初中數(shù)學(xué)壓軸題--動(dòng)態(tài)幾何證明及實(shí)驗(yàn)題無答案

1、動(dòng)態(tài)幾何證明及實(shí)驗(yàn)題所謂動(dòng)態(tài)幾何是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題此類題目注重對幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查動(dòng)態(tài)幾何問題是近幾年各地試題中常見的壓軸試題，它能考查學(xué)生的多種能力，有較強(qiáng)的選拔功能。解這類題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解。解動(dòng)態(tài)幾何題一般方法是針對這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中相伴隨著的數(shù)量關(guān)系（如等量關(guān)系、變量關(guān)系）、圖形位置關(guān)系（如圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系）等進(jìn)行研究考察抓住變化中的“不變量”，以不變應(yīng)萬變實(shí)驗(yàn)操作【要點(diǎn)導(dǎo)航】通過實(shí)驗(yàn)操作觀察猜想科學(xué)論證，使

2、我們體驗(yàn)和學(xué)到了發(fā)現(xiàn)、獲得知識(shí)的過程和方法.實(shí)驗(yàn)操作探索理解題意、實(shí)驗(yàn)操作是基本保證，觀察猜想、探索結(jié)論是關(guān)鍵，論證猜想的結(jié)論是落實(shí).【典例精析】例 1取一張矩形紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：第一步：先把矩形ABCD 對折，折痕為MN ，如圖 1；第二步：再把B 點(diǎn)疊在折痕線MN 上，折痕為AE，點(diǎn) B 在 MN 上的對應(yīng)點(diǎn)為 B，得 RtAB E，如圖 2；第三步：沿 EB線折疊得折痕 EF，使 A 點(diǎn)落在 EC 的延長線上，如圖 3利用展開圖 4 探究：（ 1） AEF 是什么三角形？證明你的結(jié)論；（ 2）對于任一矩形，按照上述方法能否折出這種三角形？請說明你的理由圖 1圖 2圖 4圖

3、3【思路分析】1圖形翻折后能重疊部分的圖形全等，所以BEA= AEB=FEC ，它們都是60角，所以 AEF 是等邊三角形2由操作可知 AFAD 時(shí)，不能完整折出這種三角形當(dāng)圖3 中的點(diǎn) F、 D 重合時(shí)，便可求得矩形的長與寬的比例為23 解（ 1） AEF 是等邊三角形由折疊過程可得：BEAAEFFEC60 因?yàn)?BC AD，所以AFEFEC60 所以 AEF 是等邊三角形（ 2）不一定當(dāng)矩形的長恰好等于等邊AEF 的邊 AF 時(shí)，即矩形的寬長AB AF3 : 2 時(shí)正好能折出如果設(shè)矩形的長為A，寬為 B，可知當(dāng) b3 a 時(shí)，按此種方法一定能折疊出等邊三角形；當(dāng)23 a b a 時(shí)，按此法

4、無法折出完整的等邊三角形2方法點(diǎn)睛要從操作實(shí)驗(yàn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型來，并借助圖形運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)求解例 2已知：在 ABC 中， BAC=90，M 為 BC 中點(diǎn)操作：將三角板的并繞著點(diǎn)M 旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊AB、 AC 相交于點(diǎn)E、F（ 1）探究 1：線段 BE、EF 、 FC 是否能構(gòu)成三角形？如果可以構(gòu)成三角形，那么是什么形狀的三角形？請證明你的猜想（ 2）探究 2：若改變?yōu)椋骸敖堑膬蛇叿謩e與邊AB、直線 AC 相交于點(diǎn)90角的頂點(diǎn)與點(diǎn)M 重合，AE、F ”其它條件都不變的情況下，那么結(jié)論是否還存在？請畫出對應(yīng)的BMC圖形并請證明你的猜想思路分析1由點(diǎn) M 是 BC 中點(diǎn)，所以構(gòu)造繞點(diǎn)M

