知識講解_拋物線的簡單性質(zhì)_提高

1、拋物線的簡單性質(zhì)編稿：張林娟責(zé)編：孫永釗【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1知識與技能：掌握拋物線的范圍、對稱性、定點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率、頂點(diǎn)、通徑，理解2p和e的幾何意義，初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法2過程與方法：通過曲線的方程來研究曲線性質(zhì)的方法，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想、方程思想及轉(zhuǎn)化的思想在研究和解決問題中的應(yīng)用3情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過自主探究、交流合作使學(xué)生親身體驗(yàn)研究的艱辛，感受知識的發(fā)生發(fā)展過程，力求使學(xué)生獲得符合時(shí)代要求的“雙基”【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)的幾何性質(zhì)拋物線和它軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）因?yàn)橥ㄟ^拋物線y2=2px（p

2、0）的焦點(diǎn)而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,p，,-p，所以拋物線的通徑長為2p這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的一種幾何意義另一方面，由通徑的21對稱性x觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y2=2px（p0）關(guān)于軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸拋物線只有一條對稱軸2范圍x拋物線y2=2px（p0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)m的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿足不等式0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸拋物線是無界曲線3頂點(diǎn)4離心率e拋物線上的點(diǎn)m到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率用e表示，=15通徑通過拋物線的焦點(diǎn)且垂直

3、于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑p2p定義我們還可以看出，p刻畫了拋物線開口的大小，p值越大，開口越寬；p值越小，開口越窄拋物線y2=2px(p0)，pf=x+=+x；226焦半徑拋物線上任意一點(diǎn)m與拋物線焦點(diǎn)f的連線段，叫做拋物線的焦半徑焦半徑公式：pp00=-x；22拋物線y2=-2px(p0)，pf=x-0pp0=+y；22拋物線x2=2py(p0)，pf=y+0pp0=-y22拋物線x2=-2py(p0)，pf=y-0pp047焦點(diǎn)弦定義：過焦點(diǎn)的直線割拋物線所成的相交弦設(shè)過拋物線y2=2px(p0)焦點(diǎn)的直線交拋物線于a、b兩點(diǎn)，設(shè)a(x,y)b(x,y)，1122

4、焦點(diǎn)弦公式：焦點(diǎn)弦ab=p+(x+x)；同理：12若拋物線為y2=-2px(p0)，則ab=p-(x+x)；12若拋物線為x2=2py(p0)，則ab=p+(y+y)；12若拋物線為x2=-2py(p0)，則ab=p-(y+y)12有關(guān)性質(zhì)：xx=p和yy=-p2.1212y=k(x-)y-p2=0和k2x2-(k2p+2p)x+=0yy=-p2和xx=4p2y2-y2=2px2pkk2p21212p4若已知過焦點(diǎn)的直線傾斜角q，則ab=2psin2q；當(dāng)q=900時(shí)，|ab|的最小值等于2p，這時(shí)的弦叫拋物線的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的相交弦）.以ab為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切焦點(diǎn)f對a、b

5、在準(zhǔn)線上射影的張角為90+=112afbfp要點(diǎn)詮釋：（1）拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它可以無限延伸，但沒有漸進(jìn)線；（2）拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心；（3）拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線；（4）拋物線的離心率是確定的，為1.要點(diǎn)二：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）o（0，0）范圍x0，yrx0，yry0，xry0，xr對稱軸x軸y軸f,0f-,0f0,f0,-焦點(diǎn)p2p2p2p2離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-p2x=p2y=-p2y=p222焦半徑pp|mf|=-x|mf|=x+|mf

6、|=y+000p2|mf|=p2-y0要點(diǎn)詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對稱軸，一條準(zhǔn)線；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；p0恰恰說明定義中的焦點(diǎn)f不在準(zhǔn)線l上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程要點(diǎn)三：直線和拋物線的位置關(guān)系1點(diǎn)和拋物線的位置關(guān)系將點(diǎn)p(x0，y0)代入拋物線y2=2px(p0)：若y2-2px0，則點(diǎn)在拋物線外；00若y2-2px=0，點(diǎn)在拋物線上；00若y2-2px0，則直線和拋物線相交（有兩個(gè)交點(diǎn)）；若d=0，則直線和拋物線相切（

