直線和圓方程【期末復(fù)習(xí)案

1、第五講直線和圓方程【期末復(fù)習(xí)案】一、基礎(chǔ)知識整合1.直線的傾斜角與斜率(1) 直線的傾斜角定義：當(dāng)直線l 與 x 軸相交時，我們?nèi) 軸作為基準(zhǔn)，x 軸正向與直線l 向上 方向之間所成的角 叫做直線l 的傾斜角；規(guī)定：當(dāng)直線l 與 x 軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0；范圍：直線的傾斜角的取值范圍是0， ).(2) 直線的斜率定義：當(dāng)直線l 的傾斜角 時，其傾斜角 的正切值 tan 叫做這條直線的斜率，斜率2通常用小寫字母k 表示，即 k tan_；斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1) ，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為ky2 y1x2 x1.2.直線方程的五種形式名稱幾何條

2、件方程斜截式縱截距、斜率y kx b點斜式過一點、斜率y y0 k(x x0) 來源:Z+xx+k.Com 來源 學(xué)& 科 &網(wǎng)兩點式過兩點y y1 x x1y2 y1 x2 x1截距式縱、橫截距x y 1a b一般式Ax ByC 0(A2B2 0)適用條件與 x 軸不垂直的直線來源 學(xué)# 科# 網(wǎng)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線所有直線1.兩條直線平行與垂直的判定(1) 兩條直線平行對于兩條不重合的直線 l 1，l2，其斜率分別為 k1，k2，則有 l1 l2? k1 k2.特別地， 當(dāng)直線 l 1， l 2 的斜率都不存在時， l1 與 l2 平行 .(2) 兩條

3、直線垂直如果兩條直線l 1，l2 斜率都存在， 設(shè)為 k1，k2，則 l 1 l 2? k1k2 1，當(dāng)一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直 .2.兩直線相交直線 l1 ：A1x B1y C1 0 和 l2： A2x B2y C2 0 的公共點的坐標(biāo)與A1x B1y C1 0，方程組的解一一對應(yīng) .A2x B2y C2 0相交 ? 方程組有 唯一解 ，交點坐標(biāo)就是方程組的解；平行? 方程組無解；重合 ? 方程組有 無數(shù)個解 .3.距離公式(1) 兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1， y1)， P2(x2 ，y2)間的距離公式為|P1P2|（ x2 x1）2（ y2 y1

4、） 2.特別地，原點O(0，0)與任一點 P(x， y)的距離 |OP |x2 y2.(2) 點到直線的距離公式平面上任意一點P0(x0， y0)到直線 l： Ax ByC 0 的距離 d|Ax0 By0 C|A2 B2.(3) 兩條平行線間的距離公式|C1 C2|一般地，兩條平行直線l 1：Ax By C1 0， l 2： Ax By C2 0 間的距離d22.A B1.圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓圓心 C(a， b)標(biāo)準(zhǔn)(x a)2 (yb)2r2 (r 0)半徑為 r充要條件： D2 E2 4F 0方程2 y2 Dx Ey F 0D，Ex圓心坐標(biāo)：一般

5、22(D2 E24F 0)半徑 r1D2E2 4F22.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M( x0，y0 )與圓 C： (x a) 2 (y b)2 r2 之間存在著下列關(guān)系：(1) d r ? M 在圓外，即 (x0 a)2 (y0b)2 r2? M 在圓外 ；(2) d r ? M 在圓上，即 (x0 a)2 (y0b)2 r2? M 在圓 上；(3) d r ? M 在圓內(nèi)，即 (x0 a)2 (y0b)2 r2? M 在圓內(nèi) .1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓 C：(xa)2 (yb)2 r2，直線 l ： Ax By C 0，圓心 C(a， b)到直線 l 的距離為d，（ xa） 2（ yb）

6、 2 r2，由AxBy C 0消去 y(或 x)，得到關(guān)于x(或 y)的一元二次方程，其判別式為.方法幾何法代數(shù)法位置關(guān)系相交d0相切dr 0相離dr02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩個圓的半徑分別為R，r ，R r ，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征d R rd R rR r dRd R rd R r r代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實無實數(shù)解數(shù)解公切線條數(shù)43210三、熱點題型展示類型一直線的傾斜角與斜率【例 1】直線斜率的取值l 過點 P(1， 0)，且與以A(2， 1)， B(0，3)為端點的線段有公共點，則直線l范圍為 _.解析如圖，

