八年級(jí)數(shù)學(xué).培優(yōu)專(zhuān)題23面積的計(jì)算

1、專(zhuān)題 23面積的計(jì)算計(jì)算圖形的面積是幾何問(wèn)題中一種重要題型，計(jì)算圖形的面積必須掌握如下與面積有關(guān)的重要知識(shí)： 1.常見(jiàn)圖形的面積公式；2等積定理：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；3.等比定理：(1) 同底（或等底）的兩個(gè)三角形面積之比等于等于對(duì)應(yīng)高之比；同高（或等高）的兩個(gè)三角形面積 之比等于等于對(duì)應(yīng)底之比.(2) 相似三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)線(xiàn)段之比的平方.熟悉下列基本圖形、基本結(jié)論：s1s2s1s3s2s4ss21s3s1s3s4s2s1s3s2例 題 與 求 解【例 1】如圖 abc 內(nèi)三個(gè)三角形的面積分別為 5，8，10，四邊形aefd 的面積為 x ，則 x _.（黃岡市競(jìng)賽試題）解題

2、思路：圖中有多對(duì)小三角形共高，所以可將面積比轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段之比作為解題突破口.ae5f108db例 1 圖cda矩形 abcd apq【例 2】如圖，在abc 中，已知 bd 和 ce 分別是兩邊上的中線(xiàn)，并且 bdce，bd4，ce6， 那么abc 的面積等于 ( ) (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)a12 b14 c16 d18解題思路：由中點(diǎn)想到三角形中位線(xiàn)，這樣abc 與四邊形 bcde 面積存在一定的關(guān)系.aedb例 2 圖cbe cf dg【例 3】如圖，依次延長(zhǎng)四邊形 abcd 的邊 ab，bc，cd，da 至 e，f，g，h，使 ab bc cdah m ，若 s 2s ，求 m 的值.四邊形

3、 efgh 四邊形 abcd解題思路：添加輔助線(xiàn)將四邊形分割成三角形，充分找出圖形面積比與線(xiàn)段比之間的關(guān)系，建立關(guān)于m的方程.gdfachb例 3 圖e【例 4】如圖，p，q 是矩形 abcd 的邊 bc 和 cd 延長(zhǎng)線(xiàn)上的兩點(diǎn)，pa 與 cq 相交于點(diǎn) e，且pad qad，求證：s .解題思路：圖形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的線(xiàn)段、等積式，將它們與相應(yīng)圖形聯(lián)系起 來(lái)，促使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.ab例 4 圖qdecp【例 5】如圖，在abc 中，a90，ab8，ac6，若動(dòng)點(diǎn) d 從點(diǎn) b 出發(fā)，沿線(xiàn)段 ba 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) a 為止，移動(dòng)速度為每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度. 過(guò)點(diǎn) d 作 debc

4、交 ac 于點(diǎn) e，設(shè)動(dòng)點(diǎn) d 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 秒，ae 的長(zhǎng)為 y.x(1) 求出 y關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x 的取值范圍；(2) 當(dāng) x 為何值時(shí)，bde 的面積 s 有最大值，最大值為多少？ (江西省中考試題)解題思路：對(duì)于(1)利用adeabc 可得 y與x的關(guān)系式；對(duì)于(2)先寫(xiě)出 s 關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再求最大值.ad ebc例 5 圖【例 6】如圖，設(shè) p 為abc 內(nèi)任意一點(diǎn)，直線(xiàn) ap，bp，cp 交 bc，ca，ab 于點(diǎn) d，e，f.求證：(1)pd pe pf 1；ad be cfpa pb pc(2) 2ad be cf解題思路：過(guò)點(diǎn) a，p 分別作

5、bc 的垂線(xiàn)，這樣既可得到平行線(xiàn)，產(chǎn)生比例線(xiàn)段，又可以與面積聯(lián)系aefcdfpa起來(lái)，把a(bǔ)d轉(zhuǎn)化為面積比，利用面積法證明.afebd例 6 圖ca級(jí)1如圖， abcd 中，aebe12， 6cm2，則 的值為_(kāi). (濟(jì)南市中考試題)2如圖，正六邊形 abcdef 的邊長(zhǎng)為 2 _.b3cm，p 為正六邊形內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn) p 到各邊距離之和為ad cdcfcfpae第 1 題圖bd第 2 題圖ea第 3 題圖b3如圖，p 是邊長(zhǎng)為 8 的正方形 abcd 外一點(diǎn)，pbpc，pbd 的面積等于 48， pbc 的面積為 _. (北京市競(jìng)賽試題)4如圖，已知bof aof bod coe 的面積分別

