.BAE是。0的切線.AE OA.(2) Q BD是直徑，BCDBAD90 .Q DBC 30,BDC60,BDE120 .Q DA平分 BDEBDAEDA60.ABDEAD30.在 Rt AED 中，AED90,EAD30, AD 2DE .在 Rt ABD 中，BAD90,ABD30, BD 2ADQ DE的長

8、是1cmBD的長是4cm4DE .D【點評】證明圓的切線,過切點的這條半徑為必作輔助線.即經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【例2】(廣東茂名)如圖，O O是厶ABC勺外接圓，且ABAC,點D在弧BC上運動，過點D作DE/ BC DE交AB的延長線于點E,連結AD BD.BCEDCA(1) 求證：/ ADZ E;(2)當點D運動到什么位置時，DE是。O的切線？請說明理由.(3)當AB=5, BC=6時，求O 0的半徑.(4分)【解析】(1)在厶ABC中，t AB=ACZ ABCZ C.DE/ BC / ABCZ E， Z E=Z C.又/ ADB=Z C, Z ADB=Z E.(2

9、) 當點D是弧BC的中點時，DE是。O的切線.理由是：當點D是弧BC的中點時，則有ADLBC且AD過圓心O.C又 DE/ BC, ADL ED. DE是。O的切線.(3) 連結BO AO并延長AO交BC于點F,1則 AFL BC,且 BF-BG=3.2又 AB=5,. AF=4.設OO的半徑為 r，在 Rt OBF中，OF=4 r , OB=r , BF=3,r 2 = 32 +(4 r ) 2解得r二25 , O的半徑是25 .8 8【點評】 本題綜合運用了等腰三角形的性質，圓的切線判定，解題最關鍵是抓住題中所給的已知條件，構造直角三角形，探索出不同的結論【例4】 已知：如圖7,點P是半圓O

10、的直徑BA延長線上的點，PC切半圓于C 點，CDLAB于 D點，若 PA PO 1: 2, DB= 4,求 tan Z PCA及 PC的長。圖7證明：連結CB PC切半圓 0于 C點，/ PC*/ B vZ P=Z P,.PA3A PCB AC BC= PAPCr 51 dnACPA1tan 厶PCA = tan B =BCPC2v AB是半圓O的直徑，.Z ACB= 90又 v CDL ABE 羅 BD* AB EDBD = -A = 4. AB= AD+ DB= 5v ： . . -刊 :.PC=2PA = :.33【例5】已知：如圖8,在Rt ABC中,E為AB上的一點，DE= DC以D

11、為圓心, 求證：(1) AC是。D的切線；(2) AB+ E吐AC分析：(1)欲證AC與。D相切，只要證圓心D到AC的距離等于。D的半徑BD 因此要作DF丄AC于F(2)只要證AO AF+ FC= AB+ EB證明的關鍵是證 BE= FC,這又轉化為證 EBD CFD證明：(1)如圖8,過D作DF丄AC, F為垂足v AD是Z BAC的平分線，DBL AB . D吐 DF點D到AC的距離等于圓D的半徑.AC是O D的切線(2)v AB丄BD, O D的半徑等于 BD, AB是O D的切線， A吐AFv在 Rt BED和 Rt FCD中 , ED= CD, BD= FD BEDA FCD - B

12、E= FC AB+ BE= AF+ FC= AC小結：有關切線的判定，主要有兩個類型，若要判定的直線與已知圓有公共點, 可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判定的直線與已知圓的公共點沒有給出, 可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類Kx Ml J I-r7【例6】 已知：如圖9 , AB為O O的弦,P為BA延長線上一點,PE與O O相切 c于點E , C為朋 中點,連CE交AB于點F。求證：分析：由已知可得 PE = PA- PB因此要證PF = PA- PB,只要證PE= PF。即證Z PFE=Z PER證明一：如圖9，作直徑CD交AB于點G連結ED, Z CED-

