約束層阻尼梁動力學(xué)特性研究——畢業(yè)論文

1、約束層阻尼梁動力學(xué)特性研究目 錄目 錄0第1章 緒 論11.1課題研究的背景和意義11.2目前國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀21.3本文的研究思路及內(nèi)容4第2章 數(shù)值方法和基本理論52.1 精細(xì)積分算法52.1.1引 言52.1.2 精細(xì)積分法的基本原理52.1.3指數(shù)矩陣的精細(xì)算法82.1.4精細(xì)積分法的研究現(xiàn)狀92.2 傳遞矩陣法10第3章 被動約束層阻尼梁的控制方程113.1 pcld梁的控制方程113.2 粘彈阻尼層的剪切應(yīng)變133.3 粘彈阻尼層的法向平衡方程133.4 基梁和約束層的中面作用力143.5 pcld梁的整合一階常微分矩陣方程15第4章 被動約束層阻尼梁的動力學(xué)特性分析204.1 精

2、細(xì)積分法求解204.2方法驗證214.3阻尼層厚度和約束層厚度對動力學(xué)響應(yīng)的影響21結(jié) 論24參考文獻(xiàn)25致 謝29附 錄30約束層阻尼梁動力學(xué)特性研究 摘 要1、 根據(jù)基梁或約束梁的基本方程（平衡方程、內(nèi)力-位移關(guān)系），推導(dǎo)出其一階常微分矩陣形式的控制方程，并進(jìn)行驗證。2、 對黏彈層采用復(fù)常量剪切模型，考慮層與層之間的相互作用力，建立其一階常微分矩陣形式的控制方程，并進(jìn)行驗證。3、 采用齊次擴(kuò)容精細(xì)積分算法，對pcld梁的控制方程進(jìn)行求解，并了解約束層和黏彈層的幾何參數(shù)對其阻尼特性和動力學(xué)響應(yīng)的影響。由梁的基本方程出發(fā)，考慮粘彈性層與基板、約束層間的法向和切向相互作用力的影響，導(dǎo)出部分帶狀覆

3、蓋被動約束層阻尼(passive constrained layer damping，pcld)梁在兩端簡支情況下的一階常微分矩陣方程方程的狀態(tài)向量由4個獨(dú)立的位移變量和內(nèi)力變量組成，可方便地應(yīng)用于位移和應(yīng)力邊界條件。同時，利用精細(xì)積分法和傳遞矩陣原理求解特征方程計算了多種情況下pcld板的固有頻率和損耗因子。通過與參考文獻(xiàn)結(jié)果相比，驗證了本文方法的正確性。最后，分析了覆蓋位置和覆蓋率對結(jié)構(gòu)減振特性的影響。 關(guān)鍵詞：pcld板；精細(xì)積分法；傳遞矩陣法；固有頻率；損耗因子 abstract： based on the thin plate theory， considering the effe

4、ct of the normal and tangential interaction between the viscoelastic layer and host plate，constrained layer，the integrated first order differential matrix equation of the sandwich rectangular plate with partially passive constrained layer damping treatment(pcld) is obtained for the simply supported

5、boundary condition in two opposite edgesthe statement vector of the proposed equation is composed of four displacement and internal force components，which can be applied to either displacement or stress boundary conditionat the same time，the eigen valve equation was solved by virtue of the precision

6、 integration approach and transfer matrix principle，and the nature frequencies and loss factors of the pcld plate were also calculated under various conditions the comparison with the document has verified the correctness of the proposed methodlastly，the influence of the covering placement and cover

7、ing percentage on the vibration suppression characteristic were analyzedkey words：pcld plate；precision integration approach；transfer matrix method；nature frequency；loss factor 1 課題研究的背景和意義1-1-1振動的危害性在工程中大多數(shù)機(jī)械和結(jié)構(gòu)，如工程機(jī)械、橋梁、大樓、大壩、電視發(fā)射塔、海洋工程結(jié)構(gòu)、機(jī)床、坦克裝甲車、汽車、火車、航天航空器、儀器設(shè)備等，都會承受變化的動荷載，因而不可避免地要出現(xiàn)振動。劇烈的振動將會導(dǎo)致