6、為 30，40，35，84，則abc 的面積為_(kāi).(浙江省競(jìng)賽試題)abc2dceade5如圖，已知 ad 是abc 斜邊 bc 上的高，de 是adc 斜邊上的高，如果 dcad12，dcea，那么 等于 ( ) (金華市中考試題)a4ab9ac16ad25aaeadcfoeebdcb dcamb第 4 題圖第 5 題圖第 6 題圖6如圖，已知 m 是 abcd 邊 ab 的中點(diǎn)，cm 交 bd 于點(diǎn) e，則圖中陰影部分面積與 abcd 的面積之比為（ ）1 1 1 5 a b c d6 4 3 12（山西省中考試題）7如圖，在abc 中，debc，de 分別交 ab，ac 于點(diǎn) d，e，若

7、ade，則等于( )abc(浙江省寧波市中考試題)1 1 2 4a b c d4 2 3 98如圖，abc 是邊長(zhǎng)為 6cm 的等邊三角形，被一平行于 bc 的矩形所截，ab 被截成三等分，則圖中陰影部分面積面積為（ ）cm2. (廣東省競(jìng)賽試題) a4 b2 3 c3 3 d4 3aae ha daddefgbccbcbcb第 7 題圖第 8 題圖第 9 題圖9如圖，平面上有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形 abcd 和 abcd，且正方形 abcd的頂點(diǎn) a在正方形四邊形 abcd abm.dmc dac dbcdmcdbcdmc dac dbcabcd 的中心，當(dāng)正方形 abcd繞 a 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)

8、正方形重合部分的面積必然是一個(gè)定值. 這個(gè)結(jié)論 對(duì)嗎？證明你的判斷. （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）10如圖，設(shè)凸四邊形 abcd 的一組對(duì)邊 ab，cd 的中點(diǎn)分別為 k，m.求證：s dck.adkmb第 10 題圖c11 如圖 1，ab，cd 是兩條線(xiàn)段，m 是 ab 的中點(diǎn)， ， ， 分別表 dmc dac，dbc 的面積，當(dāng) abcd 時(shí)，有 dac2.(1) 如圖 2，若圖 1 中 ab 與 cd 不平行時(shí)，式是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2) 如圖 3，若圖 1 中 ab 與 cd 相交于點(diǎn) o 時(shí)， 問(wèn) 與 和 有何相等關(guān)系？試證明你的結(jié)論. （安徽省中考試題）acabcbacabcba

9、m damdacomb圖1cb圖2cd圖3b12如圖，在abc 中，acb90，abc30，將abc 繞頂點(diǎn) c 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為 （0 180），得到bc.(1) 如圖 1，當(dāng) abcb時(shí)，設(shè) ab與 cb 相交于點(diǎn) d，證明：cd 是等邊三角形；(2) 如圖 2，連接 aa，bb，設(shè)aca和bcb的面積分別為 和 .求證： 13.(3) 如圖 3，設(shè) ac 的中點(diǎn)為 e，ab的中點(diǎn)為 p，aca，連接 ep，當(dāng) _時(shí)，ep 長(zhǎng)度最大，最大值是_.（安徽省中考試題）aaaaa aepcd bcbcbbb圖1圖2b圖3b級(jí)1如圖，a 在線(xiàn)段 bg 上，abcd 和 defg 都是正方形，面

10、積分別為 7cm2和 11cm2， cde 的abcc面積等于_cm 2.（武漢市競(jìng)賽試題）2如圖，p 為正方形 abcd 內(nèi)一點(diǎn)，papb10，并且 p 到 cd 邊的距離也等于 10，那么正方形abcd 的面積是_. (北京市競(jìng)賽試題)df ce3如圖，四邊形 abcd 中，點(diǎn) e，f 分別在 bc，dc 上， 1， 2， adf 的面積為 m，四fc be邊形 aecf 的面積為 n (nm)，則四邊形 abcd 的面積為_(kāi). (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)edcd fcabcdfpeoba g第 1 題圖a第 2 題圖ba第 3 題圖bd第 4 題圖c134如圖，圖形 abcd 中，abcd

