全國(guó)高中數(shù)學(xué)青年教師展評(píng)課：圓錐曲線起始課教學(xué)設(shè)計(jì)(上海西南位育中學(xué)徐迪斐）（高考）

1、圓錐曲線起始課 教學(xué)設(shè)計(jì)西南位育中學(xué) 徐迪斐一、教學(xué)內(nèi)容解析l 指定課題說(shuō)明n 課題：圓錐曲線起始課n 課型：概念課n 說(shuō)明：體現(xiàn)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的思想，借助信息技術(shù)、實(shí)物模型等，通過(guò)豐富的實(shí)例，使學(xué)生了解圓錐曲線的背景和應(yīng)用。經(jīng)歷從具體情境中抽象橢圓本質(zhì)特征的過(guò)程，建立橢圓的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程。l 上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)以生活中的實(shí)例引出橢圓的概念，再抽象為動(dòng)點(diǎn)的軌跡。根據(jù)橢圓的定義建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，重點(diǎn)討論焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程。l 全國(guó)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)了解圓錐曲線的實(shí)際背景；了解圓錐曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和實(shí)際問(wèn)題中的作用和應(yīng)用；經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過(guò)程；體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；掌握

2、橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程。根據(jù)指定課題要求，并參考上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、全國(guó)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)以及上海市二期課改教材，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要設(shè)定為：了解圓錐曲線的歷史、背景和應(yīng)用，從生活實(shí)例或具體情境出發(fā)形成橢圓（以及焦點(diǎn)、焦距）的概念并建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。在上海市二期課改教材中，橢圓的第一課時(shí)課題并非“圓錐曲線起始課”而是“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”，從橢圓規(guī)畫(huà)橢圓的過(guò)程中歸納橢圓的定義，并重點(diǎn)研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。由于指定課題說(shuō)明中對(duì)于橢圓概念的形成過(guò)程和數(shù)學(xué)史的融入有更具體的要求，相比上海教材更符合圓錐曲線的歷史發(fā)展順序和學(xué)生的認(rèn)知順序，更有利于學(xué)生掌握橢圓的概念，因此考慮將上海教材第一課時(shí)“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

3、方程”的教學(xué)內(nèi)容稍作調(diào)整，將焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用移至后續(xù)課時(shí)完成。二、學(xué)生學(xué)情分析本節(jié)課為借班上課，授課班級(jí)是浦東洋涇中學(xué)高二（12）班學(xué)生。據(jù)了解，該校為市示范性高中，而本次授課班級(jí)是高二四個(gè)物理班之一。但由于借班上課，與學(xué)生只有不到半個(gè)小時(shí)的交流，對(duì)班級(jí)學(xué)生的具體情況仍比較模糊，需要為學(xué)生水平的低限做好準(zhǔn)備，在難點(diǎn)處多預(yù)設(shè)一些鋪墊，以作備用。此外，受承辦學(xué)校教學(xué)進(jìn)度制約，授課班級(jí)未學(xué)習(xí)直線的方程、圓的方程，只學(xué)習(xí)了曲線方程的概念和求法（僅1課時(shí)）。依此判斷，學(xué)生雖然具備推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)，但接觸解析幾何時(shí)日不多，求曲線方程的經(jīng)驗(yàn)也并不豐富。因此在教學(xué)時(shí)，一方面

4、可有意在數(shù)學(xué)史部分滲透解析幾何的核心思想，讓學(xué)生在了解本章節(jié)的研究?jī)?nèi)容的同時(shí)了解其研究方法；另一方面，在建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程之前應(yīng)適當(dāng)回顧求曲線方程的一般步驟，并給學(xué)生搭建一些平臺(tái)，便于學(xué)生推導(dǎo)，以免因推導(dǎo)過(guò)程的漫長(zhǎng)乏味影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程中還可能涉及一些空間圖形（橢圓的起源所決定），而立體幾何是上海市二期課改教材高三內(nèi)容，高二學(xué)生尚未學(xué)習(xí)。因此，如果設(shè)計(jì)空間圖形為背景的教學(xué)過(guò)程，需要作較細(xì)致的鋪墊或形象的教具輔助學(xué)生理解，且學(xué)生思考的過(guò)程應(yīng)以觀察、發(fā)現(xiàn)為主，而不是嚴(yán)格的證明。三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置根據(jù)教學(xué)內(nèi)容解析、學(xué)生學(xué)情分析制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、重難點(diǎn)如下：教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)歷史的回溯

