大學(xué)高等數(shù)學(xué)上冊：Ch2-2-3_4極限性質(zhì)_運算

1、三、函數(shù)極限的性質(zhì),2.局部有界性,1.唯一性定理,定理(局部保號性定理）,3、局部保號性,推論,說明：以上3個定理及推論在 的其它趨限過程中，即在,的情況下都有類似的結(jié)論成立.,4.局部保序性,四、無窮小、無窮大,1、無窮小:,無窮小或無窮小量.,例如,注意,（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).,2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,意義,（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題 (無窮小);,3、無窮小的運算性質(zhì):,定理 在自變量的同一變化過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,稱之為極限基本定理,（對自變量的其它趨限同樣成立）,證,定

2、理,證,推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,4、無窮大,絕對值無限增大的變量稱為無窮大或無窮大量.,特殊情形：正無窮大，負無窮大,注意,（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.,不是無窮大,無界，,證,定義,5、無窮大的運算性質(zhì):,性質(zhì)1,性質(zhì)2,說明：,（1） 有界量乘無窮大未必是無窮大 !,反例：,(2) 無窮大量 無窮大量 無窮大量,反例：,（3）,反例：,6、無窮小與無窮大的關(guān)系,定理 在自變量同一趨限過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.,證,五

3、、極限運算法則,定理,證,由無窮小運算法則,得,1.極限四則運算法則,推論1,常數(shù)因子可以提到極限記號外面.,推論2,例1,解,小結(jié):,解,商的法則不能用,由無窮小與無窮大的關(guān)系,得,例2,解,例3,(消去零因子法),分析：,解:,例5,解,分析：,例6,解：,小結(jié):,無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.,例7,解,2、復(fù)合函數(shù)求極限的變量代換（換元）法則,定理 設(shè),3、極限存在準則,準則1（夾逼準則）,且,例9,利用夾逼準則,解：,單調(diào)有界數(shù)列必有極限,例11,注意：,利用遞推式求極限是以極限存在為前提的，不能作為極限存在的證明過程！,解,例12,

4、已知,計算,考慮單調(diào)性,假設(shè) xn xn-1 ,由 xn 0 , 有,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知 xn 單調(diào)增 .,又,單調(diào)增有上界,收 斂,設(shè),在 兩邊取極限 ,有,解得,所以,4、兩個重要極限,(1),例9,解,注意：極限可寫為,例10 求,（m,n為正整數(shù)）,解：,例11 求,解：,例12 求,解：,例13,解：,(2),例14,解,例14,解,例15,解,例16,解,注意,還可利用公式:,思考與練習(xí),填空題 ( 14 ),求極限,思考題解答,解,練習(xí),如果,計算,顯然對一切 n N , an 0,下證: 對一切 n N , an 3,當 n = 1 時 ,下設(shè) ,則有,所以根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知 , 對一切 n N , an