知識講解 橢圓的簡單性質(zhì) 基礎(chǔ)

1、橢圓的簡單性質(zhì)編稿：張林娟審稿：孫永釗【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1知識與技能目標(biāo)：了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸、對稱中心、頂點(diǎn)、離心率的概念；進(jìn)一步掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、會用橢圓的定義解決實(shí)際問題2過程與方法目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、討論等方法，讓學(xué)生迅速獲得橢圓的性質(zhì)3情感態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)：在橢圓的簡單性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、勇于探索的良好習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓x2y2+a2b2=1(ab0)和它的圖象（如圖）來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)1對稱性對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2+2ab2=1，把x換成x，或把y換成y，或

2、把x、y同時(shí)換成x、y，方程都不變，所以橢圓x2y2+a2b2=1是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個(gè)對稱中心稱為橢圓的中心2范圍橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=a和y=b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|x|a，|y|b3頂點(diǎn)橢圓的對稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)橢圓x2y2+2ab2=1（ab0）與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為a1（a，0），橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e=2c=a2（a，0），b1（0，b），b2（0，b）線段a1a2，b1b2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|a1a2|=2a，|b1b2|

3、=2ba和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長4離心率c2aa因?yàn)閍c0，所以e的取值范圍是0e1e越接近1，則c就越接近a，從而b=a2-c2越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，c=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2要點(diǎn)詮釋：橢圓x2y2+a2b2=1的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1）pf+pf=2a，；=e，|pm|+|pm|=|pm|pm|c|pf|pf|2a212121212（2）bf=bf=a，of=of=c，ab=ab=a2+b2；121221（3）af=af=a-c，af=af=a

4、+c，a-cpfa+c；112212211要點(diǎn)二：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量a、b、c的幾何意義aa橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：b0，c0，且a2=b2+c2可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形dpff有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定12理（或勾股定理）、三角形面積公式sdpf1f2=12pfpfsinfpf相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線121段pf、pf

5、、ff，有關(guān)角fpf(fpffbf)結(jié)合起來，建立pf+pf、pfpf之間的12121212121212關(guān)系要點(diǎn)三：橢圓兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2y2+=1(ab0)b2x2y2+=1(ab0)b2a2圖形焦點(diǎn)f(-c,0)，f(c,0)f(0,-c)，f(0,c)1212焦距范圍|ff|=2c(c=a2-b2)12|x|a，|y|b|ff|=2c(c=a2-b2)12|x|b，|y|a性對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱質(zhì)頂點(diǎn)軸(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)長軸長=2a，短軸長=2b離心率e=ca(0e1)=1，要點(diǎn)詮釋：橢圓x2y2y2x2+222abab2=1（

6、ab0）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有ab0和e=(0eb0)；b0)；1(ab0)將直線的方程y=kx+b與橢圓的方程x2y2+a2b2=1(ab0)聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點(diǎn)直線與橢圓的相交弦設(shè)直線y=kx+b交橢圓x2y2+a2b2=1(ab0)于點(diǎn)p(x,y),p(x,y),兩點(diǎn)，則111222x-xk2例1求橢圓+=1的長軸長、短軸長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出這個(gè)橢圓【解析】根據(jù)橢圓

7、的標(biāo)準(zhǔn)方程+=1，得a=5,b=3,c=25-9=4，離心率e=c=0.8，|pp|=(x-x)2+(y-y)2=(x-x)21+(y1-y2)2=1+k2|x-x|121212121212同理可得|pp|=1+1|y-y|(k0)1212這里|x-x|,|y-y|,的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：1212|x-x|=(x-x)2-4xx，121212|y-y|=(y-y)2-4yy121212【典型例題】類型一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)x2y2259x2y2259因此，長軸長2a=10，短軸長2b=64a5焦點(diǎn)為f1（4，0）和f2（4，0），頂點(diǎn)為a1（5，0），a2（5，0），b1（0，

8、3），b2（0，3）將方程變形為y=325-x2（5x5），根據(jù)y=355，25-x2（5x5）可求出橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)及其在第一象限內(nèi)一些點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），列表如下：xy031294227532441850先描點(diǎn)畫出第一象限的圖形，再利用橢圓的對稱性畫出整個(gè)橢圓（如圖2-2-9）【變式1】橢圓+=1上一點(diǎn)p到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則p到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離=_【答案】長軸長2a=10，短軸長2b=8，離心率e=，焦點(diǎn)f(-3,0)f(3,0)，頂點(diǎn)是a(-5,0)，a(5,0)，5【思路點(diǎn)撥】由已知方程可確定橢圓在四條直線x=5，y=3所圍成的矩形框內(nèi)，以兩坐標(biāo)軸為對稱軸，原點(diǎn)為對稱中心，所以只