13、 90.點 C為的中點， CDLAB / CFG=Z D PE為。O切線，E為切點 / PEF=Z D,aZ PEF=Z CFG/ CFG=Z PFEPFE=Z PEF - PE= PFpE= pa- pb,. pF= PA- PB連結AC AE.點 C是禹 的中點, AC= BC ,/ CAB=Z AEC PE切O O于點 E,aZ PEAZ CvZ PFE=Z CABZ C,Z PEF=Z PEAZ AEC Z PFE=Z PEF, - PE= PF v pE= pa- PB,. pF2 pa- PB【例7】(1)如圖10,已知直線AB過圓心O,交。O于A、B,直線AF交。O 于F (不與

14、B重合)，直線I交。O于C、D,交BA延長線于E,且與AF垂直， 垂足為G連結AC ADCAGAC- AD-AE- AF（2）在問題（1）中，當直線I向上平行移動，與。O相切時，其它條件不變。 請你在圖101中畫出變化后的圖形，并對照圖10標記字母； 問題（1）中的兩個結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果 不成立，請說明理由。證明：（1）連結BDv AB是O O 的直徑，/ ADB= 90 Z AGGZ ADB= 90 又v ACDB是O O內接四邊形/ Ad B,AZ BAB / CAG連結CFv/ BAD=Z CAG / EAGZ FAB/ DAE=Z FAC又 v/ ADC=/ F,

15、.AD0AAFCAD AE.廠，二 AC- AD= AE- AF(2)見圖10- 1兩個結論都成立，證明如下： 連結BC,v AB是直徑，./ ACB= 90/ ACB=/ AGG 90v GC切O O于 C,./ GCAf/ ABC/ BAG / CAG(即/ BAD=/ CAG 連結CFv/ CAG=/ BAC / GCG/ GAC/ GCG/ CAE / ACFG/ ACG-/ GFC / Eg/ ACG-/ CAE / ACG/ E, ACFA AEC .-.aC= AE- AF (即 AC- ADGAE- AF)AE AC說明：本題通過變化圖形的位置，考查了學生動手畫圖的能力，并通過

16、探究式的 提問加強了對學生證明題的考查，這是當前熱點的考題，希望引起大家的關注?！緩娀毩暋俊?】(第22題)如圖，O O的直徑AB為10cm，弦BC為5cm，D、E分別是/ ACB的平分線與O O，AB的交點，P為AB延長線上一點，且 PC=PE.(1 )求AC、AD的長；(2)試判斷直線 PC與O O的位置關系，并說明理由.【2】(第23題)如圖，在 ABC中，/ 0=90，/ ABC的平分線交 AC于點E，過點E作 BE的垂線交AB于點F，O O是厶BEF的外接圓.(1) 求證：AC是O O的切線.(2) 過點E作EH丄AB于點H，求證：CD = HF .一【3】(第25題)如圖，在O

17、O中，AB , CD是直徑，BE是切線，B為切點，連接 AD , BC, BD .(1) 求證： ABD CDB ;(2) 若/ DBE=37 求/ ADC 的度數.【4】(第24題)如圖,/ D=2 / CAD .(1)求/ D的度數；AB為O O的直徑,PD切O O于點C,交AB的延長線于點 D，且的長.【5】(第27題)如圖，RtA ABC中，/ ABC=90以AB為直徑作半圓O O交AC與點D, 點E為BC的中點，連接DE .(1)求證：DE是半圓O O的切線.(2)若/ BAC=30 , DE=2，求AD的長.三、圓與圓的位置關系的考查基礎知識鏈接： 如果兩個圓沒有公共點，那么就說這

18、兩個圓相離，如圖(1)、(2)、 所示其中又叫做外離,(2)、(3)又叫做內含.(3)中兩圓的圓心相同,這 兩個圓還可以叫做同心圓.如果兩個圓只有一個公共點,那么就說這兩個圓相切,如圖(4)、(5)所示.其中(4) 又叫做外切,(5)又叫做內切.如果兩個圓只有兩個公共點，那么就說這兩個圓相 交,如圖所示.【例1】(甘肅蘭州).如圖是北京奧運會自行車比賽項目標志，則圖中兩輪所在圓的位置關系是()A內含 B.相交C相切 D.外離【解析】 圖中的兩圓沒有公共點，且一個圓上的所有點都在另一個圓的外部， 故兩圓外離，選D.【點評】圓與圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內切、內含.其關系可 以用圓與圓