5、 旋轉(zhuǎn) 180 重合的全等三角形，將線段BE、 EF、FC 移到同一個(gè)三角形中2當(dāng)角的兩邊分別與邊AB、直線 AC 相交于點(diǎn) E、F 時(shí)，構(gòu)造和證標(biāo) 注 三明的方法不變角 板 為陰影 FCG證明（ 1）線段 BE、EF 、FC 可以構(gòu)成直角三角形如圖1，延長 EMA為陰影到 G，使得 EM=MG，聯(lián)結(jié) GC、FG因?yàn)?M 為 BC 中點(diǎn)，所以 BM =CM，EF又因?yàn)?EMB = GMC，EM =MG，所以 EMB GMC ，所以 BE=GC，EM=MG ， B= MCG因?yàn)?FM 垂直平分 EG，所以 FE=FG又因?yàn)锽MC BAC=90，所以 B+ ACB=90，所以 MCG+ ACB=9

6、0 ，即標(biāo) 注 三GFCG =90 ，所以 GC2FC2FG22FC2EF2角 板 為 FCG，所以 BE為陰影陰影 F（ 2）如圖 2，當(dāng)點(diǎn) F 在 CA 的延長線上時(shí)， 延長 EM 到 G，使得 EM=MG，A聯(lián)結(jié) GC、FG 因?yàn)?M 為 BC 中點(diǎn)，所以 BM =CM ，又因?yàn)?EMB = GMC ，EM=EG，所以 EMB GMC ，所以 BE =GC，EM =MG ， B=E標(biāo) 注 三BMC MCG 因?yàn)?FM 垂直平分 EG，所以 FE=FG又因?yàn)?BAC=90，A 圖 2G角 板 為所以 B+ACB=90，所以 MCG +ACB=90，即E陰影FCG =90 ，所以 GC 2F

7、C 2FG2，所以 BE2FC 2EF 2BMC FCGF圖 3為陰影G如圖 3，當(dāng)點(diǎn) F 在 AC 的延長線上時(shí)，同理可證BE2FC2EF2方法點(diǎn)睛 線段之間常見的關(guān)系是和差關(guān)系或者滿足勾股定理若能將所要求線段移動(dòng)到同一條直線上，則線段之間是和差關(guān)系的可能性較大，若能將所要求線段移動(dòng)后能構(gòu)成三角形，則線段之間滿足勾股定理的可能性較大【星級訓(xùn)練】第天，年月日1. 如圖， 在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E 在邊 AB 上（點(diǎn) E 與點(diǎn) A、B 不重合），過點(diǎn) E 作 FG DE ，F(xiàn)G 與邊 BC 相交于點(diǎn)F，與邊 DA 的延長線相交于點(diǎn)G（ 1）操作：由幾個(gè)不同的位置，分別測量BF 、AG、 A

8、E 的長，從中你能發(fā)現(xiàn)BF 、AG、AE 的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？并證明你所得到的結(jié)論；（ 2）連結(jié) DF ，如果正方形的邊長為 2，設(shè) AE= x ， DFG 的面積為 y ，求 y 與 x 之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（ 3）如果正方形的邊長為 2， FG 的長為 5 ，求點(diǎn) C 到直線 DE 的距離2DCDCFABAEB供試驗(yàn)操作用G2. 操作：將一把三角尺放在邊長為1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q探究：設(shè) A、 P 兩點(diǎn)間的距離為x（ 1）當(dāng)點(diǎn) Q 在邊 CD 上時(shí)，線段 PQ 與線段 PB

9、 之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到結(jié)論；（ 2）當(dāng)點(diǎn) Q 在邊 CD 上時(shí)，設(shè)四邊形 PBCQ 的面積為 y，求 y 與 x 之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；（ 3）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AC 上滑動(dòng)時(shí)， PCQ 是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使 PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q 的位置，并求出相應(yīng)的x 的值；如果不可能，試說明理由（圖 5、圖 6、圖 7 的形狀大小相同，圖5 供操作、實(shí)驗(yàn)用，圖6 和圖 7 備用）ADADADB圖 5CB圖 6CB圖 7C3.在 ABC 中， AB=AC，CG BA 交 BA 的延長線于點(diǎn)G一等腰直角三角尺按如圖1 所示的位置擺放， 該三角尺

