(2021年整理)導(dǎo)數(shù)的綜合大題及其分類.

1、導(dǎo)數(shù)的綜合大題及其分類.導(dǎo)數(shù)的綜合大題及其分類. 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（導(dǎo)數(shù)的綜合大題及其分類.）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為導(dǎo)數(shù)的綜合大題及其分類.的全部?jī)?nèi)容。導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是歷年高考必考的熱點(diǎn)，試題難度較大，多以壓軸題形式出現(xiàn),命題的熱點(diǎn)主要有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、

2、最值;利用導(dǎo)數(shù)研究不等式；利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(或函數(shù)的零點(diǎn)）；利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題等體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題型概覽：函數(shù)單調(diào)性和極值、最值綜合問題的突破難點(diǎn)是分類討論（1）單調(diào)性討論策略：?jiǎn)握{(diào)性的討論是以導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為分界點(diǎn)，把函數(shù)定義域分段,在各段上討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào),在不能確定導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的相對(duì)位置時(shí),還需要對(duì)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論(2）極值討論策略:極值的討論是以單調(diào)性的討論為基礎(chǔ)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值點(diǎn)（3)最值討論策略：圖象連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上最值的討論，是以函數(shù)在該區(qū)間上的

3、極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行的，在極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值中最大的為最大值，最小的為最小值已知函數(shù)f（x）x,g(x)alnx(ar）(1）當(dāng)a2時(shí)，求f(x)f(x)g(x）的單調(diào)區(qū)間;（2）設(shè)h(x)f(x)g(x），且h(x）有兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，其中x1，求h（x1）h（x2)的最小值審題程序第一步：在定義域內(nèi),依據(jù)f（x）0根的情況對(duì)f（x)的符號(hào)討論；第二步:整合討論結(jié)果,確定單調(diào)區(qū)間；第三步:建立x1、x2及a間的關(guān)系及取值范圍；第四步：通過代換轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1(或x2）的函數(shù)，求出最小值規(guī)范解答（1）由題意得f(x）xalnx，其定義域?yàn)?0，)，則f(x），令m（x

4、)x2ax1，則a24。當(dāng)2a2時(shí)，0，從而f(x）0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，）；當(dāng)a2時(shí)，0，設(shè)f（x)0的兩根為x1，x2，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)2a2時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，）;當(dāng)a2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為。（2)對(duì)h（x)xalnx,x（0，）求導(dǎo)得，h(x）1，設(shè)h（x）0的兩根分別為x1,x2，則有x1x21，x1x2a，x2,從而有ax1。令h（x)h（x）hxlnx2，h(x）2lnx。當(dāng)x時(shí)，h(x）0,h（x）在上單調(diào)遞減，又h(x1)h(x1)hh（x1）h（x2)，h（x1)h(

5、x2)minh5ln23。解題反思本例（1）中求f（x）的單調(diào)區(qū)間,需先求出f（x)的定義域，同時(shí)在解不等式f（x）0時(shí)需根據(jù)方程x2ax10的根的情況求出不等式的解集，故以判別式“”的取值作為分類討論的依據(jù)在（2)中求出h（x1)h（x2)的最小值，需先求出其解析式由題可知x1，x2是h（x)0的兩根，可得到x1x21，x1x2a，從而將h（x1）h（x2）只用一個(gè)變量x1導(dǎo)出從而得到h（x1)h（x1)h,這樣將所求問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)h(x）h（x）h在上的最值問題，體現(xiàn)轉(zhuǎn)為與化歸數(shù)學(xué)思想答題模板解決這類問題的答題模板如下： 題型專練1設(shè)函數(shù)f(x)(1x）22ln（1x)(1)求f(x