7、有一個(gè)交點(diǎn)）；若d=0，則直線和拋物線相離（無交點(diǎn)）；2判斷直線和拋物線位置關(guān)系的操作程序：|pp|=1+k2|x-x|=(1+k2)(x+x)2-4xx要點(diǎn)詮釋：（1）在判斷直線和拋物線位置關(guān)系時(shí)，不要忽略直線和拋物線的對稱軸平行的情況；（2）若直線和拋物線相交于點(diǎn)p(x,y)，p(x,y)，則相交弦的弦長11122212121212或k21(y1+y2)-4y1y2(k0)|y-y|=1+k2|pp|=1+121212要點(diǎn)四：拋物線的光學(xué)性質(zhì)過拋物線上一點(diǎn)可以作一條切線，過切點(diǎn)所作垂直于切線的直線叫做拋物線在這點(diǎn)的法線拋物線的法線有一條重要性質(zhì)：經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)作一直線平行于拋物線y切線平

8、行于軸的軸，那么經(jīng)過這一點(diǎn)的法線平分這條直線和這點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的夾角o法線x如圖拋物線的這一性質(zhì)在技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用例如，在光學(xué)上，如果把光源放在拋物鏡的焦點(diǎn)f處，射出的光線經(jīng)過拋物鏡的反射，變成了平行光線，汽車前燈、探照燈、手電筒就是利用這個(gè)光學(xué)性質(zhì)設(shè)計(jì)的反過來，也可以把射來的平行光線集中于焦點(diǎn)處，太陽灶就是利用這個(gè)原理設(shè)計(jì)的【典型例題】類型一：拋物線的幾何性質(zhì)【高清課堂：雙曲線的方程358821例1】例1（1）寫出拋物線y=14x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；（2）已知拋物線的焦點(diǎn)為f(0,-2),寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

9、、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程【解析】（1）拋物線y=14x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y，因?yàn)?p=4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），準(zhǔn)線方程為（3）由已知得p=3，所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=6x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)，準(zhǔn)線方程為x=-【總結(jié)升華】討論拋物線的方程和幾何性質(zhì)時(shí)要注意拋物線的焦點(diǎn)軸和幾何量p,2p的區(qū)別與聯(lián)【答案】因?yàn)閜=3，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)準(zhǔn)線方程是x=-p=2y=-1（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且p=2，所以p=4，從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y23322p2系舉一反三：【變式】已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程3322例2.求滿足下列條件的

10、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：（1）過點(diǎn)（3，2）；（2）焦點(diǎn)在直線x2y4=0上【解析】（1）設(shè)所求的拋物線方程為y2=2px或x2=2py（p0），過點(diǎn)（3，2），4=2p（3）或9=2p29或p=34所求的拋物線方程為y2=4919x或x2=y，前者的準(zhǔn)線方程是x=，后者的準(zhǔn)線方程是y=3238（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，拋物線的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，2）當(dāng)焦點(diǎn)為（4，0）時(shí)，p2=4，p=8，此時(shí)拋物線方程y2=16x；焦點(diǎn)為（0，2）時(shí)，p2=2，p=4，此時(shí)拋物線方程為x2=8y所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=8y，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=4，

11、y=2【總結(jié)升華】過拋物線y22px的焦點(diǎn)f的弦ab長的最小值為2p設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)是拋物線y22px上的兩點(diǎn)，則ab過f的充要條件是y1y2p2設(shè)a，b是拋物線y22px上的兩點(diǎn)，o為原點(diǎn)，則oaob的充要條件是直線ab恒過定點(diǎn)(2p，0).舉一反三：【變式】已知拋物線y24x的內(nèi)接三角形oab的一個(gè)頂點(diǎn)o在原點(diǎn)，三邊上的高都過焦點(diǎn)，求三角形oab的外接圓的方程【解析】oab的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且三條高都過焦點(diǎn)，abx軸，故a、b關(guān)于x軸對稱，44設(shè)a(y2y21,y)，則b(1,-y)，11y-1=k(x+2)，又f(1,0)，由oabf得，解得y220，1a(5,