10、的直角頂點(diǎn)為F ，一條直角邊與AC 邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B（ 1）在圖 1 中請你通過觀察、 測量 BF 與 CG 的長度， 猜想并寫出 BF 與 CG 滿足的數(shù)量關(guān)系， 然后證明你的猜想；（ 2）當(dāng)三角尺沿AC 方向平移到圖 2 所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC 邊在同一直線上，另一條直角邊交 BC 邊于點(diǎn) D，過點(diǎn) D 作 DE BA 于點(diǎn) E此時(shí)請你通過觀察、測量DE、DF 與 CG 的長度，猜想并寫出 DE DF 與 CG 之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（ 3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC 方向繼續(xù)平移到圖3 所示的位置（點(diǎn)F 在線段 AC 上，且點(diǎn)F 與點(diǎn)

11、 C 不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）FGGGAFA EAF EBCBDCBDC圖 1圖 2圖 34.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l 是第一、三象限的角平分線實(shí)驗(yàn)與探究 ：（ 1）由圖觀察易知A（ 0，2）關(guān)于直線l 的對稱點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（ 2， 0），請?jiān)趫D中分別標(biāo)明B(5, 3) 、C(- 2, 5) 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) B 、 C 的位置，并寫出他們的坐標(biāo)：B、C；歸納與發(fā)現(xiàn)：（ 2）結(jié)合圖形觀察以上三組點(diǎn)的坐標(biāo)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)P( a, b) 關(guān)于第一、三象限的角平分線l 的7y6l5C43AB21A-6 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2

12、 3 4 5 6 x-1-2-3DE -4-5-6(?22?)對稱點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（不必證明 ）；運(yùn)用與拓廣：（ 3）已知兩點(diǎn) D(1,-3) 、E(-1,-4) ，試在直線 l 上確定一點(diǎn) Q，使點(diǎn) Q 到 D、 E 兩點(diǎn)的距離之和最小，并求出 Q 點(diǎn)坐標(biāo)探索性問題探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：（ 1）條件探索型問題； （2）結(jié)論探索型問題； （3）探索存在型問題條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通

13、過歸納總結(jié)出一般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目條件探索【要點(diǎn)導(dǎo)航】“探索”是人類認(rèn)識(shí)客觀世界過程中最生動(dòng)、最活躍的思維活動(dòng)，探索性問題存在于一切學(xué)科領(lǐng)域之中，數(shù)學(xué)中的“條件探索”題型，是指命題中缺少一定的題設(shè)，需經(jīng)過推斷、補(bǔ)充并加以證明的命題，因而必須利用題設(shè)大膽猜想、分析、比較、歸納、推理，由結(jié)論去探索未給予的條件。由于題型新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，因而具體操作時(shí)要更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用【典例精析】例1如圖，在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD 和正方形BEFG （ BEAB ），連結(jié)EG 并延長交DC

14、 于點(diǎn)M，過M作MNAB ，垂足為N，MN交 BD于點(diǎn)P 設(shè)正方形ABCD 的邊長為1（ 1）證明 CMG NBP；（ 2）設(shè) BE=x，四邊形 MGBN 的面積為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出定義域（ 3）如果按照題設(shè)方法作出的四邊形BGMP 是菱形，求BE 的長DM C（ 4）聯(lián)結(jié) PG，若 BPG 能否成為直角三角形？如果能，求BE 的長；GF如果不能，請說明理由P（ 5）聯(lián)結(jié) AC、 AF 、 CF，求證 ACF 的面積為定值A(chǔ)NBE思路分析1第（ 3）小題把四邊形BGMP 是菱形作為條件探索BE 的長2BPG 中 PBG 始終是 45，而 BPG 和 PGB 有可能為