8、零件和構(gòu)建裂紋的產(chǎn)生與擴(kuò)展，最后使零件和構(gòu)件強(qiáng)度降低和疲勞破壞；振動還將導(dǎo)致軸承等摩擦副的磨損、齒輪等機(jī)構(gòu)的傳動失效、武器命中率降低、緊固件松脫及機(jī)械零件加工精度降低，并使交通運(yùn)載工具舒適性大大降低；振動還消耗能量、降低效率；振動還將伴隨各種噪聲將人們的工作和生活壞境惡化。所以就非常有必要對各種不必要得振動進(jìn)行振動控制。1-1-2振動控制的方法振動控制實際上就是振動抑制，也就是設(shè)法把振動的危害限制到最小限度或減少到容許的程度。振動控制可分為被動式和主動式（還有半主動式）的，前者屬于事先一次性設(shè)計的振動控制，后者利用反饋控制，自動進(jìn)行振動控制。但由于主動和半主動減振技術(shù)的成本太高，因此其大量應(yīng)用

9、十分緩慢。相比之下，被動式應(yīng)用更簡單有效，以下我們所談的就是前一種被動式振動控制。被動式的振動控制技術(shù)包括阻尼消振、運(yùn)動隔振、力隔振與動力吸振技術(shù)。1-1-3被動式阻尼消振在系統(tǒng)振動過程中，阻尼具有消耗振動能量、使瞬態(tài)振動迅速衰減、并降低強(qiáng)迫振動的振幅、避免自激振動的產(chǎn)生及減少結(jié)構(gòu)傳遞振動的能力。因此，阻尼是控制振動的重要手段。當(dāng)然，不合適的阻尼不僅不能控制振動，而且還會降低機(jī)器的效率，加速零件的摩擦，并增加設(shè)備的熱變形等。在系統(tǒng)中增加阻尼，可以通過多種方法來實現(xiàn)：（1） 在振動系統(tǒng)中安裝阻尼減震器，如在汽車及軍用車輛中，在懸掛上安裝各種類型的阻尼減振器；（2） 使用高內(nèi)阻的材料制造零件，如纖

10、維增強(qiáng)的復(fù)合材料；（3） 加貼黏彈性阻尼材料：工程上大多用你粘貼自由阻尼或約束阻尼層的辦法來控制結(jié)構(gòu)的振動，前者利用拉壓變形，后者利用剪切變形來消耗能量。約束阻尼層往往更為有效，特別是多層約束阻尼層；（4） 增加運(yùn)動件的相對摩擦（如干摩擦）。本文所研究的就是基于第（3）中方法。1-1-4約束層阻尼減振對結(jié)構(gòu)進(jìn)行阻尼處理是工程上用來控制結(jié)構(gòu)振動的一種有效方法。最簡單的阻尼形式是在原基體結(jié)構(gòu)表面粘黏彈性材料或噴涂一層大阻尼的材料而構(gòu)成自由阻尼層。當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生振動時，阻尼層因發(fā)生應(yīng)變而將振動的能量轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能并以熱的形式進(jìn)行耗散，構(gòu)成的阻尼層結(jié)構(gòu)具有減振和防噪聲的效果。現(xiàn)已被廣泛用于航天航空、航海、交