19、公共點的個數及點與圓的位置關系來判定 ，也可以用數量關系來表 示圓與圓的位置關系：如果設兩圓的半徑為 n、a ,兩圓的圓心距為d,則圓與圓的位置關系與數量關系 如下表兩圓的位置關系數量關系及其識別方袪外離外切孑=口十吃相交ri 川門十吃Ai內切d-r - r2(ri內含護5 s灼)【例2】(赤峰市)如圖(1)，兩半徑為r的等圓。O和。Q相交于M ， N兩點,且OQ過點Oi 過M點作直線AB垂直于MN，分別交O O和。Q于A, B兩點,連結NA, NB .（1）猜想點O2與OO有什么位”置關系，并給出證明；（2）猜想 NAB的形狀，并給出證明；（3）如圖（2）,若過M的點所在的直線AB不垂直于M

20、N，且點A, B在點M的兩側，那么（2）中的結論是否成立，若成立請給出證明.圖（1）圖（2）【解析】解：（1） O2在eO, 上證明：TO Q過點 O1 ,O1O2r .又O O的半徑也是r , 點O2在OO上.圖（1）（2） NAB是等邊三角形證明：Q MN AB , NMB NMA 90.圖（2）BN是O Q的直徑，AN是O O的直徑，即 BN AN 2r , O2在 BN 上, O1 在 AN 上.連結O1O2，則O1O2是 NAB的中位線.AB 2O1O2 2r .AB BN AN，則 NAB是等邊三角形.（3）仍然成立.證明：由（2）得在O O中弧MN所對的圓周角為60 .在O O中

21、弧MN所對的圓周角為60 . 當點A, B在點M的兩側時,在O O中弧MN所對的圓周角 MAN 60，在O Q中弧MN所對的圓周角MBN 60o , NAB是等邊三角形.注：（2）, （3）是中學生猜想為等腰三角形證明正確給一半分.【點評】相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，又且。 O2過點Oi，構建對稱性知,OO過Q,再證 NAB是等腰三角形；（2） 1是的基礎上發(fā)散探究，具有一定的 開放性.四、圓與多邊形的計算考查基礎知識鏈接：1、圓與正多邊形的關系的計算；2、弧長、扇形面積、圓錐側面積全面積的計算.【例1】（贛州）小芳隨機地向如圖所示的圓形簸箕內撒了幾把豆子，貝U豆子落到圓內接正方形（陰影部

22、分）區(qū)域的概率是 【解析】設圓的半徑為1,則圓的面積為，易算得正方形的邊長為 2，正方形 面積為2,則豆子落到圓內接正方形（陰影部分）區(qū)域的概率是 -.【點評】本題考查的是幾何概率，解題的關鍵是圓與圓內接正方形的面積， 根據 古典概型，可轉化為面積之比.【例2】兩同心圓，大圓半徑為3,小圓半徑為1,貝U陰影部分面積為 【解析】根據大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為 8，圖中的陰影面積為圓 環(huán)面積的一半4 .【點評】有關面積計算問題，不難發(fā)現，一些不規(guī)則的圖形可轉化為規(guī)則的圖形 計算，本題就較好的體現了轉化方法和整體思想 .五、圓的綜合性問題的考查基礎知識鏈接：圓的有關知識與三角函數、一次函數、

23、二次函數等綜合應用?！纠?】如圖，在平面直角坐標系中，圓 M經過原點O,且與x軸、y軸分別相交于A 8,0、BO, 6兩點.(1) 求出直線AB的函數解析式；(2) 若有一拋物線的對稱軸平行于 y軸且經過點M頂點C在OM上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數解析式;(3)設(2)中的拋物線交x軸于D E兩點，在拋物線上是否存在點 P,使得1SPDE SaBC ?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.10【解析】(1)設AB的函數表達式為ykxb. A 8,0 , B 0, 6 , a 068kb.34,6.直線AB的函數表達式為(2)設拋物線的對稱軸與OM3x4相交于一點，依題意