7、 kAP 1 0 1， kBP3 0 3，2 10 1直線 l 的斜率 k (， 3 1， ).答案( ，31， )【遷移探究1】 若將題 (2)中 P(1， 0)改為 P( 1，0)，其他條件不變，求直線l 斜率的取值范圍 .解 P(1， 0)， A(2， 1)，B(0， 3)， kAP1 01， k3 0 3.2（1）3BP0（ 1）如圖可知，直線l 斜率的取值范圍為1， 3.3【遷移探究2】 將題 (2) 中的 B 點坐標(biāo)改為 B(2， 1)，其他條件不變，求直線l 傾斜角的范圍.解如圖：直線 PA 的傾斜角為45，直線 PB 的傾斜角為 135，由圖象知直線l 的傾斜角的范圍為0 ，

8、45 135 ， 180).名師點睛：直線傾斜角的范圍是0， )，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， 因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分與0，2， 兩種情況討論 .由正切函數(shù)2時，斜率 k0圖象可以看出，當(dāng) 0， 2，)；當(dāng) 2時，斜率不存在；當(dāng)2， 時，斜率k(，0).類型二直線方程的求法【例 1】 根據(jù)所給條件求直線的方程：(1) 直線過點 ( 4， 0)，傾斜角的正弦值為10； 10(2) 直線過點 ( 3， 4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；(3) 直線過點 (5， 10 )，且到原點的距離為 5.解 (1) 由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點斜式.設(shè)傾斜角為 ，則 sin 1

9、0310110(0 )，從而 cos ，則 k tan .1031故所求直線方程為y3(x 4).即 x3y 4 0 或 x 3y 4 0.xy 1，又直線過點 ( 3， 4)，(2) 由題設(shè)知縱橫截距不為0，設(shè)直線方程為a12 a從而 34 1，解得 a 4 或 a9.a12 a故所求直線方程為4x y 160 或 x 3y 9 0.(3) 當(dāng)斜率不存在時，所求直線方程為x 5 0 滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)其為 k，則所求直線方程為 y 10 k(x 5)，即 kx y 105k 0.由點線距離公式，得|10 5k| 5，解得 k 3.k214故所求直線方程為 3x 4y 250.綜上知，

10、所求直線方程為x 5 0 或 3x4y 25 0.名師點睛：1.直線的傾斜角和斜率的關(guān)系：(1) 任何直線都存在傾斜角，但并不是任意直線都存在斜率.(2) 直線的傾斜角 和斜率 k 之間的對應(yīng)關(guān)系：0090 90900不存在k02.在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件.用斜截式及點斜式時， 直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點的直線.故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.易錯防范 1.求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，

11、但不一定每條直線都存在斜率 .2.根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性.3.截距為一個實數(shù)，既可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，還可以為0，這是解題時容易忽略的一點.類型三兩直線的平行與垂直【例1】(1) 已知兩條直線l 1： (a 1)x 2y 1 0， l2： x ay3 0 平行，則a 等于 ()A. 1B.2C.0 或 2D.1 或 2(2) 已知兩直線方程分別為 l 1： x y 1， l 2：ax 2y 0，若 l1 l 2，則 a _.解析(1)若 a 0，兩直線方程分別為x 2y 1 0 和 x 3，此時兩直線相交， 不平行，所以 a0；當(dāng) a0時，兩直

12、線平行，則有a12 1或 2.1 ，解得 a 1a 3 a(2) 因為 l 1 l2，所以 k1k2 1.即 ( 1) 1，解得 a 2.2答案(1)D(2) 2名師點睛：(1) 當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意 x， y 的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件 .(2) 在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.類型四兩直線的交點與距離問題1【例 1】 (1)已知直線y kx 2k 1 與直線 y 2x2 的交點位于第一象限，則實數(shù) k 的取值范圍是 _.(2) 直線 l 過

13、點 P( 1，2)且到點 A(2，3)和點 B( 4，5)的距離相等，則直線 l 的方程為 _.y kx 2k1，x 2 4k，解析 (1)法一2k1由方程組1解得y 2x 2，6k1y 2k 1.(若 2k 1 0，即 k1，則兩直線平行 )22 4k6k 1交點坐標(biāo)為，.又交點位于第一象限，24k 0，2k 111解得 k .6k 10，622k 1法二如圖，已知直線y 1x 2 與 x 軸、 y 軸分別交于點A(4 ，0)，2B(0， 2).而直線方程y kx2k 1 可變形為y1 k(x 2)，表示這是一條過定點P( 2， 1)，斜率為k 的動直線 .兩直線的交點在第一象限，兩直線的交

