內(nèi)生性問(wèn)題好材料

1、工具變量和兩階段最小二乘一、背景雖然在ols的大樣本性質(zhì)中，我們放寬了強(qiáng)外生性的假定，用弱外生條件來(lái)進(jìn)行替代，即。但是，在實(shí)際的問(wèn)題中，弱外生性的條件往往也是不容易滿足的。也就是說(shuō)，變量的內(nèi)生性問(wèn)題總是不可避免的。內(nèi)生性引起的問(wèn)題主要是引起參數(shù)估計(jì)的不一致?？梢哉f(shuō)，內(nèi)生性問(wèn)題是在實(shí)際應(yīng)用中最經(jīng)常遇到的問(wèn)題。這個(gè)部分討論的就是如何解決由內(nèi)生性問(wèn)題引起的參數(shù)估計(jì)的不一致。二、知識(shí)要點(diǎn)1、引起內(nèi)生性的原因及其對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響2、代理變量法解決內(nèi)生性問(wèn)題3、工具變量法和2sls的性質(zhì)三、要點(diǎn)細(xì)綱1、引起內(nèi)生性的原因及其對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響（1）模型設(shè)定偏誤（遺漏變量）這主要是因?yàn)閷?shí)際的問(wèn)題中，一個(gè)變量往往

2、受到許多變量的影響，在實(shí)際建模過(guò)程中無(wú)法將解釋變量全部列出。在這樣的情況下，遺漏的變量的影響就被納入了誤差項(xiàng)中，在該遺漏變量與其他解釋變量相關(guān)的情況下，就引起了內(nèi)生性問(wèn)題。即。（2）測(cè)量誤差關(guān)于測(cè)量誤差引起內(nèi)生性的問(wèn)題要基于測(cè)量誤差的假設(shè)。測(cè)量誤差可能是對(duì)被解釋變量的測(cè)量誤差，也可能是由于對(duì)解釋變量的測(cè)量誤差。這兩種情況引發(fā)的結(jié)果是不一樣的。a. 被解釋變量的測(cè)量誤差。不妨假設(shè)的真實(shí)值是，測(cè)量值為，則可以將測(cè)量誤差表示成：。假設(shè)理論的回歸方程為：將測(cè)量誤差方程帶入得到：其中是實(shí)際回歸方程的殘差。顯然，由于的測(cè)量誤差是與相互獨(dú)立的，所以實(shí)際回歸方程的殘差也與各解釋變量相互獨(dú)立（無(wú)關(guān)）。外生性條件

3、滿足。b. 解釋變量x的測(cè)量誤差假設(shè)在回歸式中，測(cè)量誤差產(chǎn)生于，即實(shí)際回歸式為：并有如果假設(shè)，則將測(cè)量誤差帶入方程得到：顯然，外生性條件滿足。如果假設(shè)。該假設(shè)條件稱為classical error-in-variables（cev）假定。由上述方程可以看出，此時(shí)測(cè)量誤差會(huì)引起內(nèi)生性問(wèn)題。( 3) 雙向交互影響（或者同時(shí)受其他變量的影響）這種情況引起的內(nèi)生性問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)中最為常見。其基本的原理可以闡述為，被解釋變量和解釋變量之間存在一個(gè)交互影響的過(guò)程。的數(shù)值大小會(huì)引起取值的變換，但同時(shí)的變換又會(huì)反過(guò)來(lái)對(duì)構(gòu)成影響。這樣，在如下的回歸方程中：如果殘差項(xiàng)的沖擊影響了的取值，而這樣的影響會(huì)通過(guò)傳導(dǎo)到上，從

4、而造成了和殘差項(xiàng)的相關(guān)。也就是引起了內(nèi)生性問(wèn)題。這里舉幾個(gè)簡(jiǎn)單、但經(jīng)常遇到的例子說(shuō)明。例1：金融發(fā)展與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)例2：外商直接投資fdi與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)例3：犯罪率與警備投入2、代理變量(proxy)法解決內(nèi)生性問(wèn)題考慮如下的回歸方程其中，q是不可觀測(cè)的變量（遺漏），假定z是對(duì)q的一個(gè)代理，z必須滿足下列條件：（1）（2）代理變量的缺點(diǎn)：a、當(dāng)有交互效應(yīng)時(shí)會(huì)引起異方差問(wèn)題b、在實(shí)際問(wèn)題中，通常對(duì)遺漏的變量是難以意識(shí)到的。c、約束條件太強(qiáng)。3、工具變量法和2sls的性質(zhì)這里先討論簡(jiǎn)單工具變量法，兩階段最小二乘2sls是簡(jiǎn)單工具變量法的一個(gè)擴(kuò)展。關(guān)于工具變量的大樣本假設(shè)、是一個(gè)有限、可逆的維正定矩陣。、是

