解決小學(xué)奧數(shù)問題的方法：染色分類法

1、一種解決數(shù)學(xué)問題的新方法：染色分類法【摘要】：在現(xiàn)實生活中，有一些判斷能與否的數(shù)學(xué)問題涉及到的知識點很少，難以快速地找到解題思路。本文主要介紹一種解決這類數(shù)學(xué)問題的新方法：染色分類法。對研究對象進(jìn)行染色，可以形象、直觀地使某些隱蔽的條件顯露，從而 獲得簡明的解答。 【關(guān)鍵字】：染色 分類 數(shù)學(xué)問題一、 用染色解決圖形覆蓋問題：在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中，我們常常會碰到這樣的題目：用多個幾何圖形去覆蓋另一個幾何圖形，問能否實現(xiàn)。如果我們每一種情況都去試，不僅花時間，而且容易因考慮不全而出錯。對于這一類問題，我們不妨對涉及到的幾何對象進(jìn)行染色，再來尋找解題思路。問題一：能否用2個田字形和7個t字形恰好覆蓋一

2、個66網(wǎng)格？ 分析：這道題看似簡單，但是如果要窮盡每種情況去試一試，卻不太可行?？紤]到網(wǎng)格中共有36個小方格，不妨通過染色把這36個小方格分成黑白兩類，然后看用田字形能覆蓋住多少個，t字形能覆蓋住多少個，從而判斷該題是否有解。解：由于用黑白兩種顏色對66 網(wǎng)格進(jìn)行染色（如圖），可以看到圖中有18個黑格，18個白格。而用一個田字形，無論放在哪里，都能覆蓋住一個黑格，一個白格；而t字形能覆蓋住1個或3個白格。所以2個田字形和7個t字形總共覆蓋住奇數(shù)個白格，而66 網(wǎng)格中總共有18（偶數(shù)）個白格，所以不能完全覆蓋住。 問題二 ：要用40塊方形瓷磚鋪設(shè)如圖2所示圖形的地面，但當(dāng)時商店只有長方形瓷磚，每

3、塊大小等于方形的兩塊，一人買了20塊長方形瓷磚，結(jié)果弄來弄去始終無法完整鋪設(shè)好，你能否用這20塊瓷磚（不分割任何一塊）幫他鋪好地面？圖2 圖3分析：要得出這道題的答案并不難，但是如何從理論上證明卻沒那么簡單。這里，如果我們仿照問題一采用染色方法，不僅能更快得出答案，更能較好地說明理由，讓讀者一目了然。解：在圖形上黑、白相間地染色，如圖3。則共有19個白格和21個黑格。一塊長方形瓷磚只可蓋住一白一黑兩格。為了把所有的白格都蓋住，需要19塊長方形瓷磚，但19塊長方形瓷磚只能蓋住19個黑格，還有兩個黑格沒有蓋住。所以用這20塊整磚（不分割任何一塊）不能鋪好地面。所以無論怎么鋪設(shè)都是徒勞的。 綜合上面

4、兩道例題，我們可以得出：巧妙地應(yīng)用染色進(jìn)行分類，可以快速找到圖形覆蓋問題的解決方法。二、用染色方法判斷參觀路線是否合理在生活中，有時候我們?nèi)⒂^展覽，希望能盡量少走一點路程而走遍所有的展區(qū)。如何選擇參觀路線呢？采用染色的方法能巧妙解決這個問題。問題三：某展會有46間展覽室，如圖4，每一間展覽室與鄰室之間都有門相通。有人希望從a入口進(jìn)入，每個展覽室都到，且只到一次，最后從b出口處退出，請問參觀路線應(yīng)如何選擇?圖4分析：這道題看起來并不復(fù)雜，但是你如果動手在圖4中畫一畫，很難找出一條符合條件的參觀路線，是否這樣的參觀路線不存在呢？這還需要證明。這時，國際象棋的黑白相間的旗盤給我們啟迪。我們不妨把2

5、4間展室像國際象棋那樣染成黑白兩種顏色，再來尋找解題方法。解：把24間展覽室染成黑白兩色（如圖5），則參觀者從a出口進(jìn)入，無論他如何走法，第一格必是白格，第二格必是黑格.如此繼續(xù)：白黑白黑.共24格，所以最后一格必是黑格，而圖中是白格，故可以判定，符合要求的參觀路線不存在。 ba 圖5 三、 用染色分類法處理調(diào)換座位問題問題四：教室里有7排椅子，每排7張，每張椅子坐一個學(xué)生，如果一周后每個學(xué)生都必須和他相鄰（前后左右）的某一同學(xué)對換座位，問能否換成，為什么？分析：這道問題如果采用常規(guī)的思維方法進(jìn)行思考，很難找到解題思路。因為如果“與相鄰某一同學(xué)”調(diào)換位置，每一位同學(xué)換位置就有前、后、左、右四中

6、選擇，如果要窮盡所有的情況去試，那是很困難的。這時，我們不妨換一種思路，對位置進(jìn)行染色，使得前后左右的位置的顏色與中間那個位置的顏色不同，從而尋找解題思路。圖6解：如圖6所示，我們把教室里所有的位置排列畫成一個網(wǎng)格圖，并涂成黑白相間的顏色。則坐在白色方格周圍都是黑色方格，黑色方格周圍都是白色方格。所以，如果某同學(xué)要換到與原位置相鄰的位置上去，則新位置的顏色必與原位置的顏色不相同，即黑色要換成白色，白色要換成黑色。由于一共有25個黑格，24個白格，黑格與白格的數(shù)目不相等，所以沒有辦法使得每一位同學(xué)都能按要求對換。四、 方法總結(jié)在實際生活中，有一些數(shù)學(xué)問題涉及到存在性、可行性的判定問題，只有我們先證明所期望事物的存在性和可行性，才能進(jìn)一步做出決策。染色的方法在判斷“能與不能”這一類數(shù)學(xué)問題中起到很大的作用。只要我們把需要解決的