15、90，要分情況討論3第（ 5）小題即可用割補(bǔ)法求也可用利用AC BF 將 ACF 的面積轉(zhuǎn)化為 ABC的面積證明（ 1）因?yàn)?正方形 ABCD ，所以CCBA90 ，ABD45，同理BEG 45因?yàn)?CD /BE ，所以CMGBEG45 ，因?yàn)镸NAB ，垂足為N，所以MNB90所以 四邊形 BCMN 是矩形所以 CMNB ，又 因?yàn)镃PNB90 ，CMGNBP 45，所以 CMG NBP（ 2）因?yàn)?正方形 BEFG ，所以BGBEx ，所以 CG1x 從而CM 1 x ，所以y1(BG MN )BN1(1 x)(1x)11x 2 定義域?yàn)椋?x12222（ 3）由已知易得MN /BC，MG

16、 /BP所以四邊形 BGMP是平行四邊形 要使四邊形 BGMP 是菱形則BG=MG ，所以 x2 (1 x) 解得 x22 所以BE22 時(shí)四邊形 BGMP 是菱形（ 4）如圖 2，當(dāng) PGB90時(shí)， BG PG MC ，即 x1x ，解得 x1，所以 BE 的長為1 如圖 3，222 2當(dāng) GPB90時(shí)， BG 2MC，即 x2(1x) ，解得 x，所以 BE 的長為33DMCDM CDCHG FGFGFPPQANBEAN BEABE圖 2圖 3圖 4（ 5）如圖4： S ACFSADHES ACDS AEFS HCF11111xx(1x)x(1 x)或者，由于2222S AEF1x(1 x

17、) ，SBCFE1x) ，因此 S AEFSBCFE 所以 S ABQS CFQ ，S ACFS ABC12x(1或22者因?yàn)?BF AC，所以點(diǎn) B 和 F 到 AC 的距離相等， 即 AFC 和 ABC 同底等高， 所以 S ACFS ABC12方法點(diǎn)睛 第（ 5）小題體現(xiàn)了圖形運(yùn)動(dòng)中的不變性，正方形BEFG 的邊長雖然改變但是AFC 的面積不變例 2 在等邊 ABC 的兩邊 AB、AC 所在直線上分別有兩點(diǎn)M、ND 為 ABC 外一點(diǎn)，且 MDN 60， BDC 120 ，BD DC 探究：當(dāng) M、 N 分別在直線 AB、 AC 上移動(dòng)時(shí)， BM 、NC、 MN 之間的數(shù)量關(guān)系及 AMN

18、 的周長 Q 與等邊 ABC 的周長 L 的關(guān)系NAAANMNMBCBCBCMDDD圖 1圖 2圖 3（ 1）如圖 1 所示，當(dāng)點(diǎn) M、N 在邊 AB、 AC 上，且 DM DN 時(shí)， BM 、 NC、MN 之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)Q；（不必證明）L（ 2）如圖 2 所示，點(diǎn) M 、N 在邊 AB、AC 上，且當(dāng) DMDN 時(shí)，猜想（ 1）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（ 3） 如圖 3 所示，當(dāng) M、 N 分別在邊 AB、 CA 的延長線上時(shí)，若AN 2，則 Q（用含有 L 的式子表示） 思路分析1當(dāng) DM DN 時(shí)， BDM 和 CDN 全等，設(shè) BM=CN=a，則 Q6a

19、， L 9a 2當(dāng) DMDN 時(shí)，在 AC 的延長線上截取 CP BM ，連接 DP，通過兩次全等可證BM+NC=MN所以 Q 6a ， L9a 結(jié)論依然成立3當(dāng) M、N 分別在邊 AB、 CA 的延長線上時(shí)，通過兩次全等可證NC BM=MN解（1）BMNCMN； Q = 2 L3（ 2）（ 1）問的兩個(gè)結(jié)論任然成立如圖4，在 AC 的延長線上截取CPA BM，連接 DP ，在等邊 ABC ， ABC ACB 60， BDC 120，BD DC ，所以 DBC DCB 30，所以 DBM DCP 90在N DBM 與 DCP 中， CPBM ， DBM DCP 90， DB DC，所以MP D