11、，ac 和 bd 相交于點(diǎn) o，若 ac5，bd12，中位線(xiàn)長(zhǎng)為 ，2aob 的面積為 s ，ocd 的面積為 s ，則 s 1 2 1s _. (山東省競(jìng)賽試題) 25如圖，分別延長(zhǎng)abc 的三邊 ab，bc，ca 至 a，b，c，使得 aa3ab，bb3bc，cc3ac，若 1，則 sb等于 ( ).a18 b19 c24 d276如圖，若 abcd 是 22 的正方形，e 是 ab 的中點(diǎn)，faf 相交于點(diǎn) h，那么四邊形 beih 的面積是 ( )(山東省競(jìng)賽試題)是 bc 的中點(diǎn)，af 與 de 相交于點(diǎn) i，bd 和1a b3257 8c d15 15(江蘇省競(jìng)賽試題)adfabc

12、dcaa dia dabcbebhfcbefc第 5 題圖第 6 題圖第 7 題圖7如圖，矩形 abcd 中，e 是 bc 上的一點(diǎn)，f是 cd 上的點(diǎn)，已知abe1 s ，則3aefcef的值等于 ( ) (北京市競(jìng)賽試題) a2 b3 c4 d58(1) 探究：如圖 1，在 abcd 的形外分別作等腰直角三角形 abf 和等腰直角三角形 ade，fabead90，連接 ac，ef.在圖中找一個(gè)與fae 全等的三角形，并加以證明.(2) 應(yīng)用：以 abcd 的四條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖 2，連接 ef，gh，ij，kl，若abcd 的面積為 5，則圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積之和

13、為_(kāi). （長(zhǎng)春市中考試題）eelkadfgadb cjfbchi圖1圖29如圖，在梯形 abcd 中，adbc，abaddc2cm，bc4cm，在等 pqr 中，qpr120，底邊 qr6cm， 點(diǎn) b，c，q，r 在同一條直線(xiàn) l上，且 c，q 兩點(diǎn)重合，如果等腰pqr 以1cm/s 的速度沿直線(xiàn) l箭頭所示方向勻速運(yùn)動(dòng)，t秒時(shí)梯形 abcd 與等腰pqr 重合部分的面積記為 scm2.(1) 當(dāng) t4 時(shí)，求 s 的值；(2) 當(dāng) 4t10 時(shí)，求 s 與 t的函數(shù)關(guān)系式，并求出 s 的最大值. (廣州市中考試題)a dpb c(q)第 9 題圖r10有一根直尺的短邊長(zhǎng)為 2cm，長(zhǎng)邊長(zhǎng)為

14、 10cm，還有一塊銳角為 45的直角三角紙板，它的斜邊長(zhǎng)為 12cm，如圖 1 將直尺的短邊 de 放置與直角三角紙板的斜邊 ab 重合，且點(diǎn) d 與點(diǎn) a 重合 將直尺沿 ab 方向平移，如圖 2，設(shè)平移的長(zhǎng)為 x cm(0 x 10)，直尺與三角形紙板重疊部分（圖中陰影部分） 的面積 scm2.(1) 當(dāng)x0 時(shí)，s_，當(dāng) x =10 時(shí)，s_；(2) 當(dāng) 0 x 4 時(shí)，求 s 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式；(3) 當(dāng) 4x10 時(shí)，求 s 關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出 s 的最大值. (徐州市中考試題)ccffg(d)a e圖 1ba d e圖 2b11如圖，設(shè) h 是等腰三角形 abc 的三邊上的高線(xiàn)的交點(diǎn)，在底邊 bc 保持不變的情況下，讓頂點(diǎn)a 至底邊 bc 的距離變小（仍保持三角形為等腰三角形），這時(shí)sdabcsdhbc的值變大、變小、還是不變?證明你的結(jié)論.f(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) aehbd第 11 題圖c12(1) 請(qǐng)你在圖 1 中作一條直線(xiàn)，使它將矩形 abcd 分成面積相等的兩部分；(2) 如圖 2，點(diǎn) m 是矩形 abcd 內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)你在圖 2 中過(guò)點(diǎn) m 作一條直線(xiàn)，使它將矩形 abcd 分 成面積相等的兩部分；(3) 如圖 3，在平面直角