考點(diǎn)25+二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題-高考全攻略之備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學(xué)(文)考點(diǎn)一遍過

1、（ 1）會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組.（ 2）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.（ 3）會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.一、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域1 二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式AxByC0 表示直線 AxByC0 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界. 不等式 AxByC0 表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫成實(shí)線2對于二元一次不等式的不同形式，其對應(yīng)的平面區(qū)域有如下結(jié)論：3確定二元一次不等式( 組 ) 表示平面區(qū)域的方法（ 1）對于直線AxBy

2、C0 同一側(cè)的所有點(diǎn)( x， y) ，使得 AxByC 的值符號相同，也就是位于同一半平面的點(diǎn)，如果其坐標(biāo)滿足AxByC0 ，則位于另一個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足Ax By C0.（2）可在直線 AxByC0 的同一側(cè)任取一點(diǎn)，一般取特殊點(diǎn) ( x， y) ，從 Ax0By0 C 的符號就00可以判斷 AxByC0( 或 Ax By C0 ) 所表示的區(qū)域（3）由幾個(gè)不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.（4）點(diǎn)P1( x1，y1)和P2( x2，y2)位于直線AxByC0的兩側(cè)的充要條件是( Ax1By1C)( Ax2By2C )0 ；位于直線AxBy

3、C0 同側(cè)的充要條件是( Ax1By1C )( Ax2By2C )0.二、簡單的線性規(guī)劃問題1簡單線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念（1）約束條件：由變量x， y 的不等式( 或方程) 組成的不等式組稱為x， y 的約束條件關(guān)于變量x， y的一次不等式( 或方程) 組成的不等式組稱為x， y 的線性約束條件（2）目標(biāo)函數(shù)：我們把求最大值或最小值的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量x， y 的一次解析式的稱為線性目標(biāo)函數(shù).（ 3）線性規(guī)劃問題：一般地，在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解 ( x, y) 叫做可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域，其中，

4、使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解2簡單線性規(guī)劃問題的解法在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟可概括為“畫、移、求、答”，即：（ 1）畫：在平面直角坐標(biāo)系中，畫出可行域和直線ax by 0 ( 目標(biāo)函數(shù)為 z axby ) ；（2）移：平行移動直線 ax by 0 ，確定使 zaxby 取得最大值或最小值的點(diǎn)；（3）求：求出使 z 取得最大值或最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)( 解方程組 ) 及 z 的最大值或最小值；（4）答：給出正確答案3線性規(guī)劃的實(shí)際問題的類型（ 1）給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源，使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；（

5、 2）給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小常見問題有：物資調(diào)運(yùn)問題；產(chǎn)品安排問題；下料問題.4非線性目標(biāo)函數(shù)類型（1）對形如2( y b)2()()z (x a)型的目標(biāo)函數(shù)均可化為可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)x， ya， b 間距離的平方的最值問題b（ 2 ）對形如 zayb (ac0) 型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為zay(a ) 的形式，將問題化為求可cxdcx(d )c行域內(nèi)的點(diǎn) ( x，y) 與點(diǎn) (d ,b ) 連線的斜率的a 倍的取值范圍、最值等cac（ 3）對形如 z| AxByC |型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為zA2B2| Ax ByC | 的形式，將問A2B2題

6、化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)( x， y) 到直線 Ax ByC = 0的距離的A2B2倍的最值考向一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域1確定平面區(qū)域的方法如下：第一步，“直線定界”，即畫出邊界AxByC0 ，要注意是虛線還是實(shí)線；第二步，“特殊點(diǎn)定域”，取某個(gè)特殊點(diǎn)( x0 , y0 ) 作為測試點(diǎn)，由Ax0By0C 的符號就可以斷定AxByC0 表示的是直線AxByC0 哪一側(cè)的平面區(qū)域；第三步，用陰影表示出平面區(qū)域.2 二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的應(yīng)用主要包括求平面區(qū)域的面積和已知平面區(qū)域求參數(shù)的取值或范圍 .（ 1）對于面積問題，可先畫出平面區(qū)域，然后判斷其形狀（三角形區(qū)域是比較簡單的情況）