11、通運(yùn)輸和土木建筑等領(lǐng)域，研究阻尼層結(jié)構(gòu)的震振動效果具有重要的現(xiàn)實意義。從六十年代初期，被動阻尼技術(shù)應(yīng)用一直在非商業(yè)的航空領(lǐng)域占有統(tǒng)治地位，隨著仿真分析和實驗技術(shù)的快捷有效的發(fā)展，在材料和結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性方面的分析計算也越來越精確，這帶動了被動阻尼技術(shù)更廣闊的領(lǐng)域中應(yīng)用。根據(jù)實際需要的不同，結(jié)構(gòu)粘彈阻尼的敷設(shè)可有如下幾種形式：(1)自由阻尼層敷設(shè)(如圖a(a)所示)：直接將粘彈性材料粘貼或噴涂在需要減振的結(jié)構(gòu)元傳的表面上。(2)約束阻尼層敷設(shè)(如圖a(b）所示)：在阻尼層外再加上一層約束層（彈性層）。(3)多阻尼層敷設(shè)(如圖a(c)所示)：結(jié)構(gòu)中有多層阻尼。(4)不連續(xù)阻尼(局部阻尼)敷設(shè)(如圖a

12、(d)所示)：圖中所示的是不連續(xù)的自由阻尼層敷設(shè)，當(dāng)然也可以是不連續(xù)的約束阻尼層敷設(shè)。 a b c d 粘彈性材料 彈性層 圖 a結(jié)構(gòu)粘彈阻尼敷設(shè)方式約束層阻尼是減振降噪的一種有效方法。覆蓋在阻尼材料上的約束層(多為金屬板)使得當(dāng)結(jié)構(gòu)承受循環(huán)彎曲時阻尼材料發(fā)生剪切變形，剪切應(yīng)力的作用是使振動能量消耗的主要原因之一，約束層阻尼結(jié)構(gòu)中，阻尼層所消耗的能量取決于模量，約束層厚度、阻尼層厚度以及阻尼材料的性質(zhì)等因素。約束阻尼材料由于振動時發(fā)生剪切變形而具有更大的結(jié)構(gòu)損耗，因而在振動與噪聲控制工程中得到了更廣泛的應(yīng)用。在約束層的設(shè)計和選擇中，通常要選擇約束層材料的剛度盡可能大，但不要超過體系的剛度。約束

13、層阻尼結(jié)構(gòu)由于其使用方便，節(jié)省空間，無需改變原有設(shè)計并且在很寬的溫度和頻率范圍內(nèi)提供高阻尼等特點，被越來越廣泛地應(yīng)用于飛機(jī)、列車、硬盤、建筑等領(lǐng)域作為減振降噪的手段。約束阻尼結(jié)構(gòu)的研究從約束阻尼粱的動力學(xué)理論擴(kuò)展到板、殼等復(fù)雜結(jié)構(gòu)，并建立了考慮多種變形因素和慣性因素的復(fù)雜模型，國內(nèi)外學(xué)者提出了大量理論。雖然對約束阻結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程和邊界條件研究己經(jīng)較為深入，但由于涉及到在復(fù)數(shù)域內(nèi)求解高階非線性方程組，對它們求解還存在很大的計算上的困難。目前，考慮多種變形因素和慣性因素的梁、板和殼結(jié)構(gòu)模型只有在模態(tài)振型為實數(shù)的邊界條件下(如簡支)才可求解。而隨著計算技術(shù)的發(fā)展和計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，數(shù)值計算己成為當(dāng)前

14、結(jié)構(gòu)分析的強(qiáng)有力工具。而在本課題中，利用線彈性究彈性-粘彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動特性。討論和分析了結(jié)構(gòu)邊界條件、結(jié)構(gòu)幾何尺寸對結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的影響。1.2目前國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀關(guān)于機(jī)械結(jié)構(gòu)的減振問題，約束阻尼層(constrained layer damping，cld)是一種常用且有效的方式。早期理論可見于1959年kerwin3將阻尼層放在兩平板中成為三層系統(tǒng)，考慮梁的橫向位移以正弦函數(shù)表示，且同時以復(fù)數(shù)的方式去表示梁的彎曲剛度，研究阻尼層在三層結(jié)構(gòu)所形成的阻尼減振效應(yīng)。1965年ditaranto4推導(dǎo)了在有限長度下含彈性層和粘彈性層梁所受到彎曲變形所產(chǎn)生的振動分析理論。1969年mead和ma