5、和實(shí)例的展示，了解圓錐曲線的背景（產(chǎn)生、發(fā)展）、應(yīng)用及其研究方法，感受其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化；2.經(jīng)歷從具體情境中抽象橢圓的本質(zhì)特征以及橢圓定義的過(guò)程，掌握橢圓的概念；3.根據(jù)橢圓的定義建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步鞏固求曲線方程的一般方法和步驟，體驗(yàn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的思想方法。教學(xué)重點(diǎn)：掌握橢圓的概念。教學(xué)難點(diǎn)：從具體情境中抽象橢圓的本質(zhì)特征。四、教學(xué)策略分析1.數(shù)學(xué)史的呈現(xiàn)圓錐曲線的歷史發(fā)展過(guò)程中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化。除了概念、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程這些顯性數(shù)學(xué)文化之外，在圓錐曲線形成的歷史背景和實(shí)際應(yīng)用中還包含著數(shù)學(xué)思想（化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想）、數(shù)學(xué)方法（用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題、構(gòu)造法

6、）、信念品質(zhì)（探索真理、理性分析）、價(jià)值判斷和審美追求（圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用）等豐富的隱性數(shù)學(xué)文化。顯性的數(shù)學(xué)文化（橢圓的概念）是本節(jié)課的重點(diǎn)，必須落實(shí)。但同時(shí)，課堂也需要隱性數(shù)學(xué)文化的浸潤(rùn)，才能充滿生機(jī)。根據(jù)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)在圓錐曲線的2000多年的發(fā)展史中選取學(xué)生能夠理解的且有一定教學(xué)價(jià)值的部分按歷史順序“去支強(qiáng)干”進(jìn)行重組，對(duì)學(xué)生理解有負(fù)面作用的作以合理改編（例如橢圓的起源有許多其他猜想，僅選取“削尖的木樁”作為橢圓的起源介紹給學(xué)生），對(duì)難度過(guò)高的內(nèi)容作以調(diào)整或鋪墊（例如選取圓柱背景的“旦德林球”發(fā)現(xiàn)橢圓的性質(zhì)，而非通過(guò)圓錐背景的“旦德林球”或古希臘純幾何證明發(fā)現(xiàn)），將

7、這些豐富的數(shù)學(xué)文化以符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)形態(tài)呈現(xiàn)給學(xué)生。具體圖表如下：圓錐曲線發(fā)展史教學(xué)價(jià)值圓錐曲線的起源了解圓錐曲線的來(lái)歷和最初的圖形角度定義，感受幾何圖形源于生活服務(wù)于生活；圓錐曲線的成果了解圓錐曲線的歷史成果，欣賞與感受古希臘數(shù)學(xué)家的理性與智慧，引出解析幾何的發(fā)展史；解析幾何學(xué)的創(chuàng)立了解解析幾何的核心思想以及它在數(shù)學(xué)史上的地位和作用，了解從數(shù)量關(guān)系角度定義橢圓的時(shí)代背景和學(xué)科發(fā)展背景，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，引出橢圓的性質(zhì)；橢圓性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷從具體情境中抽象橢圓本質(zhì)特征的過(guò)程，了解橢圓最初定義與橢圓本質(zhì)特征的聯(lián)系；滲透化歸數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)巧妙的數(shù)學(xué)方法構(gòu)造法；橢圓的再次定義經(jīng)歷從

8、數(shù)量關(guān)系角度再次定義橢圓的過(guò)程，培養(yǎng)探索真理和理性分析的信念品質(zhì)，掌握橢圓的概念，引出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的應(yīng)用了解圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用；激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；2.橢圓概念的形成幾何圖形都源于生活，是從具體事物中抽象出來(lái)的，橢圓也不例外。歷史上，橢圓最早的定義是圖形角度的定義（通過(guò)平面與圓柱或圓錐的交線定義橢圓），而教材中的定義則是解析幾何誕生之后，人們?yōu)榱朔奖阌么鷶?shù)方程研究圓錐曲線，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，從數(shù)量關(guān)系角度對(duì)橢圓進(jìn)行的再次定義。雖然兩者等價(jià)，但從形式上看卻相差甚遠(yuǎn)。因此在建立橢圓概念時(shí)，如果脫離圖形角度的橢圓定義，直接拋出數(shù)量關(guān)系形式的橢圓定義，或以其他方式抽象出該定義（例如利用橢圓規(guī)抽象