7、，求得相應(yīng)的交點(diǎn)坐標(biāo)、相關(guān)的線段長度等，若圖形為規(guī)則圖形，則直接利用面積公式求解；若圖形為不規(guī)則圖形，則運(yùn)用割補(bǔ)法計(jì)算平面區(qū)域的面積，其中求解距離問題時(shí)常常用到點(diǎn)到直線的距離公式.（ 2）對于求參問題，則需根據(jù)區(qū)域的形狀判斷動直線的位置，從而確定參數(shù)的取值或范圍.xy10典例 1不等式組xy0表示的平面區(qū)域與x2 y2 x y 1 0 表示的平面區(qū)域的公共部分面積4y0為 _ 【答案】16xy10【解析】畫出不等式組xy0表示的平面區(qū)域，如圖，y0x0典例 2已知 a0, 不等式組 y0表示的平面區(qū)域的面積為2，則 a 的值為ya x2A 1B 142C 1D 2【答案】 Cx01 2 2a=

8、2, 所以【解析】作出可行域，因?yàn)椴坏仁浇My0表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切?，所以ya x22a1 . 故選 C.xy11已知不等式組xy1 表示的平面區(qū)域?yàn)镸，若直線ykx3k 與平面區(qū)域M有公共點(diǎn)，則k 的取y0值范圍是A1 ,0B,133C 0,1D,133考向二 線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題1平移直線法：作出可行域, 正確理解 z 的幾何意義，確定目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移得到最優(yōu)解. 對一個(gè)封閉圖形而言 , 最優(yōu)解一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，在解題中也可由此快速找到最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).2頂點(diǎn)代入法：依約束條件畫出可行域; 解方程組得出可行域各頂點(diǎn)的坐標(biāo); 分別計(jì)算出各頂點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù) zaxby 的

9、值，經(jīng)比較后得出z 的最大 ( 小) 值 .求解時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：（）在可行解中，只有一組( x, y) 使目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)，最優(yōu)解只有1 個(gè). 如邊界為實(shí)線的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線不與邊界平行時(shí)，會在某個(gè)頂點(diǎn)處取得最值.（）同時(shí)有多個(gè)可行解取得一樣的最值時(shí)，最優(yōu)解有多個(gè). 如邊界為實(shí)線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與某一邊界線平行時(shí)，會有多個(gè)最優(yōu)解.（）可行域一邊開放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時(shí)也就不存在最優(yōu)解.xy20典例 3已知點(diǎn) x, y 滿足約束條件x2 y40 , 則 z=3x+y 的最大值與最小值之差為x20A 5B 6C 7D 8【答案】 Cxy

10、20【解析】作出約束條件x2y40 表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，x20yx2若 x, y 滿足條件xy1, 則 z2xy 的最大值是y1A 1B 124C112D4考向三含參線性規(guī)劃問題1 若目標(biāo)函數(shù)中有參數(shù)，要從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對圖形進(jìn)行動態(tài)分析，對變化過程中的相關(guān)量進(jìn)行準(zhǔn)確定位，這是求解這類問題的主要思維方法.2 若約束條件中含有參數(shù)，則會影響平面區(qū)域的形狀，這時(shí)含有參數(shù)的不等式表示的區(qū)域的分界線是一條變動的直線，注意根據(jù)參數(shù)的取值確定這條直線的變化趨勢，從而確定區(qū)域的可能形狀.yx典例4若變量 x, y 滿足約束條件 yx 4 , 且 u=2x+y+2 的最小值為 -4, 則

11、 k 的值為y2kA 7B 1C3D 2【答案】 Bxy 10典例 5設(shè)變量 x, y 滿足x2 y20 , z=a2x+y(0 a0, b0) 的最大值為10, 則 a2+b2+2a 的x 0 y 0最小值為A 21B 221313C 36D 2413133xy10D ，若在區(qū)域 D 上存在函數(shù) ylog a x a 1 圖象上的點(diǎn)，6設(shè)不等式組3y表示的平面區(qū)域?yàn)閤6則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是A 3,BC 3,Dxy107若不等式組 y10表示的區(qū)域?yàn)椋坏仁?xy101,31,32x1y2 1 表示的區(qū)域?yàn)?，向區(qū)域均勻24隨機(jī)撒 360 顆芝麻，則落在區(qū)域中芝麻數(shù)約為A 114B10C15