6、)的單調(diào)區(qū)間；（2)當(dāng)0a0，得x0；由f（x）0，得1x0。函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,0)（2）由題意可知g（x)（2a）x2ln(1x）(x1),則g(x）2a。0a0，令g(x)0，得x，函數(shù)g（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)當(dāng)03，即0a時(shí)，在區(qū)間0,3上，g(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，g（x)minga2ln.當(dāng)3,即a2時(shí)，g(x)在區(qū)間0,3上為減函數(shù),g（x）ming(3）63a2ln4.綜上所述,當(dāng)0a時(shí)，g(x)mina2ln；當(dāng)a2時(shí)，g（x)min63a2ln4.北京卷（19）（本小題13分)已知函數(shù)f（x）=excosxx。（)求

7、曲線y= f（x）在點(diǎn)（0，f(0）處的切線方程；(）求函數(shù)f(x）在區(qū)間0，上的最大值和最小值。（19)(共13分)解:（）因?yàn)?所以.又因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意有，即。所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為。21.（12分)已知函數(shù)且。（1）求a；(2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn),且.21。解：(1）的定義域?yàn)樵O(shè)，則等價(jià)于因?yàn)槿鬭=1，則。當(dāng)0x1時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)x1時(shí)，0，單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點(diǎn)，故綜上,a=1(2)由(1)知設(shè)當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又,所以在有唯一零點(diǎn)x0，在有唯

8、一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),。因?yàn)?所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)由由得因?yàn)閤=x0是f(x)在（0,1）的最大值點(diǎn)，由得所以題型二利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)或圖象交點(diǎn)題型概覽：研究方程根、函數(shù)零點(diǎn)或圖象交點(diǎn)的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最）值的位置,通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題,可以使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn)已知函數(shù)f(x）(xa）ex,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，ar。(1）求函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a0，所以對(duì)于任意xr，f(x）0，因此方程exax無實(shí)數(shù)解所以當(dāng)x0時(shí)

9、，函數(shù)g(x)不存在零點(diǎn)綜上,函數(shù)g(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)典例321.(12分)已知函數(shù)且.（1)求a；（2)證明:存在唯一的極大值點(diǎn)，且。21。解：（1)的定義域?yàn)樵O(shè)，則等價(jià)于因?yàn)槿鬭=1，則.當(dāng)0x1時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)x1時(shí),0，單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點(diǎn),故綜上，a=1(2）由(1)知設(shè)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增又，所以在有唯一零點(diǎn)x0，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，。因?yàn)?所以x=x0是f（x）的唯一極大值點(diǎn)由由得因?yàn)閤=x0是f(x)在（0,1）的最大值點(diǎn)，由得所以解題反思在本例（1）中求f（x）的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出f(x),注意到ex0即可(2)中

10、由g（x)0得xexax2,解此方程易將x約去,從而產(chǎn)生丟解情況研究exax的解轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)f(x)exax的最值,從而確定f(x)零點(diǎn)，這種通過構(gòu)造函數(shù)、研究函數(shù)的最值從而確定函數(shù)零點(diǎn)的題型是高考中熱點(diǎn)題型，要熟練掌握答題模板解決這類問題的答題模板如下：題型專練2（2017浙江金華期中)已知函數(shù)f（x）ax3bx2(c3a2b）xd的圖象如圖所示（1）求c，d的值;（2）若函數(shù)f(x)在x2處的切線方程為3xy110，求函數(shù)f(x）的解析式；(3)在（2）的條件下，函數(shù)yf（x）與yf（x)5xm的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍解函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f(x)3ax22bxc3a2b

11、.（1）由圖可知函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)（0,3)，且f(1)0，得解得(2)由(1)得，f(x）ax3bx2（3a2b）x3，所以f(x）3ax22bx（3a2b)由函數(shù)f(x)在x2處的切線方程為3xy110，得所以解得所以f（x）x36x29x3.(3）由(2)知f(x)x36x29x3，所以f（x）3x212x9。函數(shù)yf(x)與yf(x)5xm的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),等價(jià)于x36x29x3（x24x3）5xm有三個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)于g（x）x37x28xm的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)因?yàn)間(x)3x214x8（3x2)（x4），x4(4，)g（x）00g（x）極大值極小值gm，g(4)16m，