15、rkus5分析具有粘彈性夾層簡支梁受載荷彎曲振動的模態(tài)。約 束 層 阻 尼 （cld）分 為 主 動 約 束 層 阻 尼 （acld，約 束 層 采 用 壓 電 材 料 ）和 被 動 約 束 層 阻 尼 （pcld，約 束 層 采 用 普 通 彈 性 材 料 ）兩 種 ，而約束阻尼層中粘彈性材料的粘彈特性來吸收損耗振動能量，達(dá)到有效抑制結(jié)構(gòu)振動和噪音，被稱為被動式約束阻尼層(passive constrained layer damping，pcld)結(jié)構(gòu)。許多學(xué)者進(jìn)而修正或推廣上述理論于其他應(yīng)用上。例1972年yah和dowell6在板與粱結(jié)構(gòu)上的研究。1978年douglas與yang7建

16、立橫向壓縮阻尼的數(shù)學(xué)理論模型且應(yīng)用于粘彈性夾層梁，以實驗解析相互驗證粘彈性層阻尼效應(yīng)：這種復(fù)數(shù)模型亦被van nostrand和lnman8所采用。同年，rao9使用能量法推導(dǎo)出夾層粱的運(yùn)動方程，rao更考慮了夾層梁的剪切應(yīng)變能與所受彎矩、拉伸產(chǎn)生的能量，利用哈密頓原理(hamiltons principle)得到一個六階微分方程，并獲得在不同邊界條件下的微分方程解。1988年lall10等人用marlms方法和rayleigh-ritz方法和經(jīng)典歐拉梁法探討了部分覆蓋夾層梁對固有頻率與損耗因子的影響。1991年mead和yaman11研究了三層方板結(jié)構(gòu)的諧響應(yīng)分析。1993年rao與he將其

17、理論推廣至多層阻尼梁結(jié)構(gòu)12。 對于復(fù)合結(jié)構(gòu)的動力分析，trompette等13 研究了局部敷設(shè)粘彈性約束阻尼層梁的振動和阻尼，并對阻尼進(jìn)行了優(yōu)化。johnson等14用復(fù)特征值法和模態(tài)應(yīng)變能法研究了夾層梁，用模態(tài)應(yīng)變能法研究了夾層環(huán)和夾層板，在附錄中對兩種方法進(jìn)行了理論對比。roy等14對約束阻尼層圓形板進(jìn)行了振動和阻尼分析。ravi等15研究了兩端固定的局部或全部敷設(shè)自由阻尼層和約束阻尼層梁的動態(tài)響應(yīng)，應(yīng)用的是模態(tài)疊加法。babe等16研究了簡諧激勵下的粘彈性夾層梁。shin等研究了約束阻尼層板在簡諧激勵下的振動響應(yīng)，分別用模態(tài)應(yīng)變能法和直接頻率響應(yīng)分析法進(jìn)行了計算，并進(jìn)行了實驗研究。wa

18、ng等17對對稱和非對稱粘彈性夾層環(huán)形板復(fù)合結(jié)構(gòu)的振動和阻尼性能進(jìn)行了分析。yang等18用用有限元方法對運(yùn)動中的夾層粱作了振動和動態(tài)穩(wěn)定性分析，并研究了其損耗因。mead19研究了評價約束阻尼和自由阻尼梁和板的損耗因子計算的精確方法。到90年代，主動約束層阻尼（acld）開始得到更多的關(guān)注。acld結(jié)構(gòu)使用主動元件（通常是壓電層）來代替或添加在被動約束層上，以提高阻尼能量耗散。于此，提出了一些acld的解析公式。其中，baz 和shen 建立的數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用最廣泛的。baz20導(dǎo)出了全敷設(shè)和部分敷設(shè)acld euler-bernoulli梁在彎曲振動時的六階常微分控制方程，而shen21的數(shù)