12、0D504 xy08若 x ， y 滿足條件xy5 0，當(dāng)且僅當(dāng) x 5 ， y0 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)zaxy 取得最小值或最大x 5 y 5 0值，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是,1U1,1A,B55C 1,1D,1 U1,559在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為 ABC 邊界及內(nèi)部的任意一點(diǎn)，則的最大值為 _.x，310在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動圓C上的點(diǎn)都在不等式組x3 y30，表示的平面區(qū)域內(nèi)，則面x3 y30積最大的圓 C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _.xy 2011已知 x, y 滿足約束條件x2 y2 0，若可行域內(nèi)存在x, y使不等式2xyk 0 有解，則實(shí)數(shù) k2xy20的取值范圍為_12已知 x,

13、 y 滿足約束條件( x-2)(x+2y- 4) 0, 則 x2+y2 的最小值為 _.xy2013已知實(shí)數(shù) x, y 滿足 xy40,則 S=的取值范圍是 _.2xy5014已知點(diǎn) A(1， 1) ， B 3,0， C2,1 若平面區(qū)域 D由所有滿足uuuruuuruuur2,01) 的點(diǎn) P 組成，則 D的面積為 _.AP =AB AC (1x2015設(shè)變量,y滿足約束條件xy3 0, 目標(biāo)函數(shù)= 6的最大值為,則當(dāng) 2=(a0,b0)xz x+ yma+b2xy 30時(shí) , + 的最小值為 _.16某工藝廠有銅絲5 萬米，鐵絲9 萬米，準(zhǔn)備用這兩種材料編制成花籃和花盆出售，已知編制一只花

14、籃需要用銅絲200 米，鐵絲300 米；編制一只花盆需要銅絲100 米，鐵絲300 米，設(shè)該廠用所有原料編制 x 個(gè)花籃 , y 個(gè)花盆 .（ 1）列出 x, y 滿足的關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；（ 2）若出售一個(gè)花籃可獲利300 元，出售一個(gè)花盤可獲利200 元 , 那么怎樣安排花籃與花盆的編制個(gè)數(shù) , 可使得所得利潤最大, 最大利潤是多少?xy 5，1（ 2018 天津文科）設(shè)變量2 xy4，3x 5 y 的最大值為x, y 滿足約束條件y則目標(biāo)函數(shù) zx1，y0，A6B 19C21D 45x3y3,2（ 2017 新課標(biāo)全國文科）設(shè)x，y 滿足約束條件xy1, 則 z=x+y 的最大

15、值為y0,A 0B 1C 2D 3x03（ 2017 浙江）若 x ， y 滿足約束條件xy 30 ，則 z x2 y 的取值范圍是x2 y0A0 ，6B 0 ，4C6 ，)D4 ，)2x+3y 30,4（ 2017 新課標(biāo)全國文科）設(shè)x, y 滿足約束條件2x3y 30, 則 z 2xy 的最小值是y30,A 15B9C 1D 9xy30,5（ 2016 浙江文科）若平面區(qū)域2 xy30,夾在兩條斜率為1 的平行直線之間，則這兩條平行直線x2 y30間的距離的最小值是A 35B25C 32D526（ 2016 新課標(biāo)全國文科）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A 和產(chǎn)品 B 需要甲、乙兩種新型材料 . 生

16、產(chǎn)一件產(chǎn)品A 需要甲材料 1.5 kg ，乙材料 1 kg，用 5 個(gè)工時(shí)； 生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B 需要甲材料0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A 的利潤為2100 元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B 的利潤為900 元。該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150 kg ，乙材料90 kg ，則在不超過600 個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品 B 的利潤之和的最大值為元.x2 y407（ 2016 江蘇）已知實(shí)數(shù) x, y 滿足2xy20，則 x2y2 的取值范圍是3xy30xy0,8 （ 2018 浙江 ）若 x, y 滿足 約 束條 件2xy6, 則 zx 3y 的 最小值是 _ ， 最 大值是x

17、y2,_9（ 2018 北京文科）若 ? , y 滿足 x1y2x，則 2y- ?的最小值是 _.x2 y2010（ 2018 新課標(biāo) I 文科）若 x ， y 滿足約束條件 xy10y0，則 z3 x2 y 的最大值為 _2 xy30 ，111（2018 新課標(biāo)文科） 若變量 x，y 滿足約束條件x2 y40， 則 zxy 的最大值是 _x20.3x2 y50 ，12（ 2018 新課標(biāo) II文科）若 x, y 滿足約束條件 x2 y30 ， 則 z xy 的最大值為 _ x50 ，13（ 2017 天津文科）電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連