14、點必在線段AB 上 (不包括端點 )，動直線的斜率1111k 需滿足 kPA k kPB. kPA ， kPB .6 k .622(2) 法一當(dāng)直線 l 的斜率存在時，設(shè)直線l 的方程為y2 k(x 1)，即 kx y k 20.由題意知|2k 3 k 2| | 4k 5 k2|1k21k2 1，即 |3k 1| 3k 3|， k .3直線 l 的方程為 y 2 1(x 1)，即 x3y 5 0.3當(dāng)直線 l的斜率不存在時，直線l 的方程為 x 1，也符合題意 .法二 當(dāng) AB l 時，有 k kAB1，直線 l 的方程為13y2(x 1)，即 x 3y 5 0.3當(dāng) l 過 AB 中點時，

15、AB 的中點為 ( 1， 4).直線 l 的方程為 x 1.故所求直線 l 的方程為 x3y 5 0 或 x 1.答案 (1) 1，1(2)x 3y 5 0 或 x 162名師點睛： 1.兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合 .對于斜率都存在且不重合的兩條直線 l 1， l2， l1 l 2? k1k2； l1 l 2? k1k2 1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意 .2.對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱.利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法解決問題.易錯防范 1.在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在.若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無

16、斜率，要單獨考慮.2.在運用兩平行直線間的距離公式|C1C2|x，y 的系數(shù)分別d時，一定要注意將兩方程中A2 B2化為相同的形式.類型五圓的方程【例 1】 (1) 過點 A(4，1)的圓 C 與直線 x y 1 0 相切于點 B(2，1)，則圓 C 的方程為 _.(2)已知圓C 經(jīng)過P( 2，4)，Q(3， 1)兩點，且在x 軸上截得的弦長等于6，則圓C的方程為_.解析 (1)法一由已知 kAB0，所以 AB 的中垂線方程為 x 3.過 B 點且垂直于直線 x y1 0 的直線方程為 y 1 (x2)，即 x y 3 0，聯(lián)立，解得x 3，2（ 1 0） 22，所以圓心坐標(biāo)為 (3， 0)，

17、半徑 r （ 4 3）y 0，所以圓 C 的方程為 (x 3)2 y2 2.法二設(shè)圓的方程為(xa)2 (y b)2 r2(r 0)，（ 4 a）2（ 1 b） 2 r 2，點 A(4，1) ，B(2， 1)在圓上，故 （ 2 a）2（ 1 b） 2 r 2，又 b 1 1，解得 a 3，b 0， r2，故所求圓的方程為(x3) 2 y2 2.a 2(2) 設(shè)圓的方程為22Dx Ey F 0(D22 4F 0)，將 P，Q 兩點的坐標(biāo)分別代入得xy E2D 4E F 20，3D E F 10.又令 y 0，得 x2 Dx F 0.設(shè) x1， x2 是方程的兩根，由|x1 x2 |6，得 D24

18、F 36，由，解得D 2， E 4， F 8，或 D 6， E 8， F 0.故所求圓的方程為x2 y2 2x 4y 80 或 x2 y2 6x 8y0.222222答案(1)(x 3) y 2(2) x y 2x 4y 8 0 或 x y 6x 8y 0名師點睛：1.確定一個圓的方程，需要三個獨立條件. “選形式、 定參數(shù) ”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進(jìn)而確定其中的三個參數(shù).2.解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運用圓的幾何性質(zhì)，簡化運算.易錯防范1.求圓的方程需要三個獨立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個獨立方程.2.求軌跡方程和求軌跡

19、是有區(qū)別的，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線.類型六直線與圓的位置關(guān)系【例 1】直線 y322在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，則 m 的取值范3x m 與圓 x y 1圍是 ()A.(3， 2)B.(3， 3)C.3， 23D.2 3331， 3解析 當(dāng)直線經(jīng)過點 (0， 1)時，直線與圓有兩個不同的交點，此時m 1；當(dāng)直線與圓相切時有圓心到直線的距離 d|m| 1，解得 m 233 23(切點在第一象限 )，所以要使直13線與圓在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，則1 m 233.答案 D名師點睛：判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1) 幾何法：利用d 與 r 的

20、關(guān)系 .(2) 代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷 .(3) 點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.類型七圓與圓的位置關(guān)系【例 1】已知兩圓x2 y2 2x 6y 1 0， x2 y2 10x 12y m 0.(1) m 取何值時兩圓外切？(2) m 取何值時兩圓內(nèi)切？(3) 當(dāng) m 45 時，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.解因為兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為( x 1)2 (y3) 211，(x 5)2 (y 6)2 61m，所以兩圓的圓心分別為(1， 3)， (5， 6)，半徑分別為11，61 m，(