9、出定義、利用圓心“分離”抽象出定義），這樣的概念形成過(guò)程雖然易于教學(xué)，但不符合橢圓概念的形成與發(fā)展的自然順序。學(xué)生會(huì)產(chǎn)生“為什么這樣定義橢圓？”、“這樣定義的橢圓和我們生活中熟悉的橢圓一樣嗎？”、“為什么橢圓又叫圓錐曲線？”這樣的疑問(wèn)。如果教師在之后補(bǔ)充說(shuō)明兩者之間的聯(lián)系，雖然看似彌補(bǔ)了不足，但那樣倒還不如在之前以橢圓概念的歷史發(fā)展順序呈現(xiàn)給學(xué)生。既然概念的形成過(guò)程的最佳方式是以歷史發(fā)展順序呈現(xiàn)，那么，可以借助解析幾何發(fā)展史，自然引出橢圓方程的建立，并設(shè)置懸疑，引發(fā)對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)所滿足的數(shù)量關(guān)系的探索。之后，學(xué)生需要分別經(jīng)歷兩個(gè)探索過(guò)程：（1）發(fā)現(xiàn)橢圓的本質(zhì)特征（從純幾何角度研究橢圓的性質(zhì)：

10、橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)）；（2）從數(shù)量關(guān)系角度再次定義橢圓。在第一個(gè)探索過(guò)程中，教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)適合學(xué)生抽象橢圓本質(zhì)特征的情境作為教學(xué)載體。歷史上第一個(gè)得出橢圓該性質(zhì)的是古希臘阿波羅尼奧斯的幾何證明，但證明過(guò)程十分復(fù)雜，顯然不適合作為教學(xué)載體。歷史上最簡(jiǎn)潔的證明是比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林的“旦德林雙球構(gòu)造法”，但考慮到學(xué)生未學(xué)習(xí)立體幾何，且圓柱背景與圓錐背景在圖形和推理方法上都有相似之處，決定將“旦德林球法”的圓錐背景簡(jiǎn)化為圓柱背景作為載體，并且輔以教具展示和細(xì)致的鋪墊便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的這一性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，將圓錐背景留給學(xué)生課后思考。在第二個(gè)探索過(guò)程中，學(xué)生須從橢圓的性質(zhì)出發(fā)，

11、通過(guò)完善其逆命題，得到數(shù)量關(guān)系角度下橢圓的定義。在這一過(guò)程中，教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)學(xué)生動(dòng)手畫(huà)橢圓的活動(dòng)情境，讓學(xué)生直觀地體驗(yàn)、思考“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是否橢圓？”。教師在簡(jiǎn)單提示了橢圓規(guī)的使用方法后，由學(xué)生體驗(yàn)畫(huà)橢圓的過(guò)程并思考教師的提問(wèn)，從中歸納出“在平面內(nèi)”以及“常數(shù)大于焦距”的補(bǔ)充條件。這一活動(dòng)不僅鞏固了橢圓的本質(zhì)特征，還為學(xué)生將性質(zhì)的逆命題（增加條件）完善、修改為定義提供更直觀的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生探索真理和理性分析的信念品質(zhì)，同時(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作和動(dòng)手操作能力，并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。3.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立由于課題的變化（上海市二期課改教材：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，本節(jié)課：圓錐曲線起

12、始課），橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程已經(jīng)不是本節(jié)課的重點(diǎn)，而僅定位為“章節(jié)后續(xù)研究的開(kāi)端”。在這樣的指導(dǎo)思想下，建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的意義在于：（1）為后續(xù)的性質(zhì)研究做一些必要的基礎(chǔ)工作；（2）學(xué)生進(jìn)一步鞏固求曲線方程的方法，踐行解析幾何“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”的思想方法。基于以上考慮，建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程無(wú)需組織學(xué)生過(guò)度探究，建系、設(shè)點(diǎn)的過(guò)程可由教師直接約定，最終換元的過(guò)程也由教師直接給出，以免沖淡本節(jié)課重點(diǎn)。但是，學(xué)生親身體驗(yàn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的演算過(guò)程不可缺少，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐探索的科學(xué)精神依然十分重要。此外，經(jīng)過(guò)查閱資料和反復(fù)推敲，決定依然選用上海市二期課改教材的“二次平方法”，主要原因還是學(xué)生的知識(shí)基