20、BM DCP（ S AS）所以 BDM CDP ，DM DP ，因?yàn)?BDCBC 120， PDN CDP CDN BDM CDN 120 60D60在 DMN 與 DPN 中， DM DP ， MDN PDN 60， DN圖 4NDN，所以 DMN DPN（ SAS）所以 MN PN NC PC NC BM，A所以 Q AM MN AN（ AM BM ）（ CN AN） AB+AC=2 AB而 L AB+AC+BC=3AB，所以 Q = 2L3（ 3）Q 2L 4如圖 5，在 AC 的上截取 CP BM ，連接 DP ，同理P3B可證 DCP DBM 和 DNP DNM ，所以 Q=AN+A

21、M +MN= AN+ABCM+BM +MN = AN+AB +CP +NP =2NC=2（ AN+AC）因?yàn)?AN 2，AC=1DL ，3圖 5所以 Q= 2 L43方法點(diǎn)睛旋轉(zhuǎn)對稱圖形中構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形是常用的方法【星級訓(xùn)練】第天，年月日1.如圖1 所示，直線AB 交 x 軸于點(diǎn)A（ A， 0），交 y 軸于點(diǎn)B（ 0，B），且A、 B 滿足ab(a4) 20 （ 1）如圖 1，若 C 的坐標(biāo)為（ 1， 0），且 AH BC 于點(diǎn) H， AH 交 OB 于點(diǎn) P，試求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（ 2）如圖 2，連接 OH，求證： OHP 45；（ 3）如圖 3，若點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) M

22、為 y 軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MD ，過 D 作 DN DM 交 x 軸于 N 點(diǎn)，當(dāng) M 點(diǎn)在 y 軸正半軸上運(yùn)動(dòng)的過程中，式子SBDMADN的值是否發(fā)生改變，如發(fā)生改變，S求出該式子的值的變化范圍；若不改變，求該式子的值yyyCOACOAMxxANOxHPHPDB圖 1圖 2BB第天，年月日圖 32. 已知 BD 、 CE 分別是 ABC 的 AC 邊、 AB 邊上的高， M 是 BC 邊的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)MD、ME、DE（ 1）當(dāng)BAC90 時(shí)，垂足D 、 E 分別落在邊AC 、 AB 上，如圖 1求證： DM EM (2) 當(dāng)BAC90 時(shí)，垂足D 、 E 分別落在邊AC 、 AB 所在

23、的直線上，如圖 2，問（ 1）中的結(jié)論是否依然成立？無需說明理由，直接寫出答案即可；若過程BAC135 ，試判斷 DEM 的形狀，簡寫解答（ 3）設(shè)BAC 的度數(shù)為 x ，DME 的度數(shù)為 y ，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式ADEAEDABC（備用圖）BMCBMC圖 2圖 1第天，年月日3. 如圖 1，已知 ABC=90 ， ABE 是等邊三角形，點(diǎn)P 為射線 BC 上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P 與點(diǎn)B 不重合），連結(jié) AP ，將線段 AP 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到線段 AQ，連結(jié) QE 并延長交射線BC 于點(diǎn) F.（ 1）如圖2，當(dāng) BP=BA 時(shí)， EBF =，猜想 QFC=；（ 2）如圖1

24、，當(dāng)點(diǎn) P 為射線 BC 上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想QFC 的度數(shù)，并加以證明；（ 3）已知線段 AB= 23 ，設(shè) BP= x ，點(diǎn) Q 到射線 BC 的距離為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式QQAAEEBFP CBF PC圖 1圖 2結(jié)論探索【要點(diǎn)導(dǎo)航】探索性問題是指命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，需要經(jīng)過推斷，補(bǔ)充并加以證明的題型探索性問題一般有三種類型：（ 1）條件探索型問題； （2）結(jié)論探索型問題； （3）探索存在型問題條件探索型問題是指所給問題中結(jié)論明確，需要完備條件的題目；結(jié)論探索型問題是指題目中結(jié)論不確定，不唯一，或題目結(jié)論需要類比，引申推廣，或題目給出特例，要通過歸納總結(jié)出一

