第六章第二節(jié)

1、第二節(jié)二元一次不等式(組 )及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題1 一元二次不等式(組 )表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域Ax By C 0Ax By C 0不等式組直線 Ax By C 0 某一側(cè)不包括邊界直線的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域包括邊界直線各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2 確定二元一次不等式(組 )表示的平面區(qū)域的方法步驟以上簡(jiǎn)稱為“直線定界，特殊點(diǎn)定域”.3 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量 x， y 組成的不等式 (組 )線性約束由變量 x， y 組成的一次不等式(組 )條件目標(biāo)函數(shù)關(guān)于 x， y 的函數(shù)解析式，如z 2x 3y 等線性目標(biāo)關(guān)于 x， y 的一次函數(shù)解析式函數(shù)可行解滿

2、足線性約束條件的解 (x， y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題問題1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1) 不等式 Ax By C0 表示的平面區(qū)域一定在直線Ax By C 0 的上方 ()(2) 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的()(3) 線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上()(4) 在目標(biāo)函數(shù)z ax by(b 0)中， z 的幾何意義是直線ax by z 0 在 y 軸上的截距()答案 ： (1)(2) (3) (4)2不等式組x 3y 60，表示的平面區(qū)域是

3、()x y 2 0解析：選Cx 3y 60 所表示的平面區(qū)域內(nèi)， 則 m 的取值范圍是_解析： 點(diǎn) (m,1)在不等式2x 3y 50 所表示的平面區(qū)域內(nèi)， 2m 3 50，即m1.答案 ： (1， )x 1 0，若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件xy 0，則 x 2y 的最大值為 _6xy 6 0，解析： 畫出可行域如圖中陰影部分所示，令zx 2y，可知 z x 2y 在點(diǎn) A(1,1)處取得最大值 1.答案：1考點(diǎn)一二元一次不等式 (組 )表示的平面區(qū)域基礎(chǔ)送分型考點(diǎn) 自主練透二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域問題，高考主要考查：1 求平面區(qū)域的面積； 2已知平面區(qū)域求參數(shù)的取值或范圍，一般以選擇題

4、、填空題出現(xiàn)，難度不大.(一 )直接考 求平面區(qū)域的面積2x y 6 0，1不等式組x y 3 0，表示的平面區(qū)域的面積為()y 2A 4C 5B 1D無窮大2x y 6 0，解析： 選 B不等式組x y 3 0，y 2表示的平面區(qū)域如圖所示 (陰影部分 )， ABC 的面積即所求 求出點(diǎn) A，B， C 的坐標(biāo)分別為 A(1,2) ，B(2，2)，C(3,0) ，則 ABC 的1面積為 S (2 1) 2 1.x y 5 0，2不等式組y 2，所表示的平面區(qū)域的面積為_0 x 2解析：如圖，平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪?，易得A(0,2) ，B(2,2)，C(2,7)，D (0，5)，所以 AD 3，AB

5、 2， BC 5.故所求區(qū)域的面積為S 12 (3 5) 2 8.答案：8題型技法 解決求平面區(qū)域面積問題的方法步驟(1) 畫出不等式組表示的平面區(qū)域；(2) 判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、圖形的邊長(zhǎng)、相關(guān)線段的長(zhǎng)的高、四邊形的高)等，若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解；若為不規(guī)則圖形則利用割補(bǔ)法求解(三角形(二 )遷移考 根據(jù)平面區(qū)域滿足的條件求參數(shù)x 1，3已知約束條件x y 4 0，表示面積為1 的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k 的值為kx y 0()A 1C 0B 1D 2解析：選A作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，要使陰影部分為直角三角形，當(dāng) k 0 時(shí)，此三角形的

6、面積為 13 3 9 1，所以不成立，22所以 k0，則必有BC AB，因?yàn)?x y 4 0 的斜率為 1，所以直線kx y 0 的斜率為1，即 k 1，故選 A.x y 0，2x y 2，4若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是y 0，x y a()4B (0,1A.3，C.1，4D (0,14，33xy 0，解析：選 D不等式組2x y 2，表示的平面區(qū)域如圖中陰影部y0分所示由 y x，得 A2，2，2x y 2，3 3y 0，得 B(1,0)由2x y 2，x y 0，若原不等式組2x y 2，x y a 中 a 的表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則直線y 0，x