21、1)當(dāng)兩圓外切時，由（5 1） 2（ 6 3） 2 11 61 m，得 m 2510 11.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時，因為定圓半徑11小于兩圓圓心之間的距離5，所以 61 m11 5，解得 m25 1011.(3) 由 (x2 y2 2x 6y 1) (x2 y2 10x 12y 45) 0，得兩圓的公共弦所在直線的方程為4x 3y 230.故兩圓的公共弦的長為 2（11） 2|4 33 23| 27.42322名師點睛： 1.解決有關(guān)弦長問題的兩種方法：(1) 幾何法，直線被圓截得的半弦長l ，弦心距 d 和圓的半徑 r構(gòu)成直角三角形， 即 r2 l2222d ；(2) 代數(shù)法，聯(lián)立直線方程和圓的

22、方程，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x 的一元二次方程，由根與系數(shù)的2221關(guān)系即可求得弦長 |AB|1 k|x1 x2|1 k（ x1 x2） 4x1x2或 |AB |1 k2|y1y2|121 2（ y1 y2） 4y1y2.k2.求過一點的圓的切線方程時，首先要判斷此點是否在圓上，然后設(shè)出切線方程.注意：斜率不存在的情形 .易錯防范 1.求圓的弦長問題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為1 列方程來簡化運算.2.過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解

23、.五、強(qiáng)化訓(xùn)練提高1.直線3x y a0(a 為常數(shù) )的傾斜角為 ()A.30 B.60 C.120 D.150 解析直線的斜率為k tan 3，又因為 0180，所以 60.答案B2.已知直線 l 過圓 x2 (y 3)2 4 的圓心，且與直線 x y1 0 垂直，則直線 l 的方程是 ()A. x y 2 0B.x y 2 0C.x y 3 0D.x y 3 0解析圓 x2 (y 3)2 4 的圓心為點 (0， 3)，又因為直線l 與直線 x y 10 垂直，所以直線 l 的斜率 k 1.由點斜式得直線l： y3 x 0，化簡得 x y3 0.答案D3.直線 x (a2 1)y 1 0

24、的傾斜角的取值范圍是 ()3A. 0，4B.，4C. 0，D. 3， ，2， 424413解析直線的斜率 k a21， 1k 0，則傾斜角的范圍是， .4答案B4.直線2xy m 0 和 x 2y n 0 的位置關(guān)系是 ()A. 平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能確定解析直線 2x y m 0 的斜率 k1 2，直線 x2y n 0 的斜率為 k2 1，則 k1k2，2且 k1k2 1.故選 C.答案C5.過兩直線 l1： x 3y 4 0 和 l 2： 2x y 5 0 的交點和原點的直線方程為 ()A.19 x 9y 0B.9x 19y 0C.19x 3y 0D.3x 19y 0193x

25、3y 4 0，x，73解析 法一7則所求直線方程為：由得3y19x19x，2xy 5 0，y，77即 3x19y 0.法二設(shè)直線方程為x 3y 4(2x y 5) 0，即 (1 2)x (3 )y4 50，4又直線過點 (0， 0)，所以 (1 2)0 (3 )0 45 0，解得 ，故所求直線方程為 3x 19y0.答案D6.已知點 A(1， 1)， B(1， 1)，則以線段 AB 為直徑的圓的方程是()A. x2 y2 2B.x2 y2 2C.x2 y2 1D.x2 y2 4解析AB 的中點坐標(biāo)為 (0，0) ，|AB| 1（ 1） 2（ 1 1） 2 22，圓的方程為 x2 y2 2.答案

26、A7.若直線 l1： x 3ym 0(m 0)與直線 l2 ： 2x 6y 30 的距離為10，則 m ()17A.7B. 2C.14D.17解析直線 l 1： x 3y m 0(m 0)，即 2x 6y2m0，因為它與直線l2： 2x 6y 3 0的距離為10，所以 |2m 3|10，求得 m17，故選 B.4362答案B8.已知圓 x2 y2 2x2y a 0 截直線 xy 2 0 所得弦的長度為4，則實數(shù) a 的值是 ()A. 2B.4C. 6D. 8解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 1)2 (y 1)2 2 a，所以圓心為 ( 1， 1)，半徑r 2 a，圓心到直線 xy 2 0 的距離 d | 1 1 2|2，故 r 2d2 4，即 2 a2 4，2所以 a 4，故選 B.答案B9.從點 (2，3)射出的光線沿與向量a (8，4)平行的直線射到y(tǒng) 軸上，則反射光線所在的直線方程為 ()A. x 2y4 0B.2x y1 0C.x 6y16 0D.6x y 8 0解析由直線與向量a (8，