12、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，g(x）圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn),解得16m。 所以m的取值范圍為。21。（12分）已知函數(shù)ae2x+(a2） exx。（1)討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。21。解：（1)的定義域?yàn)?（十字相乘法）（）若，則,所以在單調(diào)遞減。（）若，則由得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增。（2)（）若,由(1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn).（)若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為。（觀察特殊值1）當(dāng)時(shí)，由于,故只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí),由于，即，故沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，,即。又,故在有一個(gè)零點(diǎn)。設(shè)正整數(shù)滿足,則。由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍為。題型三利用導(dǎo)數(shù)證明不等式題型概覽

13、：證明f(x）g（x)，x(a，b),可以直接構(gòu)造函數(shù)f（x）f（x）g（x)，如果f（x)0，則f（x）在（a,b）上是減函數(shù)，同時(shí)若f(a）0,由減函數(shù)的定義可知，x（a，b)時(shí),有f(x)0，即證明了f(x)2(xlnx)審題程序第一步：求f(x)，寫出在點(diǎn)p處的切線方程；第二步:直接構(gòu)造g(x)f（x)2（xlnx），利用導(dǎo)數(shù)證明g(x)min0.規(guī)范解答(1)因?yàn)閒（x）,所以f（x），f(2），又切點(diǎn)為，所以切線方程為y(x2），即e2x4y0.(2）證明:設(shè)函數(shù)g（x）f（x)2(xlnx)2x2lnx，x(0，）,則g（x）2,x(0，)設(shè)h(x)ex2x,x（0，），則h(x

14、）ex2，令h(x）0，則xln2。當(dāng)x(0，ln2)時(shí),h(x)0；當(dāng)x(ln2,）時(shí)，h(x）0.所以h（x）minh（ln2）22ln20，故h（x）ex2x0。令g(x）0,則x1.當(dāng)x（0,1）時(shí),g(x）0。所以g(x)ming(1)e20,故g(x）f(x）2（xlnx）0,從而有f（x)2（xlnx)解題反思本例中（2)的證明方法是最常見的不等式證明方法之一，通過合理地構(gòu)造新函數(shù)g（x）求g(x）的最值來完成在求g(x)的最值過程中，需要探討g（x）的正負(fù)，而此時(shí)g(x）的式子中有一項(xiàng)ex2x的符號(hào)不易確定,這時(shí)可以單獨(dú)拿出ex2x這一項(xiàng)，再重新構(gòu)造新函數(shù)h（x)ex2x（x0

15、），考慮h(x)的正負(fù)問題，此題看似簡(jiǎn)單，且不含任何參數(shù),但需要兩次構(gòu)造函數(shù)求最值，同時(shí)在（2)中定義域也是易忽視的一個(gè)方向答題模板解決這類問題的答題模板如下：題型專練3(2017福建漳州質(zhì)檢）已知函數(shù)f（x）aexblnx，曲線yf(x)在點(diǎn)（1,f(1）)處的切線方程為yx1.(1）求a,b;(2)證明：f(x）0。解(1)函數(shù)f（x)的定義域?yàn)?0，)f(x）aex，由題意得f（1），f（1）1，所以解得（2)由(1)知f(x)exlnx.因?yàn)閒(x)ex2在（0,）上單調(diào)遞增，又f(1）0，f(2）0，所以f（x)0在（0,）上有唯一實(shí)根x0，且x0（1，2）當(dāng)x（0，x0)時(shí),f（x

16、)0,所以f(x）m,當(dāng)m0時(shí)，f(x)0，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增當(dāng)m0時(shí)，由f(0）0得x;由得00時(shí),f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為。(2)若m，則f(x）lnxx。對(duì)x1，x22,2e2都有g(shù)(x1)f(x2)成立，等價(jià)于對(duì)x2，2e2都有g(shù)（x)minf(x)max，由（1)知在2，2e2上f（x）的最大值為f(e2）,g(x)10（a0）,x2，2e2，函數(shù)g（x)在2，2e2上是增函數(shù)，g(x)ming(2)2，由2，得a3，又a0，所以a(0,3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，3解題反思本例（1)的解答中要注意f（x)的定義域,(2）中問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函