13、礎(chǔ)。歷史上，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立方法還有消參法、變換法等方法。但由于學(xué)生剛學(xué)習(xí)了曲線方程的概念及求曲線方程的方法，所以消參法對(duì)學(xué)生而言顯然過(guò)難；另外，學(xué)生還未學(xué)習(xí)過(guò)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及坐標(biāo)變換，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程入手采用坐標(biāo)變換的方式也沒(méi)有知識(shí)基礎(chǔ)。以上是本節(jié)課核心的教學(xué)策略。教學(xué)過(guò)程中具體的設(shè)計(jì)意圖參見(jiàn)教學(xué)過(guò)程板塊。五、教學(xué)過(guò)程（一）新課引入1.播放視頻播放經(jīng)剪輯的嫦娥一號(hào)探月的概述，展現(xiàn)嫦娥一號(hào)優(yōu)美的橢圓軌道，引入課題。嫦娥一號(hào)成功發(fā)射拉開(kāi)了我國(guó)探月工程的序幕，將中國(guó)人幾千年來(lái)的神話傳說(shuō)終于變成了現(xiàn)實(shí)。告訴大家一個(gè)好消息，就在前天，探月三期工程的探路“小飛”（返回飛行試驗(yàn)器）經(jīng)歷了8天飛行之后成功返

14、回，標(biāo)志著我國(guó)航天技術(shù)又取得了新的突破。請(qǐng)看，嫦娥一號(hào)在星空中劃過(guò)了一道美麗的曲線，大家知不知道這條曲線叫什么名字？2.提出問(wèn)題衛(wèi)星運(yùn)行的軌跡是橢圓。在生活中還有哪些事物是橢圓？大家認(rèn)為橢圓是立體圖形還是平面圖形？既然是平面圖形，那以上這些是不是橢圓？操場(chǎng)的一條跑道線是平面圖形，它是不是橢圓呢？那么，究竟什么是數(shù)學(xué)意義上的橢圓？橢圓有什么性質(zhì)？橢圓又有哪些應(yīng)用呢？讓我們帶著這些問(wèn)題開(kāi)始今天的新課圓錐曲線起始課（橢圓的概念）。【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)振奮人心的音樂(lè)和視頻剪輯了解圓錐曲線的航天應(yīng)用并同時(shí)引入新課。通過(guò)否定學(xué)生心中常見(jiàn)的對(duì)橢圓的錯(cuò)誤理解，引起認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，并引出本節(jié)課

15、的學(xué)習(xí)內(nèi)容。（二）橢圓的起源和發(fā)展每一個(gè)幾何圖形都源于生活，是從具體事物中抽象出來(lái)的，橢圓也不例外。那最早人們是從怎樣的具體事物中發(fā)現(xiàn)橢圓這一曲線的呢？讓我們回到公元前四世紀(jì)的古希臘。相傳最早是古希臘人通過(guò)削尖的圓木樁發(fā)現(xiàn)了一條像圓又不是圓的曲線，把它命名為橢圓。從立體幾何的角度，也就是“平面斜截圓柱所得的交線”。 后來(lái)又有人發(fā)現(xiàn)，平面斜截圓錐所得的交線也可能是橢圓。不僅如此，調(diào)整平面的傾斜程度還能得到其他曲線，因此人們把這些曲線命名為圓錐曲線。這也是為什么橢圓是圓錐曲線中的一類(lèi)曲線。人們又發(fā)現(xiàn)，研究這些曲線的性質(zhì)，還有助于解決三大數(shù)學(xué)問(wèn)題之一的“倍立方問(wèn)題”。于是，許多古希臘的數(shù)學(xué)家都開(kāi)始研

16、究這一類(lèi)曲線，其中還有大家所熟知的歐幾里得，可惜其中的許多著作都失傳了。迄今為止，修復(fù)得最完整的是阿波羅尼奧斯的著作圓錐曲線，在該書(shū)中他在總結(jié)了前人成果的基礎(chǔ)上又增加了自己的創(chuàng)見(jiàn)，從“平面斜截圓錐”出發(fā)，運(yùn)用純幾何方法，證明了近500個(gè)命題，這在當(dāng)時(shí)可以說(shuō)堪稱(chēng)奇跡，即便是之后的近2000年內(nèi)也無(wú)人能超越。因此，阿波羅尼奧斯的圓錐曲線也被長(zhǎng)期視為數(shù)學(xué)經(jīng)典大作與歐幾里得的原本并駕齊驅(qū)。直到17世紀(jì)，世界經(jīng)歷了翻天覆地的變化。在歐洲，航海、天文、軍事、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域飛速發(fā)展，古希臘人的純幾何方法已經(jīng)跟不上社會(huì)生產(chǎn)力的需要，人們亟需一種更高效的研究方法。于是，兩位偉人誕生了，他們是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾和費(fèi)馬，