12、25)，b(5，25)，因外接圓過原點(diǎn)，且圓心在x軸上，故可設(shè)方程為：x2y2dx0，把a(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)代入得d9，故所求圓的方程為x2y29x0.類型二：直線和拋物線的位置關(guān)系k例3已知拋物線的方程為y2=4x，直線l過定點(diǎn)p(-2,1)，斜率為k，為何值時(shí)，直線l與拋物線y2=4x：（1）只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）兩個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒有公共點(diǎn)?【思路點(diǎn)撥】先定數(shù)，在定量：畫出草圖，確定與拋物線有一個(gè)、兩個(gè)、沒有公共點(diǎn)的直線條數(shù)；再設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元，判斷一元一次方程或一元二次方程解的個(gè)數(shù)，從而確定k的值【解析】設(shè)直線l的方程為：y-1=k(x+2)，聯(lián)立，整理得ky24y+8k+

13、4=0y2=4x.當(dāng)k=0時(shí)，方程有一個(gè)解，此時(shí)直線l方程為y=1，與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k0時(shí)，方程為一元二次方程，判別式d=16(2k2+k1)，當(dāng)d0，即1k12時(shí)，方程有2個(gè)不同的解，所以此時(shí)直線l與拋物線有2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)d=0，即k=1或k1時(shí)，方程有1個(gè)解，所以此時(shí)直線l與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)；2當(dāng)d0，即k12時(shí)，方程有沒有解，所以此時(shí)直線l與拋物線有沒有公共點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)k=0或k=1或k12時(shí)，直線l與拋物線只有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)1k12時(shí)，直線l與拋物線有2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k如圖：12時(shí)，直線l與拋物線有沒有公共點(diǎn)【總結(jié)升華】直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的情況有兩種情形：一種是直線平

14、行于拋物線的對稱軸；另一種是直線與拋物線相切【變式1】求過定點(diǎn)p（0，1）且與拋物線y2=2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程【答案】x=0或y=1或y=1x+1.2【變式2】當(dāng)k為何值時(shí)，直線y=kx+1與拋物線y2=4x（1）相交；（2）相切；（3）相離？y=kx+1，【解析】由方程組消去y，并整理得k2x2+(2k-4)x+1=0y2=4x.（i）當(dāng)k=0時(shí)，直線方程為y=1，與拋物線交于一點(diǎn)；0（ii）當(dāng)k時(shí)，該方程是一元二次方程，d=(2k-4)2-4k2=16(1-k)：（1）當(dāng)d0，即k1時(shí)，直線和拋物線相交（有2個(gè)交點(diǎn)）（2）當(dāng)d=0，即k=1時(shí)，直線和拋物線相切（1）當(dāng)d1時(shí)，直線

15、和拋物線相離綜上所述，當(dāng)k1時(shí)直線和拋物線相離類型三：焦點(diǎn)弦和焦半徑例4斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)a、b，求焦點(diǎn)弦長ab的長【解析】方法一：由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為f(1，0)，所以直線ab的方程為y-0=1(x-1)，即y=x-1，將方程代入拋物線方程y2=4x，化簡得x2-6x+1=0，解這個(gè)方程，得x=3+22，x=3-22，12將x=3+22，x=3-22代入方程中，12得y=2+22，y=2-22，即a（3+22，2+22），b（3-22，2-22），12|ab|=(42)2+(42)2=8.方法二：由拋物線的定義可知，|af|=a

16、d|=x1，|bf|bc|=x1，12于是|ab|=|af|bf|=xx212在方法一中得到方程x2-6x+1=0后，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以直接得到xx6，12于是立即可以求出|ab|=62=8方法三：拋物線y2=4x中2p=4，直線的傾斜角為p4所以焦點(diǎn)弦長ab=2p=8.|pp|=1+k2|x-x|=(1+k2)(x+x)2-4xx；4sin2q12【總結(jié)升華】求拋物線弦長的一般方法：用直線方程和拋物線方程列方程組；消元化為一元二次方程后，應(yīng)用韋達(dá)定理，求根與系數(shù)的關(guān)系式，而不要求出根，代入弦長公式12121212特別地，若弦過焦點(diǎn)，即為焦點(diǎn)弦則據(jù)定義轉(zhuǎn)化為|ab|x1x2+p或|ab|y1y2+p結(jié)合中的關(guān)系式可求解體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想【變式1】已知ab為拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)弦，若|ab|=m，則ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_|=【解析】aqbq，p為aqb斜邊中點(diǎn)，|pq|=|abm22=，得x0=設(shè)ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，則|pq|=x0+pmm-px0+222p