19、學(xué)模型則描述了敷設(shè)有acld的euler-bernoulli梁在彎曲和軸向運(yùn)動時的耦合特性。最近，huang22等與后來的gao 和shen23使用假設(shè)模態(tài)法和閉環(huán)速度反饋控制律，得出了通過部分敷設(shè)自適應(yīng)acld塊控制懸臂梁振動的運(yùn)動方程。基于這些模型進(jìn)行了各種解析和數(shù)值分析，acld的可行性和性能也由試驗得到確定。而在振動結(jié)構(gòu)的主動和被動約束層阻尼的敷設(shè)方式的優(yōu)化設(shè)計方面，學(xué)者們也進(jìn)行了大量的工作研究。這些努力旨在于，通過確定最佳的材料和幾何參數(shù)來獲得最大限度的模態(tài)阻尼系數(shù)和模態(tài)應(yīng)變能量，或通過選擇最優(yōu)的長度和位置，使得敷設(shè)重量盡可能小。例如，baz和ro24用單變量的搜索方法，分別優(yōu)化了采

20、用比例微分控制器時的全敷設(shè)acld梁的敷設(shè)性能，以此選擇粘彈層的最優(yōu)的厚度和剪切模量，以及控制增益。marcelin等25用遺傳算法和梁的有限元法，以最大限度地增加局部梁的阻尼系數(shù),設(shè)計變量為敷設(shè)塊的尺寸和位置。數(shù)學(xué)上，cld塊的布局優(yōu)化可定義為一個非線性優(yōu)化問題為：找設(shè)計變量，也就是，敷設(shè)塊的長度和位置，經(jīng)過一個cld允許附加重量的不等式約束，使得一個目標(biāo)函數(shù)，敷設(shè)cld結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，最小。有很多優(yōu)化算式、研究方法可以用來解決這個問題。大多數(shù)現(xiàn)存的優(yōu)化算法被設(shè)用來找到一個局部最優(yōu)。其中一個例子就是序列二次規(guī)劃算法，它已被證明對多數(shù)最優(yōu)化問題，是穩(wěn)定的和有效的。在國內(nèi)，許多學(xué)者也對阻尼層做了

21、大量的研究，陳前26提出了復(fù)合結(jié)構(gòu)的“對偶保守結(jié)構(gòu)”概念，取“對偶保守結(jié)構(gòu)”的固有頻率作為復(fù)合結(jié)構(gòu)共振頻率初值，并將“對偶保守結(jié)構(gòu)”的模態(tài)向量用于模態(tài)應(yīng)變能法來計算損耗因子初值，由此得到復(fù)特征值初值，進(jìn)入局部線性化逆跌代過程。李軍強(qiáng)27利用擴(kuò)階狀態(tài)變量，提出了一種彈性粘彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的分析方法。高淑華等28利用通用的fem程序探討了粘彈性結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析的等效粘性阻尼算法。劉天雄29等對約東阻尼層板的有限元建模進(jìn)行了研究，并與經(jīng)典ghm方法和實驗方法進(jìn)行了對比，計算結(jié)果準(zhǔn)確。鄧年春30等基手虛功原理，提出了一種新的建立約束阻尼板結(jié)構(gòu)動力學(xué)有限元模型的方法。錢振東31等分析了簡支矩形板的固有