7、y a4取值范圍是00，1不等式組y0，所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為()2x y6A 2B 3C 4D 5解析：選C由不等式2x y6 得y0，y0，則當(dāng)x 1 時(shí)， 0y4 ，則y 1,2,3，此時(shí)整點(diǎn)有 (1,1)，(1,2)，(1,3)；當(dāng) x 2 時(shí)， 0y0， y0的平面區(qū)域有公共點(diǎn)，則k 的取值范圍為 ()3A 0， )B. 0，23D.3，C. 0，22解析： 選 C 畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影(不含 x 軸 )部分所示，直線y k(x 1)過定點(diǎn) M ( 1， 0)，xy 4 0，x 1，由解得過點(diǎn) M (1， 0)與 A(1,3)的直線3x y 0，y 3，33的斜

8、率是 ，根據(jù)題意可知0k .227點(diǎn) ( 2， t)在直線2x 3y 6 0 的上方，則 t 的取值范圍是 _解析：因?yàn)橹本€ 2x 3y 6 0 的上方區(qū)域可以用不等式2x 3y 6 0 表示，所以由點(diǎn)2( 2， t)在直線2x 3y6 0 的上方得 4 3t 6 0，解得 t3.答案：2，3xy 0，全國(guó)卷)若x，y滿足約束條件x y 2 0，則 z 3x 4y 的最小值為8 (2017y0，_解析： 作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l： 3x 4y 0，平移直線 l，當(dāng)直線 z 3x 4y 經(jīng)過點(diǎn) A(1,1)時(shí)， z 取得最小值，最小值為3 4 1.答案： 1x 1

9、0，則 y的最大值為 _若，滿足約束條件x y 0，9x yxx y 4 0，解析： 作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知， y是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，點(diǎn)A(1,3) 與x原點(diǎn)連線的斜率最大，故y的最大值為3.x答案： 3|x| |y| 1，10 (2018 安質(zhì)檢西 )若變量 x， y 滿足則 2x y 的取值范圍為 _ xy 0，解析： 作出滿足不等式組的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，平移直線 2x y 0，經(jīng)過點(diǎn) A(1,0) 時(shí)， 2x y 取得最大值 2 10 2，經(jīng)過點(diǎn) B( 1,0)時(shí)， 2x y 取得最小值2 ( 1) 0 2，所以 2x

10、y 的取值范圍為 2,2答案： 2,2B 級(jí) 中檔題目練通抓牢1 (2018 安慶二模 )若實(shí)數(shù) x， y 滿足： |x| y1，則 x2 y2 2x 的最小值為 ()11A. 2B 222C. 2D.21解析：選 B 作出不等式 |x| y 1表示的可行域如圖中陰影部分所示x2 y2 2x ( x 1)2 y2 1， (x 1)2 y2 表示可行域內(nèi)的點(diǎn) (x，y)到點(diǎn) ( 1,0)距離的平方， 由圖可知， (x 1)2 y2 的最小值為點(diǎn) ( 1,0)到直線 y x 的距離的平方，即為2 2 1，所以 x2 y2 2x 的最小值為1 1 1.2222x y 0，則 z y 2的最小值為 (

11、)2(2018 石家莊質(zhì)檢 )若 x，y 滿足約束條件x y 0，x2 y24，x 3A 2B23122 4C 5D.7解析：選C作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z y 2表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P( 3,2)連線的斜x3率由圖知當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P 的連線與圓相切時(shí)斜率最小設(shè)切線方程為 y 2 k(x 3)，即 kx y 3k 20，則有 |3k 2| 2，k2 1解得 k 12或 k 0(舍去 )，所以 z 12，故選 C.5min53某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50 畝，投入資金不超過54 萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表每畝年每畝年種植每噸

12、產(chǎn)量成本售價(jià)黃4 噸1.2 萬元0.55瓜萬元韭6 噸0.9 萬元0.3 萬菜元為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)總銷售收入 總種植成本 )最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積 (單位：畝 )分別為 ()A 50,0B 30,20C 20,30D 0,50解析：選 B 設(shè)黃瓜、韭菜的種植面積分別為x 畝，y 畝，則總利潤(rùn) z 4 0.55x 6 0.3yx y 50， 1.2x 0.9y x 0.9y.此時(shí) x， y 滿足條件1.2x 0.9y 54，x 0， y 0.畫出可行域如圖，得最優(yōu)解為A(30,20)x y 2 0，4 (2018 家莊模擬石 )已知 x， y 滿足約束條件x 2y 2 0，2x