25、般結(jié)論；探索存在型問題是指在一定的前提下，需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目探索型問題具有較強(qiáng)的綜合性，因而解決此類問題用到了所學(xué)過的整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)常用到的知識(shí)是：一元一次方程、平面直角坐標(biāo)系、正、反比例和一次函數(shù)的求法（圖象及其性質(zhì)）、直角三角形的性質(zhì)、四邊形（特殊）的性質(zhì)、等其中用幾何圖形的某些特殊性質(zhì)：勾股定理、相似三角形對應(yīng)線段成比例等來構(gòu)造方程是解決問題的主要手段和途徑因此復(fù)習(xí)中既要重視基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，又要加強(qiáng)變式訓(xùn)練和數(shù)學(xué)思想方法的研究，切實(shí)提高分析問題、解決問題的能力【典例精析】例 1 如圖 1，在 ABC 中， ACB = 90 ，AC = BC，AB = 8 ，CD A

26、B ，垂足為點(diǎn) DM 為邊 AB 上任意一點(diǎn)， 點(diǎn) N 在射線 CB 上（點(diǎn) N 與點(diǎn) C 不重合），且 MC = MN ，NE AB，垂足為點(diǎn) E當(dāng)點(diǎn) M 在邊 AB 上移動(dòng)時(shí)，試探索線段 ME 的長是否會(huì)改變？說明你的理由A思路分析射線 CB 包括線段CB 和線段 CB 的延長線兩部分，點(diǎn)N 在射線CNMDEB圖 1CB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 可證明 CMD 和 MEN 全等，所以線段 ME 的長始終和線段 CD 相等，所以不會(huì)改變長度解：當(dāng)點(diǎn) M 在邊 AB 上移動(dòng)時(shí)，線段 ME 的長不變， ME = 4由點(diǎn) N 在射線 CB 上，可知點(diǎn) N 在邊BC 上或點(diǎn) N 在邊 CB 的延長線上（）如圖

27、1，如果點(diǎn) N 在邊 BC 上，可知點(diǎn) M 在線段 AD 上因?yàn)?AC = BC， ACB = 90 ，所以 A= B = 45 又因?yàn)?AC = BC，CD AB， AB = 8，所以CD = BD = 4即得BCD 45 因?yàn)镸C= MN ，所以 MCN = MNC 因?yàn)?MCN =MCD + BCD ， MNC =B + BMN，所以 MCD= NME 又因?yàn)?CD AB， NE AB，所以 CDM = MEN = 90 所以 MCD MNE（ AAS）所以ME= CD=4（）如圖 2，如果點(diǎn) N 在邊 CB 的延長線上，可知點(diǎn)M 在線段 BD 上，且點(diǎn) E 在邊 AB 的延長線上C因?yàn)?/p>

28、 ABC = MNC + BMN= 45， BCD = MCD+ MCN = 45， MCN = MNC ，所以 MCD =BMN 因?yàn)镸C=MN ， CDM= MEN=90， 所 以 MCD NMEA（ AAS）所以ME = CD = 4 所以由（） 、（）可知，當(dāng)EDMB圖 2點(diǎn) M 在邊 AB 上移動(dòng)時(shí)，線段 ME 的長不變， ME = 4 N方法點(diǎn)睛 點(diǎn) M 在 AB 上和在 AB 的延長線上，從圖1 到圖 2 是圖形的變式題隨著點(diǎn)M 的運(yùn)動(dòng)線段之間的關(guān)系不變，所以證明思路不變例 2如圖，已知在正方形ABCD 中， AB = 2 ，P 是邊 BC 上的任意一點(diǎn)，E 是邊 BC 延長線上

29、一點(diǎn)，聯(lián)結(jié) AP過點(diǎn) P 作 PFAP ，與 DCE 的平分線 CF 相交于點(diǎn) F聯(lián)結(jié)AF，與邊 CD 相交于點(diǎn) G，聯(lián)結(jié)PGAD（ 1）求證： AP = FP ；G（ 2）探索線段 BP 、DG、 PG 之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程；F（ 3）當(dāng) BP 取何值時(shí)， PG / CF思路分析BPCE1過點(diǎn) F 作 FH BC，結(jié)合所給條件無法證明ABP 和 PHF 全等在邊AB 上截取線段AH ，使AH = PC，便可證明 AHP PCF 2由第（ 1）小題的結(jié)論得 APF 是等腰直角三角形，所以 PAF=45 ，將 ADG 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后， BP 與 DG 聯(lián)結(jié)成一條線段，通過全