22、振動，討論其振動特點。曾海泉等32介紹了幾種典型的復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)，并用振動控制理論對其中的一些結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析。冉志等33提出了一種新的計算彈性-粘彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的各階譜矩的計算方法，分析了粘彈性對備階譜矩的影響。陳國平等34研究附加約束阻尼后梁的振動分析。在引入的位移模式中考慮了附加部分對原結(jié)構(gòu)運(yùn)動的相對特性和阻尼層的橫向剪切效應(yīng)，據(jù)此推導(dǎo)了附加阻尼層后梁的運(yùn)動方程和邊界條件。通過對簡支梁的固有振動分析，討論了其振動特點。李 恩 奇 、唐 金 國 等35 基 于hamilton原 理 提 出 了一 種 分 析 pcld 梁 動 力 學(xué) 問 題 的 傳 遞 函 數(shù) 法 ，建 立 了 以 位

23、移 及 其 高 階 導(dǎo) 數(shù) 為 狀 態(tài) 向 量 的一 階 常 微 分 矩 陣 方 程 ，這 對 拓 展 傳 遞 矩 陣 法 或 傳 遞 函 數(shù) 法 的 應(yīng) 用 范 圍 起 到 了積 極 的作 用 。近年來，隨著國外各類大型結(jié)構(gòu)動力分析計算程序的研發(fā)應(yīng)用，有限元分析技術(shù)開始被引入到粘彈性阻尼結(jié)構(gòu)的動特性分析中。結(jié) 構(gòu) 的 建 模 和 分 析 方 法 方 面 ，從 目 前 已 發(fā) 表 的 文 獻(xiàn) 來 看 ，主 要 以 有 限 元 法 居 多。運(yùn)用有限元分析的方法研究、計算粘彈性阻尼結(jié)構(gòu)的動特牲，可以很方便的處理各種結(jié)構(gòu)形式和邊界條件，并利用計算機(jī)迅速地得到滿足工程精度要求的數(shù)值解，因此在應(yīng)用上有明

24、顯的實用意義。但 有 限元 法 卻 存 在 離 散 變 量 和 自 由 度 過 多 而 導(dǎo) 致 太 費(fèi) 機(jī) 時 ，且 由 于 采 用 低 階 形 函 數(shù) 離 散 插 ，高 頻 響應(yīng) 精 度 差 ，故 僅 適 用 于 中、低 頻 范 圍 。1.3本文的研究思路及內(nèi)容本文從梁的基本方程出發(fā)，考慮粘彈層剪力耗能的影響和層間相互作用，導(dǎo)出了pcld梁在最一般的情況下得整合一階微分矩陣方程，方程中的8個狀態(tài)變量包活了全部獨(dú)立的位移變量和內(nèi)力變量，可以方便地直接用于幾乎所有的邊界支承條件和任意間斷布置pcld覆蓋層的問題。該模型的建立，為后面采用精細(xì)積分法求解pcld 梁的動力學(xué)問題奠定了基礎(chǔ)，主要內(nèi)容有

25、：1、第1章主要是介紹本文的研究背景及其意義，通過查閱資料，大概總結(jié)了國內(nèi)外學(xué)者在pcld和cld梁問題及解決問題的數(shù)學(xué)方法的研究成果。2、第2章主要介紹了本文本文所用到的方法和理論。3、第3章基于線彈性理論，通過對梁的一般模型進(jìn)行分析研究，得出梁的微分平衡方程，通過對其狀態(tài)向量無量綱化處理，得到梁的一階狀態(tài)向量常微分矩陣方程。4、第4章根據(jù)齊次擴(kuò)容精細(xì)積分算法，對pcld梁的控制方程進(jìn)行求解，并了解約束層和黏彈層的幾何參數(shù)對其阻尼特性和動力學(xué)響應(yīng)的影響。5、最后對全文進(jìn)行總結(jié)。傳遞矩陣法 目前，解析法和有限元法是對約束阻尼層合板的研究常用主要的兩種方法。解析法雖然精度高，物理意義明確，但應(yīng)用