17、也是解析幾何的創(chuàng)始人。解析幾何借助坐標(biāo)系，建立了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，并通過(guò)代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì)。例如，將點(diǎn)與坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)，曲線與代數(shù)方程一一對(duì)應(yīng)，通過(guò)研究代數(shù)方程獲得曲線的性質(zhì)。解析幾何將兩個(gè)看似毫不相干的學(xué)科之間建立了聯(lián)系，可以說(shuō)是數(shù)學(xué)史上最偉大的突破。這時(shí)，人們開(kāi)始思考，能否通過(guò)解析幾何的方法研究橢圓這些圓錐曲線呢？我們學(xué)習(xí)過(guò)曲線與方程，知道求曲線方程的步驟是：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)。其中列式的步驟需要根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件列出等式。例如：圓上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離等于常數(shù)（半徑）。通過(guò)這一數(shù)量關(guān)系很容易列出圓上的動(dòng)點(diǎn)所滿足的等式。但是，橢圓上的點(diǎn)滿足什么樣的條件？能

18、否用數(shù)量關(guān)系表示橢圓上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律呢？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)介紹圓錐曲線的歷史，使學(xué)生了解圓錐曲線的最初定義和歷史成果，進(jìn)一步感受幾何圖形抽象于生活的特征，欣賞古希臘數(shù)學(xué)家的信念與智慧。通過(guò)對(duì)解析幾何的簡(jiǎn)要介紹，使學(xué)生了解解析幾何誕生的歷史必然性、解析幾何的核心思想以及它在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位和作用，了解從數(shù)量關(guān)系角度定義橢圓的時(shí)代背景和學(xué)科發(fā)展背景，并創(chuàng)設(shè)懸念引出橢圓的性質(zhì)的探索。（三）橢圓性質(zhì)的探索為了解答這個(gè)問(wèn)題，人們重新翻閱了阿波羅尼奧斯的圓錐曲線。發(fā)現(xiàn)書(shū)中近500個(gè)命題中，真的有一條性質(zhì)十分簡(jiǎn)潔地通過(guò)數(shù)量關(guān)系揭示了橢圓上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這條神秘的性質(zhì)究竟是什么呢？現(xiàn)在，就讓我們一起來(lái)發(fā)現(xiàn)這條

19、性質(zhì)。為了探索這條性質(zhì)，我們需要從立體圖形出發(fā)研究平面圖形，但大家還未學(xué)習(xí)過(guò)立體幾何，老師需要對(duì)大家做一個(gè)小測(cè)試，考考大家的空間想象力！1.第一組試題（平面示意圖）（1）我們知道，兩條平行直線之間距離處處相等。那么，兩個(gè)平行平面之間的距離有什么性質(zhì)？（2）我們知道，過(guò)圓外一點(diǎn)，引圓的兩條切線，切線長(zhǎng)相等。那么，過(guò)球外一點(diǎn)，引球的兩條切線，切線長(zhǎng)有什么數(shù)量關(guān)系？2.第二組試題（平面動(dòng)畫(huà)、實(shí)物教具）（1）在圓柱內(nèi)放置一個(gè)與圓柱底面等半徑的小球，小球與圓柱側(cè)面的公共點(diǎn)將形成什么曲線？（2）同樣地，在下方也放置一個(gè)相同的小球，它與圓柱側(cè)面的公共點(diǎn)將也形成圓，我們把這兩個(gè)圓記作圓和圓。請(qǐng)問(wèn)，圓與圓所在平