24、知這一點就是拋物線的頂點又設對稱軸與x軸相交于點 N ,在直角三角形 AOB中，AB .AO2 OB2.826210.因為OM經過 OA、B三點，且 AOB 90 , AB為OM的直徑，.半徑 MA=5N 為 A0 的中點 AN=NO=4 a MN=3-CN=M-MN=5-3=2, AC 點的坐標為（-4，2）.設所求的拋物線為y ax2 bx c4,b2a則 2 16a 4b c, b4,6 c.c6.1a所求拋物線為y - x2 4x 62人12（3）令 X2 4x 6.0,得D E兩點的坐標為D （-6，0）、E （-2，0），所以DE=41 又AC=2 /5,BC 4 5,直角三角形的

25、面積S abc丄？2.5?4、520.2假設拋物線上存在p x, y使得S pde S abc，即-?DE ? y ?20, y 1 .10 2 10R 4/2,1,P24近,1R 4V6,1,P44慮，1【點評】 本題是一次函數、二次函數與圓的綜合性問題，解題的關鍵是抓住圖 形中的點的坐標，運用待定系數數的方法求出解析式；【例2】(第27題)如圖，在OO的內接 ABC中，/ ACB=90，AC=2BC過C作AB的垂線I交OO于另一點D,垂足為E.設P是上異于A, C的一個動點,射線AP交I于點F，連接PC與 PD PD交AB于點G.(1) 求證： PASA PDF(2) 若 AB=5， -，

26、求 PD的長;(3) 在點P運動過程中，設_!=x，tan / AFD=y求y與x之間的函數關系式.(不要求寫出x的取值范圍) 圓的綜合題(1) 證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個角相等或邊長成比例因為題中因 圓周角易知一對相等的角，那么另一對角相等就是我們需要努力的方向， 因為涉及圓，傾向于找接近圓的角/ DPF利用補角在圓內作等量代換，等 弧對等角等知識易得/ DPF2 APC則結論易證.(2) 求PD的長，且此線段在上問已證相似的厶 PDF中，很明顯用相似得 成比例，再將其他邊代入是應有的思路利用已知條件易得其他邊長，則 PD可求.(3) 因為題目涉及/ AFD與也在第一問所得相似的 PDF

27、中，進而考慮轉 化，/ AFD2 PCA連接 PB得/AFD2 PCAM PBG過 G點作AB的垂線， 若此線過PB與AC的交點那么結論易求，因為根據三角函數或三角形與三 角形ABC相似可用AG表示/ PBG所對的這條高線.但是“此線是否過 PB與AC的交點”？此時首先需要做的是多畫幾個動點P,觀察我們的猜想.驗證得我們的猜想應是正確的，可是證明不能靠畫圖，如何求證此線過PB與 AC的交點是我們解題的關鍵.常規(guī)作法不易得此結論，我們可以換另外的 輔助線作法，先做垂線，得交點 H,然后連接交點與B,再證明/ HBGMPCAM AFD因為 C D關于AB對稱，可以延長 CG考慮P點的對 稱點.根據

28、等弧對等角，可得/ HBGMPCA進而得解題思路.(1) 證明, / DPF=180 -Z APD=180 -亦所對的圓周角=180-疋所對的圓周 角=L所對的圓周角=Z APC在厶 PAC?3 PDF中,f ZAPC=ZDPF ，(2) 解：如圖1連接PO則由忑=亦，有POLAB且/PAB=45 , APO AEF都為等腰直角三角形.在 Rt ABC中, AC=2BC A品bC+aC=5bC ,ab=5二 BC=., AC=2 7, CE=AC?sir BAC=AC=2 匚？丄2,A5 5AE=AC?cosS BAC=AC?=2 ? =4,A5 5 AEF為等腰直角三角形， EF=AE=4

29、FD=FC+CD=EF- CE)+2CE=EF+CE=4+2=6 APC為等腰直角三角形，AO=?AB= AP=2 PDFA PAC丄丄圖iBPE CA PD=2(3)解：如圖2,過點G作GHLAB交AC于H,連接 圓,連接CG并延長交。0于Q HCL CB GHL GB C G都在以HB為直徑的圓上, / HBGMACQ CC D關于AB對稱,G在AB上 ,- Q P關于AB對稱- J , Z PCAM ACQ Z HBGZ PCA PASA PDF Z PCAZ PFDZ AFD y=tan Z AFD=tanZ PCA=tanZybcHG噸 HAAG BAC?A4 .yj丄=x.本題考查