26、范圍有限。而有限元法雖適用范圍廣，但由于引入耗散自由度，計算效率較低，所以我們采用一種基于傳遞矩陣的半數(shù)值半解析方法。傳遞矩陣法是一種結(jié)構(gòu)分析的方法。它依據(jù)結(jié)構(gòu)控制微分方程精確解答，并借助于計算機(jī)，利用矩陣的簡單相乘對結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜態(tài)、動態(tài)及穩(wěn)定性分析，只是在運(yùn)用計算枧進(jìn)行數(shù)值計算時,如果矩陣連乘次數(shù)過多可能造成求解結(jié)果精度的下降，為此我們還需要對各參量進(jìn)行無量綱化處理。該方法和有限元法相比，不存在需存儲占用空間很大的總剛度矩陣及解一個大型的現(xiàn)線性方程組問題，因而數(shù)據(jù)輸入工作量少，編程方便簡潔，且所獲得的結(jié)果精確度十分之高；該方法與加權(quán)余量法相比，不存在需要選擇合適的試函數(shù)問題，也無需論證解的收斂

27、性。正因為該方法具有精確度高、力學(xué)概念清晰、邏輯性強(qiáng)，建模靈活、計算效率高，無需建立系統(tǒng)的總動力學(xué)方程、占用計算機(jī)內(nèi)存少及簡便易行的優(yōu)點，因此特別適合于結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)分析、動力特性分析（模態(tài)分析、穩(wěn)定性分析）等領(lǐng)域的工程技術(shù)人員在計算機(jī)上加以應(yīng)用。第3章 被動約束層阻尼梁的控制方程3.1 pcld梁的控制方程如下圖1所示pcld梁（其截面為矩形）剖面圖，pcld梁由彈性基層、粘彈層、約束層三層組成，其厚度分別為、，橫面積分別為、，截面慣性矩分別為、，基梁長度為l?；鶎?，粘彈層和約束層的材料密度分別為、，楊氏模量分別為、。 約束層（3） 粘彈層（2） 基 梁（1） l y z b=1 圖1 層合梁

28、示意圖為了簡化，做如下假設(shè)：（a）不計pcld梁厚度方向的擠壓線性應(yīng)變，三層材料沿徑向的位移相同；（b）各層之間粘結(jié)完好沒有滑移，層間位移連續(xù)；（c）粘彈阻尼層只考慮主要的橫向剪切變形，略去其拉壓和彎曲剛度；（d）在粘彈阻尼層中只考慮橫（徑）向振動慣量，面內(nèi)慣性忽略不計。（1） 基梁的控制方程 y 圖2 基梁橫向振動受力分析圖 圖3基梁縱向振動受力分析圖 取其基梁為研究對象，在縱向方向其無力方程為：（其中為縱向慣性力）整理得 根據(jù)牛頓第二定律，基梁的橫向運(yùn)動滿足： （其中為橫向慣性力）整理得 在基梁中取一段微元放大如下圖4，設(shè)直桿的原長度為，橫截面積為。在軸向拉力下，長度由變成。桿件在軸線方向

29、的伸長為 圖4將除以得桿件軸線方向的線應(yīng)變此外，在桿件橫截面上的應(yīng)力為另外，有胡克定律整理上面的公式可得 因此有 y o x 圖5如圖5，彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉(zhuǎn)過的角度，稱為截面轉(zhuǎn)角。根據(jù)平面假設(shè)，彎曲變形前垂直于軸線（x軸）的橫截面，變形后仍垂直于繞曲線。所以，截面轉(zhuǎn)角就是y軸與繞曲線法線的夾角。它應(yīng)等于繞曲線的傾角，即等于x軸與繞曲線切線的夾角。故有由于很小，所以有 由材料力學(xué)可知（其中）代入可得如圖3，又因為，整理為形式則可求得 則諧激勵下（各物理量均可表示為幅值和諧激勵因子的乘積的形式，下面方程中有上標(biāo)的各物理量均為真實物理量的幅值），其縱向振動方程和橫向振動方程化成如下