20、面有怎樣的位置關(guān)系？（3）如圖，在圓柱的最右側(cè)側(cè)面上取圓與圓之間的線段，它與圓、所在平面有怎樣的位置關(guān)系？與兩小球又有怎樣的位置關(guān)系？（4）如果將線段保持鉛垂方向，沿著圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)動(dòng)，與圓、所在平面是否依然垂直？與兩小球是否依然相切？（5）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度變不變？為什么？3.第三組試題（實(shí)物教具）（1）這是平面斜截圓柱得到的交線，它是橢圓?，F(xiàn)在，在圓柱內(nèi)放置一個(gè)剛才那樣的小球，且與橢圓所在平面相切，請(qǐng)問(wèn)共有幾個(gè)切點(diǎn)？（2）我們記切點(diǎn)為，在橢圓上任取一點(diǎn)，連結(jié)，請(qǐng)問(wèn)與上方小球有什么位置關(guān)系？（3）同理，在橢圓所在平面另一側(cè)，再放置一個(gè)剛才那樣的小球，且與橢圓所在平面相切，將切點(diǎn)記作，則與下

21、方小球相切。請(qǐng)問(wèn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別與上下兩個(gè)小球相切不相切？大家都順利過(guò)關(guān)了?，F(xiàn)在讓我思考剛才的問(wèn)題：“能否用數(shù)量關(guān)系表示橢圓上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律？”4.發(fā)現(xiàn)橢圓的性質(zhì)（實(shí)物教具、平面動(dòng)畫(huà)）現(xiàn)在過(guò)點(diǎn)作之前那樣的，讓我們先回顧一下先前所得到的結(jié)論：、都與上方小球相切，因此，同理，、都與下方小球相切，因此；我們還知道線段的長(zhǎng)度不變。（1）請(qǐng)問(wèn)，除了線段的長(zhǎng)度之外，在橢圓所在平面內(nèi)，還有什么幾何量是不變的嗎？（2）我們知道，圓上的任意一點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離等于常數(shù)（半徑），而點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)、的位置不發(fā)生變化。有誰(shuí)能用類(lèi)似的文字語(yǔ)言歸納一下，橢圓上的任意一點(diǎn)應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)呢？橢圓的性質(zhì)：

22、橢圓上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)。其中兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)之間的距離稱(chēng)為焦距。這一構(gòu)造法十分巧妙，是由19世紀(jì)比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林給出的，不過(guò)旦德林的證明是在圓錐背景下進(jìn)行的，而今天老師為了大家理解方便將其簡(jiǎn)化為圓柱背景。課后大家可以繼續(xù)思考，如果改為圓錐背景，能否用類(lèi)似的方法得到橢圓的性質(zhì)。【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)圓柱背景下的“旦德林球”探索、發(fā)現(xiàn)橢圓的本質(zhì)特征是本節(jié)課的難點(diǎn)。由于學(xué)生未學(xué)習(xí)立體幾何，直接歸納橢圓的性質(zhì)有很大的困難，因此通過(guò)“考考空間想象力”的環(huán)節(jié)為橢圓性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)做好自然的引導(dǎo)和鋪墊，并通過(guò)自制教具的展示讓部分缺乏空間想象力的學(xué)生也能較好地理解這一過(guò)程，使學(xué)生從問(wèn)題情

23、境中成功歸納出橢圓的性質(zhì)（本質(zhì)特征），為從數(shù)量關(guān)系角度再次定義橢圓做好準(zhǔn)備。此外，在這一過(guò)程中，前后問(wèn)題的緊密聯(lián)系還能夠使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)化歸數(shù)學(xué)思想，之后的回顧與介紹還能夠使學(xué)生了解橢圓發(fā)展史上的經(jīng)典證明并體會(huì)巧妙的數(shù)學(xué)方法構(gòu)造法。需要說(shuō)明的是，在鋪墊問(wèn)題中，為便于學(xué)生理解，問(wèn)題的措辭有部分不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某煞?，學(xué)生的回答也只需要依靠空間想象所作出判斷，而非嚴(yán)密推理。（四）橢圓的再次定義我們已經(jīng)得到了橢圓的性質(zhì)，知道了橢圓上的任意一點(diǎn)滿足的數(shù)量關(guān)系。但是，為了求橢圓的方程，我們還需要知道：滿足這一數(shù)量關(guān)系的點(diǎn)的軌跡是否橢圓？這一性質(zhì)能否修改、完善為橢圓的定義呢？接下來(lái)，讓我們通過(guò)畫(huà)橢圓的活動(dòng)一起體會(huì)一