30、了圓周角、相似三角形、三角函數等性質，前兩問思路還算簡單， 但最后一問需要熟練的解題技巧需要長久的磨練總結.總體來講本題偏難，學生練習時加強理解，重點理解分析過程，自己如何找到思路.【例3】(第24題)如圖，已知：在矩形 ABCD勺邊AD上有一點O, OA=；， 以O為圓心，OA長為半徑作圓，交AD于 M恰好與BD相切于H,過H作弦HP/ AB, 弦HP=3若點E是CD邊上一動點(點 E與C, D不重合)，過E作直線EF/ BD 交BC于F,再把 CEF沿著動直線EF對折，點C的對應點為G.設CE=x EFG 與矩形ABCDt疊部分的面積為S.(1) 求證：四邊形ABHP是菱形；(2) 問厶E

31、FG的直角頂點G能落在。0上嗎？若能，求出此時x的值；若不能, 請說明理由；(3) 求S與x之間的函數關系式，并直接寫出 FG與。0相切時，S的值.團(備用團)第3題圖考點：圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性質；垂徑定理；切線的性質；切線長定理；軸對稱的性質；特殊角的三角函數值所有專題：壓軸題.分析： (1)連接OH可以求出/ HOD=6 ,Z HDO=3，從而可以求出AB=3 由HP/ AB HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再根據切線長定理可得 BA=BH即可證到四邊形ABHP是菱形.(2) 當點G落到AD上時，可以證到點G與點M重合，可求出x=2.(3) 當

32、OWx 2時，如圖，S=Segf,只需求出FG就可得到S與x之間的函數關系式；當2x3時，如圖，S=Sgef- Ssgf,只需求出SG RG就可得到 S與x之間的函數關系式.當FG與。0相切時，如圖，易得FK=AB=3 KQ=AQ -AK=2- 2. ；+.再由FK=；KQ艮卩可求出x，從而求出S.解答：解：(1)證明：連接OH如圖所示.四邊形ABCD是矩形，/ ADCh BAD=90 , BC=AD AB=CD HP/ AB/ ANH# BAD=180 ./ ANH=90 .圖/，HN=PN=HR=.OH=OAh, sin / HON基；.OH 2:丄 HON=6 BD與OO相切于點H, O

33、HL BD:丄 HDO=3 . OD=2 ；. AD=3 ;. BC=3 ；.vZ BAD=90，/ BDA=30 . tan Z BDA厶=心=；.AD SV3 3 AB=3v HP=3 AB=HPv AB/ HP四邊形ABHP是平行四邊形.vZ BAD=90 , AMI是OO 的直徑， BA與OO相切于點A.v BD與OO相切于點H, BA=BH平行四邊形ABHP是菱形.(2)AEFG的直角頂點G能落在OO 上. 如圖所示，點G落到AD上.v EF/ BD Z FECZ CDBvZ CDB=90 - 30 =60, Z CEF=60 .由折疊可得：Z GEFZ CEF=60 . Z GED

34、=60 .v CE=x GE=CE=x ED=DC CE=3- x. cosZ GED= = .GE i x=2. GE=2 ED=1 GD= OG=AD AO- GD=3 :; - 7：=:;. OG=O.M點G與點M重合.此時 EFG的直角頂點G落在OO上，對應的x的值為2. 當 EFG的直角頂點G落在OO上時，對應的x的值為2.(3) 如圖，在 Rt EGF中， tan / FEG= =二面K FG= x.J S=GE?FG=x? ；x=x2.如圖，ED=3- x，RE=2ED=6 2x, GR=GEER=x-(6-2x) =3x- 6. tan Z SRG丄=)=亡，RC 3x _ 6