30、形式： 對于各向同性量，其內(nèi)力位移關(guān)系為： 為了處理方便，引入無量綱變量，對基梁的平衡方程和內(nèi)力-位移關(guān)系式進(jìn)行處理，可得基梁的一階狀態(tài)向量微分控制方程組如下： 寫成矩陣的形式如下： 其中，。（2） 約束梁的控制方程如下：同理可得約束梁的控制方程如下： 寫成矩陣的形式如下： 其中,.（3） 層間相互作用力如圖4、圖5所示，考慮基層與黏彈層，黏彈層和約束層之間的相互作用力幅值，與及分別作用在基層或約束層上的外激勵力幅值，由切應(yīng)力互等定理可得 與 再由類似克?；舴?，可得同理可得整理之后，則式，中的，可以寫成：， ， 約束層（3） 粘彈芯（2） 基殼層（1） 圖4 層合梁之間的法向相互作用力 z x

31、 圖5 粘彈芯中得剪切力考慮黏彈層的橫向振動，寫出運(yùn)動方程如下：（為橫向慣性力）簡化后得：（其中復(fù)數(shù)）繼續(xù)簡化，最后得： （4） 黏彈層的剪切力 取基梁為例分析，基梁、約束梁和黏彈層的位移變形包括縱向變形、（如圖6）和橫向偏轉(zhuǎn)位移、（如圖7）組成。 基梁變形前位置 中面層 基梁變形后位置 圖6各梁的縱向位移 基梁變形前位置 基梁變形前位置 圖7各梁的橫向位移則可得：則 中面層 圖6 層合梁變形協(xié)調(diào)關(guān)系 由圖6可見，黏彈層的剪應(yīng)變?yōu)椋航Y(jié)合式可得： 黏由于彈層僅計其剪切變形，故其剪切應(yīng)力可表示為 式中，為諧激勵下的剪應(yīng)變幅值,為粘彈層的復(fù)剪切模量。將其中的各位移量幅值用無量綱化幅值替代可得： 同時

32、可知 （5） pcld控制方程的整合 對比基梁和約束梁的控制方程，可知式與式完全相同，僅需保留一式。而式與 式左邊完全相同，由此可知： 將 式代入和，將 式代入和可得： 式和中含有未知作用力和，可利用式消去如下： 此時方程中出現(xiàn)了新的整合狀態(tài)變量，需將基梁和約束梁控制方程中出現(xiàn)的式和出現(xiàn)的式進(jìn)行整合，以匹配出整合狀態(tài)向量。將式兩邊同乘，以式相加，并將式代入整理得： 此時，層合梁的控制方程由、組成，將、代入相關(guān)方程，最終整理可得 其中，為層合梁的整合狀態(tài)變量，g為系數(shù)矩陣，其中的非零元素為：，。（6）驗證基層控制方程是否正確 0 1 圖7 簡支梁邊界條件分別如下： 以如圖7的簡支梁為例進(jìn)行驗證，由于，故，則式可以化簡成如下的齊次方程： （其中為傳遞矩陣） 令，。則式可以寫成 將式和式代入有： 取式的2、4、6列，簡化得：最后可以求出。指數(shù)矩陣的精細(xì)算法在結(jié)構(gòu)動力、優(yōu)化控制等問題中，通過變換都可以將運(yùn)動（控制）微分方程寫成狀態(tài)向量形式 (2-20)式中，為階狀態(tài)向量；是階常數(shù)矩陣；為階載荷向量（或控制微量）。 當(dāng)時，一階線性常系數(shù)齊次微分方程組的解可寫成 （2-21） 當(dāng)積分步長時，指數(shù)矩陣（或傳遞矩陣）為 (2-22) 因此，如何精確地求得指數(shù)矩陣（或傳遞矩陣）的值，就成為這類方法的核心。 鐘氏精細(xì)算法中其要點是利用加法定理，取，將矩陣縮小后，保證用泰勒級數(shù)展開計算