30、等三角形可證BP 與 DG 的和等于 PG3當(dāng) PG / CF 時(shí)， PCG 是等腰直角三角形，由第（ 2）小題結(jié)論得PG=DG +BP，在 Rt PCG 中，由勾股定理可求得BP 的長證明 （ 1）如圖 2，在邊 AB 上截取線段AH ，使 AH = PC，聯(lián)結(jié)PH 由正方形 ABCD ，得 B = BCD = D = 90 ，AB = BC = AD 因?yàn)?APF = 90 ，所以 APF = B因?yàn)?APC = B + BAP = APF+ FPC ，所以 PAH =FPC 又因?yàn)?BCD = DCE = 90 ，CF 平分 DCE ，所以 FCE = 45 所以 PCF = 135 又

31、因?yàn)?AB = BC，AHDGFAH = PC，所以 BH = BP，即得 BPH = BHP = 45 所以 AHP =BPCE135 ，即得 AHP =PCF 在 AHP 和 PCF 中， PAH = FPC ，圖 2AH = PC， AHP = PCF ，所以 AHP PCF 所以 AP = PF （ 2）證明：如圖 3，延長 CB 至點(diǎn) M，使 BM = DG，聯(lián)結(jié) AM由 AB = AD， ABM =D = 90 ，BM = DG ，得 ADG ABM，即得ADAG = AM ， MAB = GAD 因?yàn)?AP = FP， APF = 90 ，所以 PAF =GF45因?yàn)?BAD =

32、 90 ，所以 BAP + DAG = 45 ，即得 MAP = PAG =45于是，由 AM = AG，MAP = PAG，AP = AP，得 APM APG所以 PM = PG即得 PB + DG = PGMBPCE圖 3（ 3）解：由 PG / CF ，得 GPC =FCE = 45 于是，由 BCD = 90 ，得 GPC = PGC = 45 所以 PC = GC即得 DG = BP設(shè) BP = x，則 DG = x由AB=2，得 PC=GC=2 x因?yàn)?PB + DG = PG，所以 PG = 2 x在 Rt PGC 中， PCG = 90 ，得 PC 2 CG 2 PG 2 即得

33、 (2 x)2 (2 x) 2 (2 x) 2 解得 x 2 2 2 所以當(dāng) BP (2 2 2) 時(shí)， PG / CF 方法點(diǎn)睛本題所需添加的輔助線比較特殊，在旋轉(zhuǎn)型圖形如：正方形，等邊三角形，等腰直角三角形中較為常見【星級訓(xùn)練】第天，年月日1. 已知：在 ABC 中， AB=AC ，點(diǎn) P 在直線 BC 上， PD AB 于點(diǎn) D，PEAC 于點(diǎn) E，BH 是 ABC 的高（ 1）當(dāng)點(diǎn) P 在邊 BC 上時(shí)，求證： PD +PE=BH（ 2）當(dāng)點(diǎn) P 在邊 BC 的延長線上時(shí)，試探索PD 、PE 和 BH 之間的數(shù)量關(guān)系第天，年月日2. 已知等邊 ABC 和點(diǎn) P，設(shè)點(diǎn) P 到 ABC 三

34、邊 AB、 AC、 BC 的距離分別為 H 1， H2， H 3， ABC 的高為 H “若點(diǎn) P 在一邊 BC 上如圖（ 1），此時(shí) H 30 可得結(jié)論： H1 H 2 H3 H”請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點(diǎn) P 在 ABC 內(nèi)如圖（ 2），以及點(diǎn) P 在 ABC 外如圖（ 3）這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，H 1，H 2， H3 與 H 之間又有怎樣的關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證明AAADDEDFPEBMBM PCBM FCC圖 1圖 2P圖 3第天，年月日3. 已知在正 ABC 中， AB=4，點(diǎn) M 是射線 AB 上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)N 在邊 BC