9、需畫出橢圓在第一象限的圖形，就可畫出橢圓舉一反三：x2y22516【答案】7【高清課堂：橢圓的性質(zhì)356756例1】【變式2】求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)31212b(0,-4)，b(0,4)12例2已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，f是一個(gè)焦點(diǎn)，a是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6，且cosofa=2，求橢圓的方程3【解析】橢圓的長軸長為6，cosofa=23，所以點(diǎn)a不是長軸的頂點(diǎn)，是短軸的頂點(diǎn)，所以|of|=c，=，|af|=|oa|2+|of|2=b2+c2=a=3，c233故橢圓的方程為+=1或+=1【變式】長軸長等于20，離心率等于，

10、求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】+=1或+=1【解析】（1）由題意得(a+c)(a-c)=32，即1+e=，解得e=5-26（2）由題意得，解得，故離心率e=所以c=2，b2=3222=5，x2y2x2y29559【思路點(diǎn)撥】靈活運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)：a2=b2+c2；長軸長2a，短軸長2b，進(jìn)行求參數(shù)的值或求橢圓的方程舉一反三：35x2y2y2x21006410064類型二：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍例3（1）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)將長軸分成長為32的兩段，求其離心率；（2）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)到長軸兩端點(diǎn)的距離分別為10和4，求其離心率31-e2a+c=10a=7c3a-c=4c=3a7【思路點(diǎn)撥】

11、橢圓的離心率是橢圓幾何性質(zhì)的一個(gè)重要參數(shù)，求橢圓離心率的關(guān)鍵是由條件尋求a、c滿足的關(guān)系式舉一反三：【變式1】橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（）5b.a.134c.33d.12【答案】d【變式2】橢圓x2y2+a2b22=1上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d、d，焦距為2c，若d、c、d成等差數(shù)列，1212則橢圓的離心率為【答案】12例4設(shè)m為橢圓x2y2+a2b2=1(ab0)上一點(diǎn)，f1、f2為橢圓的焦點(diǎn)，若mf1f2=75，mf2f1=15，求橢圓的離心率【解析】在1f2中，由正弦定理得=，2csinfmf12|mf|mf|12sinmffsinmff2112即2c|

12、mf|mf|1=2sin90sin15sin752c|mf1|+|mf2|2a=sin90sin15+sin75sin15+sin75，=e=c16asin15+sin753【思路點(diǎn)撥】本題利用了橢圓的定義、正弦定理、等比定理、三角變換等多種知識，求出離心率e【變式4】以橢圓兩焦點(diǎn)為直徑的圓交橢圓于四個(gè)不同點(diǎn)，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)，恰好圍成一個(gè)正六邊形，則這個(gè)橢圓的離心率等于【答案】3-1=1(ab0)，f1，f2是兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)p，使fpf=，求ab3例5已知橢圓x2y22p+2212【解析】1pf2中，已知fpf=2p，|f1f2|=2c，|pf1|+|pf2|=2a，3

13、其離心率e的取值范圍12由余弦定理：4c2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos120又|pf1|+|pf2|=2a1聯(lián)立得4c2=4a2-|pf1|pf2|，|pf|pf2|=4a2-4c2，eb0)，以a，b，c為系數(shù)的關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0無實(shí)根，求例6對不同實(shí)數(shù)m，討論直線y=x+m與橢圓+y2=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)【解析】由題意得x2+y2=1(2)4將(1)代入（2）得+(x+m)2=1,【變式】若直線y=kx+1(kr)與橢圓+=1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍其離心率e的取值范圍【答案】由已知，d=b2-4ac0，所以(a2-c2)-4ac0，不等式兩邊同除a2可得e2+4e-10，解不等式得e5-2由橢圓的離心率e(0,1)，所以所求橢圓離心率e(5-2,1)類型三：直線與橢圓的位置關(guān)系x24y=x+m,(1)x24整理得5x2+8mx+4m2-4=0，（3）由d=(8m)2-45(4m2-4)