5、一個(gè)有限的的矩陣，并且該矩陣的秩是k。、（1）簡(jiǎn)單工具變量考慮如下一個(gè)回歸方程：現(xiàn)在假設(shè)是內(nèi)生的，也就是說(shuō)，與殘差項(xiàng)相關(guān)。在這樣的情況下，得到的參數(shù)估計(jì)值是有偏的。再次強(qiáng)調(diào)，此時(shí)參數(shù)估計(jì)的偏差不僅僅存在于參數(shù)上，而是所有的參數(shù)估計(jì)值都會(huì)受到影響?？雌胀ㄗ钚《说慕Y(jié)果：其中，不妨設(shè)，則有：，則可以看出：顯然，當(dāng)現(xiàn)在回到一般的回歸方程：仍然假設(shè)是內(nèi)生的，如果可以找到一個(gè)工具變量，使得滿足如下兩條假定：、那么，就可以定義，方程兩邊左乘，同取期望，得到參數(shù)估計(jì)值，使得：但是，這樣的簡(jiǎn)單工具變量得到的估計(jì)并不是無(wú)偏的（特殊的得到無(wú)偏估計(jì)的情況是：與其他外生變量無(wú)關(guān)，只和相關(guān)）。正確的做法是，將內(nèi)生變量對(duì)

6、所有的外生變量進(jìn)行投影（回歸），也就是按照如下的公式計(jì)算：只要系數(shù)，該工具變量就是有效的。也就是說(shuō)，必須保證與是在扣除了其他外生變量的影響下，仍然是相關(guān)的！這樣，根據(jù)回歸得到了的估計(jì)值用估計(jì)出的代替原來(lái)的，進(jìn)行ols估計(jì)，就可以得到產(chǎn)生的無(wú)偏估計(jì)。這實(shí)際上是將內(nèi)生變量分成了內(nèi)生部分和外生部分，通過(guò)投影得到了外生的部分，然后進(jìn)入回歸方程。（2）多工具變量和兩階段最小二乘（2sls）多工具變量是簡(jiǎn)單工具變量的一個(gè)擴(kuò)展。當(dāng)我們可以找到的工具變量不只一個(gè)的時(shí)候，我們可以提高對(duì)內(nèi)生變量的擬合優(yōu)度。得到一個(gè)更好的估計(jì)值。另外一方面，如果一個(gè)多元回歸方程中含有的內(nèi)生變量個(gè)數(shù)不只一個(gè)，那么我們就必須分別找到它

7、們各自的工具變量?？偟脕?lái)說(shuō)，需要注意的是，工具變量的個(gè)數(shù)必須大于方程中內(nèi)生變量的個(gè)數(shù)。每一個(gè)內(nèi)生變量，都必須是對(duì)所有的外生變量進(jìn)行投影，這樣得到的參數(shù)估計(jì)才是一致的。下面用一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明。為了方便，我們?nèi)匀患僭O(shè)回歸方程中只含有一個(gè)內(nèi)生變量現(xiàn)在假設(shè)我們可以找到一組外生變量，正確的做法是：（1）將對(duì)所有外生變量進(jìn)行回歸：其中于是可以得到：同理，對(duì)每一個(gè)外生的進(jìn)行投影，也就是如下的回歸：，可以得到如下的結(jié)果：（2）于是定義得到：帶入，得到： （3）proxy和iv的區(qū)別proxy方法是將不可觀測(cè)的變量用近似的變量進(jìn)行替代，也就是說(shuō)，是在殘差項(xiàng)中提取出有用的信息，但是并沒有對(duì)現(xiàn)有的解釋變量進(jìn)行處

8、理。而iv方法恰恰相反，它是對(duì)現(xiàn)有回歸式中的內(nèi)生變量進(jìn)行的處理，找到另外一個(gè)變量對(duì)其進(jìn)行“替代”，但是對(duì)于方程的殘差項(xiàng)沒有進(jìn)行任何的處理。iv方法對(duì)工具變量有嚴(yán)格的外生假定條件，而proxy不一定成立。（4）兩階段最小二乘的性質(zhì)一致性所以，但是，如果在第一階段的回歸中沒有包括方程中原有的外生變量，那么，一致性就不能得到保證。假設(shè)有如下回歸方程其中是的外生變量，是內(nèi)生變量。并且有維的工具變量。如果只是將對(duì)進(jìn)行投影，得到如下結(jié)果：帶入原式得到令，由ols得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果如下所示：因?yàn)榛貧w中沒有扣除的影響，所以一般來(lái)說(shuō)，從而造成參數(shù)估計(jì)的有偏。有效性2sls在第一階段進(jìn)行回歸得到的結(jié)果如下：假設(shè)有另

9、外一個(gè)關(guān)于的無(wú)偏投影：，其相應(yīng)得到的的兩階段估計(jì)為。顯然有如下兩個(gè)結(jié)論成立：要證明的方差最小，只有證明是一個(gè)正定的矩陣，也就是證明：是正定矩陣。我們有，因此有：進(jìn)而有：其中，是對(duì)回歸的殘差。顯然，。問(wèn)題得證。四、思考題1、闡述引起內(nèi)生性的原因及其對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響。2、在兩階段最小二乘中，如果在第一階段的回歸中沒有包括原方程中所有的外生變量，會(huì)引起參數(shù)估計(jì)的什么問(wèn)題，請(qǐng)舉例說(shuō)明。3、證明在第一階段回歸中將內(nèi)生變量對(duì)所有外生變量進(jìn)行投影后，利用簡(jiǎn)單工具變量得到的參數(shù)估計(jì)值具有有效性。小結(jié)工具變量進(jìn)行兩階段最小二乘估計(jì)的具體步驟設(shè)有模型：認(rèn)為gmin可以作為gmin1t的工具變量使用。第一，gmin1t對(duì)所