35、3 SG3 (x - 2).S ASGRG=?: (x - 2)= ；2(x-2). Sage= X2，2 S = SGEF_ Sasgr= x2 - ： (x-2) 2.2 2=- ：x2+6 J 磁-6 二.綜上所述：當OWx2時，? (3x- 6).S?x2;當 2vx3 時，S=Vx2+6/x 63 .2延長FG交AD于點Q,過點F作FK! AD垂足為K，當FG與OO相切于點T時， 如圖所示.四邊形ABCD是矩形， BC/ AD，/ ABCM BAD=90 Z AQFM CFG=60 . OT=；， OQ=2 AQ= +2. Z FKAZ ABCM BAD=90， 四邊形ABFK是矩形

36、. FK=AB=3 AK=BF=5-3x._ KQ=AQAK=3+2)-( 3庶-V3x) =2- 33x. 在 Rt FKQ中, tan Z FQK=-;.QX FK= QK 3二.； (2 -2；+. ；x). 解得：x=3- 1 ；.2V333. sx2二並x( 3_ 朋)22236.6.FG與OO相切時，S的值為門:-6.6點評：本題考查了矩形的性質、菱形的性質、切線的性質、切線長定理、垂徑 定理、軸對稱性質、特殊角的三角函數值、30角所對的直角邊等于斜邊的一半、 等腰三角形的性質等知識，綜合性非常強.【例4】(第23題)如圖1,在。0中，E是弧AB的中點，C為。0上的一動點(C 與E

37、在AB異側)，連接EC交AB于點F，EB=r (r是。0的半徑).3(1) D為AB延長線上一點，若 DC=DF證明：直線DC與。0相切；(2) 求 EF?EC的值；(3) 如圖2,當F是AB的四等分點時，求EC的值.圓的綜合題.(1) 連結OC OE OE交AB于H,如圖1，由E是弧AB的中點，根據垂徑 定理的推論得到 OEL AB則/HEFy HFE=90，由對頂相等得/ HFE CFD 則/ HEFV CFD=90，再由 DC二D得/CFDM DCF 加上/ OCEN OEC 所 以/OCEN DCEN HEFN CFD=90，于是根據切線的判定定理得直線 DC與 OO相切；(2) 由弧

38、AE=fi BE,根據圓周角定理得到/ ABEN BCE加上/ FEBK BEC 于是可判斷 EBFA ECB利用相似比得到 EF?EC二BE (r) 2=r2;(3) 如圖 2，連結 OA 由弧 AE=fi BE得 AE=BE=r 設 OH二x 貝U HE=r- x， 根據勾股定理，在 Rt OAH中有AH+x2二r2;在Rt EAH中由AH+ (r - x) 2= (r) 2，利用等式的性質得x2-(r - x) 2=r2-( r) 2，即得x=r，則HE=r -r=r，在Rt OAH中,根據勾股定理計算出AH=，由OEL AB得AH=BH9而F是AB的四等分點，所以HF二AH二厶一，于是

39、在Rt EFH中可計算出EF= ；r，然后利用(2)中的結論可計算出EC(1)證明：連結 OC OE OE交AB于H,如圖1，VE是弧AB的中點，OEL AB/ EHF=90 ,/ HEFV HFE=90 ,而/ HFE CFD廠、/ HEFV CFD=90 , DC=DF(7Z CFDM DCF J而 OC=OE.-：Z OCEZOEC Z OCEZDCEZ HEF-Z CFD=90 ,- OCLCD,直線DC與OO相切；(2) 解：連結BCVE是弧AB的中點，弧 AE= BE, Z ABEZ BCE而Z FEBZ BEC EBFA ECB EF: BE=BE EC, EF?EC=bE (r

40、) 2=r2;(3) 解：如圖2,連結OAV 弧 AE= BE, AE=BE=r設 OH=x 貝U HE=r- x ,在 Rt OAH中 , AH+OH=OA,即 AH+x2=r2,在 Rt EAH中, AH+EH=EA,即 AH+ (r - x) 2= (r), x2(r -x) 2=r2( r) 2,即得 x=r , HE=r- r=r ,v OEL AB AH=BH而F是AB的四等分點,在 Rt EFH中,v EF?EC=r,o圖本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和 圓周角定理；會利用勾股定理進行幾何計算，利用相似三角形的知識解決 有關線段等積的問題.【例5】(第26題12分)如圖0