13、 y 2 0，且 b 2x y，當(dāng) b 取得最大值時(shí)，直線 2x y b 0 被圓 (x 1)2 (y 2)2 25 截得的弦長(zhǎng)為 _解析：作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖知，當(dāng)直線 y 2x b 經(jīng)過點(diǎn) A( 2， 2)時(shí)， b 取得最大值，即 bmax 2 ( 2) ( 2) 6，此時(shí)直線方程為 2xy 6 0.因?yàn)閳A心 (1,2)到|2 2 6|直線 2x y 6 0 的距離 d 25，所以直線被圓截得的弦222 1長(zhǎng) L2 52 2 5 22 5.答案：2 5y 1，河南六市聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)，滿足 y 2x 1， 若目標(biāo)函數(shù) z x y 的最小5 (2018x yx ym

14、.值為 1，則實(shí)數(shù) m _.解析： 作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l： y x，平移 l 可知，當(dāng)直線 l 經(jīng)過 A 時(shí)符合題意，由y 2x 1，x 2，又 A(2,3)在直線 x ym解得y 3.x y 1，上，所以m 5.答案： 56.已知 D 是以點(diǎn) A(4,1)，B( 1， 6)，C( 3,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域 (包括邊界與內(nèi)部 )，如圖所示(1) 寫出表示區(qū)域 D 的不等式組(2) 設(shè)點(diǎn) B( 1， 6)， C( 3,2)在直線 4x 3ya 0 的異側(cè)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍解： (1)直線 AB，AC，BC 的方程分別為7x 5y 23 0，x 7y 11

15、0,4x y 10 0.7x 5y 23 0，原點(diǎn) (0,0)在區(qū)域 D 內(nèi)，故表示區(qū)域 D 的不等式組為x 7y 11 0，4x y 10 0.(2) 根據(jù)題意有4 (1) 3( 6) a4 ( 3) 32 a 0，即 (14 a)( 18 a) 0，解得 18 a 14.故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( 18,14)x4y 3 0，變量，滿足 3x 5y 25 0，7x yx 1.(1) 設(shè) z1 4x 3y，求 z1 的最大值；y(2) 設(shè) z2 x，求 z2 的最小值；(3) 設(shè) z3 x2 y2，求 z3 的取值范圍解：作出可行域如圖中陰影部分所示，易得 A 1，22，B(1,1)，5x

16、 4y 3 0，解得 C(5,2)，聯(lián)立3x 5y 25 0，4z14x 至過點(diǎn) C 時(shí)，z1(1) z1 4x3y? y x，易知平移直線y333最大，且最大值為 4 53 2 14.(2) z2 y表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率大小，顯然直線OC 斜率最小，故z2 的最x小值為 25.(3) z3 x2 y2 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而2 OB2OA20，f 1 0，解得 10則 3k1，3 k0，x 0，襄陽(yáng)五中月考)已知x，y滿足不等式組y 0，若 ax y 3 恒成立，2 (20182x y 2，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_x 0，解析：滿足不等式組y 0，的平面區(qū)域如圖中

17、陰影部分所2x y 2示，由于對(duì)滿足不等式組的任意實(shí)數(shù)x，y，不等式 axy 3 恒成立，3 0根據(jù)圖形，可得斜率 a 0 或 0 a kAB 3，解得 a 3，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( ，3答案： (， 3(二 )重點(diǎn)高中適用作業(yè)A 級(jí) 保分題目巧做快做1不等式 (x 2y 1)(x y 3) 0 在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)應(yīng)是()解析：選Cx 2y 1 0，或x 2y 1 0，(x 2y1)(x y 3) 0?結(jié)合圖形x y 3 0x y 3 0.可知選 C.2x y 0，2.(2018日照一模)已知變量，y滿足： x2y 3 0，則 z (2)2x y 的最大值為xx0，()A. 2B 22C 2D 4解析：選D作出滿足不等式組的可行域如圖中陰影部分所示，令m 2x y，則當(dāng) m取得最大值時(shí)， z (2) 2xy 取得最大值，由圖知直線m 2x y 經(jīng)過點(diǎn) A(1,2)時(shí)， m 取得最21 2大值，所以 zmax ( 2) 4，故選 D.xy 4 0，3.(2018 鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè) )已知直線y k(x 1)與不等式組 3x y 0， 表示的平面區(qū)x0， y0域有公共點(diǎn)，則k 的取值范圍為 ()A 0， )B.0，323D.3，C. 0，22解析：選 C畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影(不含 x 軸 )部分所示，