24、下，滿足這一性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡是否橢圓。l 活動(dòng)：畫(huà)橢圓根據(jù)橢圓的性質(zhì)，研究橢圓規(guī)的使用方法，同桌兩人共同配合畫(huà)一個(gè)橢圓。思考：若要畫(huà)出橢圓，細(xì)繩長(zhǎng)度（距離之和）與兩個(gè)連結(jié)點(diǎn)之間的距離（焦距）應(yīng)具有怎樣的大小關(guān)系？l 教師提示：（1）橢圓的性質(zhì)中，含有兩個(gè)定點(diǎn)，在橢圓規(guī)上能否找到這兩個(gè)定點(diǎn)？（2）橢圓的性質(zhì)中，還有距離之和等于常數(shù)，在橢圓規(guī)中能否找到距離之和的常數(shù)？請(qǐng)同桌中的一位同學(xué)負(fù)責(zé)保持定點(diǎn)位置不發(fā)生變化，另一位同學(xué)利用細(xì)繩負(fù)責(zé)保持筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)，畫(huà)出橢圓。作圖過(guò)程中，可能還會(huì)遇到一些障礙，請(qǐng)同桌一起想辦法排除障礙。讓我們比一比，哪一組同學(xué)能夠既畫(huà)得好又答得好。l 補(bǔ)充問(wèn)題：（

25、1）如果細(xì)繩長(zhǎng)度等于兩個(gè)連結(jié)點(diǎn)之間的距離，即，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形？（2）我們還知道，橢圓是平面截圓柱或圓錐得到的交線，是一個(gè)平面圖形，因此還需要補(bǔ)充什么條件？橢圓的定義：在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。（焦點(diǎn)，焦距）當(dāng)時(shí)，軌跡為線段；當(dāng)時(shí)，軌跡不存在就在17世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)在圓錐曲線分析中拋棄了古希臘人對(duì)于橢圓的圖形定義，改用橢圓的數(shù)量關(guān)系定義，并以此推導(dǎo)了橢圓方程。【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)創(chuàng)設(shè)畫(huà)橢圓的活動(dòng)，使學(xué)生鞏固橢圓的本質(zhì)特征，為學(xué)生將性質(zhì)的逆命題（增加條件）完善、修改為定義提供更直觀的體驗(yàn)，為推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程做好準(zhǔn)備。同時(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生探索真理和理性分析的信

26、念品、團(tuán)結(jié)協(xié)作和動(dòng)手操作能力，并激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過(guò)介紹橢圓發(fā)展史上最后一個(gè)關(guān)鍵歷史事件，使學(xué)生對(duì)于圓錐曲線發(fā)展史的全貌以及本章節(jié)后續(xù)的研究?jī)?nèi)容和研究方法獲得初步的印象。（五）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程接下來(lái)讓我們也來(lái)親身實(shí)踐一下，推導(dǎo)橢圓的曲線方程。讓我們先來(lái)回顧一下橢圓的定義：在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。能否用一個(gè)含字母的等式表示橢圓上的動(dòng)點(diǎn)m滿足的等量關(guān)系？如圖，在平面內(nèi)，已知兩個(gè)定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)m滿足（），求：點(diǎn)m的軌跡方程解：以線段所在直線為軸，線段垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)，得，設(shè)動(dòng)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，有（），兩邊平方得：，即兩邊平方得：整理得：因

27、為，所以，設(shè)，得即 該方程稱(chēng)為焦點(diǎn)在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)處理：1、建系、設(shè)點(diǎn)由教師直接約定；2、學(xué)生從移項(xiàng)之后開(kāi)始動(dòng)筆推導(dǎo)，此時(shí)教師巡視、個(gè)別指導(dǎo)；3、將推導(dǎo)到或其相近等價(jià)等式的學(xué)生作品投影展示（批注）；4、由教師直接說(shuō)明換元步驟，并指出可證明以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)也在曲線上?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生親身經(jīng)歷建立橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程，踐行解析幾何“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”的思想方法，鞏固橢圓的定義以及求曲線方程的方法，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐探索的科學(xué)精神，并為后續(xù)課程中橢圓的性質(zhì)研究做必要的基礎(chǔ)工作。（六）課堂小結(jié)到這里，我們有了研究橢圓的基礎(chǔ)，但今天的課也要接近尾聲了。讓我們做個(gè)課堂小結(jié)：1.橢圓與圓錐曲線：我們已經(jīng)知道，平面斜截圓錐所得交線可能是橢圓，還可能是其他曲線，在本章中，我們會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)其他圓錐曲線，它們是圓、雙曲線和拋物線；2.橢圓的定義：在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的