35、 的延長線上， 且 AM = CN聯(lián)結(jié) MN ，交直線 AC 于點(diǎn) D設(shè)AM = x， CD = y（ 1）如圖，當(dāng)點(diǎn)M 在邊 AB 上時(shí)，求y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出自變量x 的取值范圍M（ 2）當(dāng)點(diǎn) M 在邊 AB 上，且四邊形BCDM 的面積等于 DCN 面積的 4 倍時(shí)，求x 的值B（ 3）過點(diǎn) M 作 MEAC，垂足為點(diǎn) E當(dāng)點(diǎn) M 在射線 AB 上移動(dòng)時(shí)，線段 DE 的長是否會(huì)改變？請證明你的結(jié)論M 與點(diǎn) A、B 不重合），點(diǎn)ADCN第 天，年月日4.在 Rt ABC 中， C=90 0， A=30 0， AB=4，將一個(gè)300 角A的頂點(diǎn) P 放在 AB 邊上滑動(dòng)，保持

36、300 角的一邊平行于BC，且交邊 AC 于點(diǎn)E， 300 角的另一邊交射線 BC 于點(diǎn) D，聯(lián)結(jié) ED（ 1）如圖 1，當(dāng)四邊形 PBDE 為等腰梯形時(shí)，求AP 的長；PE（ 2）四邊形 PBDE 有可能為平行四邊形嗎？若可能，求出PBDE 為平300行四邊形時(shí) AP 的長；若不可能，說明理由；BCD（ 3）若 D 在 BC 邊上（不與 B、 C 重合），試寫出線段AP 取值范圍。（圖 1）第天，年月日5. 在梯形 ABCD 中， AD /BC， AB=CD=AD =5cm， BC=11cm，點(diǎn) P 從點(diǎn) D 出發(fā)沿 DA 邊以每秒 1cm 的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 出發(fā)，沿BC 邊以每

37、秒 2cm 的速度移動(dòng)（當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn) A時(shí)，點(diǎn) P與點(diǎn)Q 同時(shí)停止移動(dòng)） ，假設(shè)點(diǎn) P 移動(dòng)的時(shí)間為x（秒），四邊形 ABQP 的面積為 y（平方厘米） 。（ 1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（ 2）在移動(dòng)的過程中， 求四邊形 ABQP 的面積與四邊形 QCDPAPD的面積相等時(shí) x 的值；（ 3）在移動(dòng)的過程中，是否存在x 使得 PQ=AB，若存在求出所有的 x 的值，若不存在請說明理由BQC6.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例函數(shù) y kx （ x為自變量）的圖像與雙曲線y2y交于點(diǎn) A ，且點(diǎn)xCA 的橫坐標(biāo)為2 （ 1）求 k 的值；AB（ 2）將直

38、線 ykx （ x 為自變量）向上平移4 個(gè)單位得到直線 BC，Ox直線 BC 分別交 x 軸、 y 軸于 B、C，如點(diǎn) D 在直線 BC 上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)P，使以 O、 B、 D、 P 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形y7. 如圖 1，直線 y2x12 分別與 x 軸、 y 軸交于點(diǎn) A、B，B點(diǎn) C 是線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) D 在線段 OC 上，點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)為 4（ 1）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)和直線 AD 的解析式；CDxOA圖 1（ 2）P 是直線 AD 上的點(diǎn)，請你找一點(diǎn) Q，使以 O、A、P、Q 這四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫出所有滿足條件的點(diǎn) Q 的坐標(biāo)猜想證明【要點(diǎn)導(dǎo)航】此類問題通常由一個(gè)特殊圖形到一般情況，引出一系列探究的問題經(jīng)歷對一些命題和結(jié)論的猜想、證明、推廣的過程，體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生的想象、思維、歸納、分析都有較高的要求此類題目變式多，證明方式也不盡相同，可以說是精彩紛呈借題發(fā)