17、數(shù)f(x）、g（x)的最值問題本題中，x1,x2有g(shù)(x1）f(x2）g(x）minf（x)max。若改為：x1，x2都有g(shù)(x1)f(x2)，則有g(shù)（x)maxf(x）max.若改為：x1，x2都有g(shù)（x1）g(x2），則有g(shù)（x）minf(x)min要仔細(xì)體會(huì)，轉(zhuǎn)化準(zhǔn)確答題模板解決這類問題的答題模板如下：題型專練4已知f(x)xlnx，g（x）x2ax3.(1)對(duì)一切x（0，），2f（x）g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2）證明：對(duì)一切x（0，)，lnx恒成立解(1)由題意知2xlnxx2ax3對(duì)一切x(0,）恒成立,則a2lnxx,設(shè)h(x)2lnxx（x0），則h(x），當(dāng)x（0

18、，1)時(shí)，h（x）0，f(x）單調(diào)遞增，所以f(x）minf。設(shè)m(x）(x(0，),則m（x），易知m（x）maxm(1),從而對(duì)一切x（0，）,lnx恒成立當(dāng)x（1，)時(shí)，h(x）0,h（x）單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1）4，對(duì)一切x(0，),2f(x)g(x）恒成立，所以ah（x）min4。即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,4題型五：二階導(dǎo)主要用于求函數(shù)的取值范圍23（12分）已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnxa（x1)（i）當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f（x）在（1，f（1)）處的切線方程；（ii）若當(dāng)x（1，+）時(shí)，f（x)0，求a的取值范圍【解答】解：(i）當(dāng)a=4時(shí)，f(x）=(x+1）l

19、nx4（x1）f（1)=0，即點(diǎn)為(1,0）,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f（x）=lnx+（x+1）4,則f（1)=ln1+24=24=2，即函數(shù)的切線斜率k=f（1）=2,則曲線y=f（x)在（1，0）處的切線方程為y=2（x1）=2x+2;（ii）f(x）=（x+1)lnxa（x1），f(x）=1+lnxa，f（x）=，x1，f(x）0，f（x）在（1，+)上單調(diào)遞增，f（x）f(1)=2aa2，f（x）f（1)0,f（x)在(1,+）上單調(diào)遞增，f（x）f（1）=0，滿足題意；a2，存在x0（1,+），f（x0）=0，函數(shù)f（x)在（1,x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+）上單調(diào)遞增，由f（1）=0，可得存

20、在x0(1，+），f(x0）0，不合題意綜上所述，a223（12分)已知函數(shù)f(x）=（x+1）lnxa（x1）(i）當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1）處的切線方程；（ii）若當(dāng)x（1，+）時(shí)，f（x)0,求a的取值范圍【解答】解：（i）當(dāng)a=4時(shí),f(x）=(x+1）lnx4（x1）f（1)=0，即點(diǎn)為(1,0）,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f（x)=lnx+(x+1）4,則f（1）=ln1+24=24=2，即函數(shù)的切線斜率k=f（1）=2，則曲線y=f（x）在（1，0）處的切線方程為y=2(x1)=2x+2；（ii)f（x）=(x+1）lnxa（x1），f（x）=1+lnxa，f（x）=,x1，f（x）0，f（x）在(1，+）上單調(diào)遞增，f(x)f(1)=2aa2,f(x）f（1)0,f（x)在（1，+）上單調(diào)遞增，f（x)f（1)=0,滿足題意；a2,存在x0（1，+)，f（x0)=0，函數(shù)f（x）在（1,x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+)上單調(diào)遞增，由f（1)=0，可得存在x0（1，+）,f(x0）0，不合題意綜上所述，a2題型六：求含參數(shù)求知范圍此類