18、續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長、廣告播放時(shí)長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時(shí)長（分鐘）廣告播放時(shí)長（分鐘）收視人次（萬）甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600 分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30 分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2 倍分別用x ， y 表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)（）用 x ， y 列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；（）問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使收視人次最多？變式拓展1【答案】 Axy1【解析】由題意可知，不等式組xy1 表示的可行域如下圖.y0由于直線 ykx 3k 恒過點(diǎn)

19、（ 3,0 ），所以當(dāng)直線過點(diǎn)C時(shí)斜率最小為 k1，最大值為 0.3故選 A.2【答案】 Ayx【解析】由題知不等式組xy1表示的可行域如圖所示，y1【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想. 需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二、畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.3【答案】 Cx1y0【解析】根據(jù)題中約束條件xy40 作出可行域（如圖中陰影區(qū)域所示），ym由 z2xy 可得 y2xz 平移直線y2xz ，結(jié)合圖形可得當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)B 時(shí)，直線在 y

20、 軸上的截距最大，此時(shí)z 最大，由yx 4m, m ，所以 zmax 2x y8 m y得 B 4m同 理 ， 在 A 點(diǎn) 時(shí) 目 標(biāo) 函 數(shù) z 2xy 的 值 最 小 ， 由yx 1， 所 以y得 A m 1,mmzmin 2 x y3m2 由題意得 zmaxzmin10 4m2 ，解得 m2故選 C【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是正確畫出不等式組表示的可行域；二是判斷出目標(biāo)函數(shù)中的幾何意義，即與直線截距的關(guān)系，然后根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解4【答案】 5000作直線 l 0 : y2x60 ，將直線 l 0 向右上方平移過點(diǎn)P 時(shí)，直線在 y 軸上的截距最大，3x2 y4

21、0,x20,40 20 60 10 3600 5000（元） .由y得y所以 P 20,10 ，此時(shí) zmaxx30,10,故答案為5000.【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為：分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件；由約束條件畫出可行域；分析目標(biāo)函數(shù)z 與直線截距之間的關(guān)系；使用平移直線法求出最優(yōu)解；還原到現(xiàn)實(shí)問題中5【答案】 22xy2【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示2xy2考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】 Byx【解析】由題得不等式組xy1對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示，y1聯(lián) 立yx,A 1 ,1,由 題 得 B(-1,-1), C(2

22、,-1),所以 | BC|=2-(-1)=3.所 以xy122SABC1339. 故答案為 B.224【名師點(diǎn)睛】 本題主要考查線性規(guī)劃，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法, 屬于基礎(chǔ)題 .2【答案】 Dx0【解析】作出不等式組xy30 所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示,x2 y03【答案】 By10y1y1【解析】由 y12 x1 得y2x 1, 作出不等式組y2x1所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部xym0xymxym分所示 ,由目標(biāo)函數(shù)= -y, 變形得到= -z, 由圖可知= -z在 ( m1 , 2m 1z xy xy xB33m 1 - 2m1m 2=-1, 則 m

23、=5. 故選 B.333) 處取得最小值, 所以4【答案】 A【解析】 根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，AP 表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P 到點(diǎn) A 的距離， 由圖可知，其最小距離為點(diǎn)A 到直線 xy 2 0 的距離，即AP1222 ，故選 A.min112【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，分析其幾何意義，表示的是兩點(diǎn)之間的距離，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求得結(jié)果 . 要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型. 根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解. 解本題時(shí)，首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，結(jié)合題中的意思，能夠得到 AP 表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P 到點(diǎn) A 的距離， 可以得到其最小距離為點(diǎn)A 到直線 xy20 的距離，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求得結(jié)果.5【答案】 C6【答案】 C3xy100【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：x3 y60由 a 1，對數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過可行域的點(diǎn)，滿足條件，3xy100由，解得 A（ 3， 1），此時(shí)滿足 log 31，解得 a3，x3 y6a0實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 3 ，+），故選 C【名師點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值的步驟：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行